沪教版数学高一下册-6 三角函数的定义域与值域 教案(word版）
文档属性
| 名称 | 沪教版数学高一下册-6 三角函数的定义域与值域 教案(word版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 707.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-05-27 08:19:59 | ||
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文档简介
三角函数的定义域与值域
教学目标：
1.
掌握正、余弦函数的性质及图像，理解正切函数的性质与图像；
2.
利用三角函数的性质求解三角函数的定义域及值域和最值；
3．引导学生掌握数形结合思想、转化思想和分类讨论思想.
教学重点：
1.
引导学生掌握正、余弦函数的性质和图像
2.
引导学生利用三角函数性质和图像，求解三角函数的定义域、值域和最值.
教学难点：
引导学生利用三角函数性质和图像，求解三角函数的定义域、值域和最值，进行形结合、转化、分类讨论数学思想的培养.
教学过程：
一、复习三角函数的性质和图像
正弦函数
定义域：；
值域：；
奇偶性：奇函数；
周期性：；
递增区间：；递减区间：；
最值性：时，；时，；
对称轴：；
对称中心：.
余弦函数
定义域：；
值域：；
奇偶性：偶函数；
周期性：；
递增区间：；递减区间：；
最值性：时，；时，；
对称轴：；
对称中心：.
正切函数
定义域：且；
值域：；
奇偶性：奇函数；
周期性：；
递增区间：；递减区间：无；
最值性：无最大值，无最小值；
对称轴：不是轴对称图像；
对称中心：.
在研究三角函数的定义域与值域时，不仅要注意三角函数本身的特有属性，还要结合其他基本函数求定义域与值域的规律.
二、例题解析
例1.
求下列函数的定义域：
（1）；
解:
∵
，∴
变式：求函数的定义域；
解：∵
，∴
，
∴
∴
，即函数的定义域为.
（2）；
解：∵
，∴
，
，
；；；
∴
函数的定义域为.
例2.
求下列函数的值域：
（1）；
解：
，∴
变式:
加条件:
.
∵
，∴
.
∴
函数值域为.
注：对于，这是关于，的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，，，，可转化为的形式，再利用辅助角公式化为一角一函数.
（2）；
解：原式，
∵
，令，
∴
.
注：对于（），通过换元，转化为关于的一元二次函数（）在区间上的最值问题.
三、三角函数的应用
例3.
如图，已知一个半径为1，圆心角为的扇形中有
一内接矩形，求矩形的面积的最大值.
解：设，
则，，
，，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
当，即时，.
变式：若（），求矩形的面积的最值.
解：（），
当时，；
下求的最小值：
①若，即时，
当，即时，；
②若，即时，
当，即时，；
即.
例4.
如图，在中，，，，是斜边上的两点，且.
（1）用表示；
（2）若为常量，当为何值时，取得最小值；
（3）当（）时，求的最值.
解：（1）在中，由正弦定理，，∴
，
在中，由正弦定理，，∴
，
∴
，.
（2），
当且仅当时，取得最小值.
（3），其中，
且，，
∴
当，即时，.
下求最小值：
若，即时，
当时，；
若，即时，
当时，；
即.
四、课堂小结
五、练习
1．求下列函数的定义域:
（1）；
（2）.
解：（1）由，得，
∴
，
即函数的定义域为.
（2）由，得，
解之得.
2．求下列函数的值域：
（1）；
（2），；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7），；
（8）（是非零常数）.
解：（1）（），
∴
函数的值域为.
（2）在上单调递增，
∴
当时，；当时，；
∴
函数的值域为.
（3），
∴
当时，；当时，；
∴
函数的值域为.
（4）由，得，
∵
，∴
，∴
，
∴
，∴
，
∴
函数的值域为.
（5）由，得，
∴
（其中，）
∴
，即，∴
，
∴
函数的值域为.
（6）∵
，∴
.
（7），
∵
，∴
，
∴
，∴
，
∴
函数的值域为.
（8）
∵
，
当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为.
五、板书设计
课题：三角函数定义域与值域
三角函数的定义域例1
三角函数的值域例2
例3例4
六、教学设计说明
三角函数的定义域与值域问题，是高考重点考查的知识点之一.三角函数的定义域与值域问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与前面复习过的函数、不等式练习紧密，综合性强，解法灵活，能力要求高，在复习完三角公式后，把三角函数的定义域与值域作为专题复习，不仅可以帮助学生灵活运用三角公式，而且可以帮助学生巩固求函数定义域和值域的方法，综合能力得到增强.
在教学过程的设计上，首先通过多面体演示，使学生能够迅速回顾三角函数的图像与性质，通过对三角函数知识框架的构建，引导学生建立知识之间的联系，通过一组组问题的深入研究，逐步构建知识体系，揭示问题的本质.
在教学方法上，采用“题组式”教学方法，通过问题组的形式，层层递进，形成高层次的数学思维方法.期望达到对问题本质的了解、掌握解决问题的基本规律、方法
，达到思维的拓展与迁移的目的.
例1和例2，在研究三角函数的定义域与值域时，不仅要注意三角函数本身的特有属性，还要结合其他基本函数求定义域与值域的规律.其中变式的设计，是在改变函数的定义域的情况下，解析式虽然相同，但是值域不同，尤其是在三角化简的过程中，应该注意到是否为等价转化，题目中所隐含的定义域的限定对函数值域所产生的影响.
后面的两道三角应用题，从实际应用的角度训练学生求三角函数的最值或值域，通过让学生画图、观察、讨论等方式，体会运用三角函数的图像与性质解决实际问题的方法，强化学生对所学知识的灵活运用，培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想，也培养了学生勇于探索，善于发现的创新思想.
七、教学反思
高三数学第一轮复习课究竟如何上？一直是我不断思考的，新课的教学，应该重视引导学生通过探索、归纳、类比获得新知.学习的过程，应该是一个经理“探索发现—归纳总结—应用实践”的认知过程，探索知识的形成、规律的发现、问题的解决.高三数学第一轮复习主要是落实基础知识，掌握基本方法和基本技能，通过典型例题，建立知识联系，拓展思维空间.如何基于学生已有的基础（知识、能力等）确定典型例题的起点和最高要求？如何基于教学目标的定位和教学过程，评价学生的复习有效性？这些问题都将是我现在乃至今后一段时间需要重视和研究的问题.
教学目标：
1.
掌握正、余弦函数的性质及图像，理解正切函数的性质与图像；
2.
利用三角函数的性质求解三角函数的定义域及值域和最值；
3．引导学生掌握数形结合思想、转化思想和分类讨论思想.
教学重点：
1.
引导学生掌握正、余弦函数的性质和图像
2.
引导学生利用三角函数性质和图像，求解三角函数的定义域、值域和最值.
教学难点：
引导学生利用三角函数性质和图像，求解三角函数的定义域、值域和最值，进行形结合、转化、分类讨论数学思想的培养.
教学过程：
一、复习三角函数的性质和图像
正弦函数
定义域：；
值域：；
奇偶性：奇函数；
周期性：；
递增区间：；递减区间：；
最值性：时，；时，；
对称轴：；
对称中心：.
余弦函数
定义域：；
值域：；
奇偶性：偶函数；
周期性：；
递增区间：；递减区间：；
最值性：时，；时，；
对称轴：；
对称中心：.
正切函数
定义域：且；
值域：；
奇偶性：奇函数；
周期性：；
递增区间：；递减区间：无；
最值性：无最大值，无最小值；
对称轴：不是轴对称图像；
对称中心：.
在研究三角函数的定义域与值域时，不仅要注意三角函数本身的特有属性，还要结合其他基本函数求定义域与值域的规律.
二、例题解析
例1.
求下列函数的定义域：
（1）；
解:
∵
，∴
变式：求函数的定义域；
解：∵
，∴
，
∴
∴
，即函数的定义域为.
（2）；
解：∵
，∴
，
，
；；；
∴
函数的定义域为.
例2.
求下列函数的值域：
（1）；
解：
，∴
变式:
加条件:
.
∵
，∴
.
∴
函数值域为.
注：对于，这是关于，的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，，，，可转化为的形式，再利用辅助角公式化为一角一函数.
（2）；
解：原式，
∵
，令，
∴
.
注：对于（），通过换元，转化为关于的一元二次函数（）在区间上的最值问题.
三、三角函数的应用
例3.
如图，已知一个半径为1，圆心角为的扇形中有
一内接矩形，求矩形的面积的最大值.
解：设，
则，，
，，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
当，即时，.
变式：若（），求矩形的面积的最值.
解：（），
当时，；
下求的最小值：
①若，即时，
当，即时，；
②若，即时，
当，即时，；
即.
例4.
如图，在中，，，，是斜边上的两点，且.
（1）用表示；
（2）若为常量，当为何值时，取得最小值；
（3）当（）时，求的最值.
解：（1）在中，由正弦定理，，∴
，
在中，由正弦定理，，∴
，
∴
，.
（2），
当且仅当时，取得最小值.
（3），其中，
且，，
∴
当，即时，.
下求最小值：
若，即时，
当时，；
若，即时，
当时，；
即.
四、课堂小结
五、练习
1．求下列函数的定义域:
（1）；
（2）.
解：（1）由，得，
∴
，
即函数的定义域为.
（2）由，得，
解之得.
2．求下列函数的值域：
（1）；
（2），；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7），；
（8）（是非零常数）.
解：（1）（），
∴
函数的值域为.
（2）在上单调递增，
∴
当时，；当时，；
∴
函数的值域为.
（3），
∴
当时，；当时，；
∴
函数的值域为.
（4）由，得，
∵
，∴
，∴
，
∴
，∴
，
∴
函数的值域为.
（5）由，得，
∴
（其中，）
∴
，即，∴
，
∴
函数的值域为.
（6）∵
，∴
.
（7），
∵
，∴
，
∴
，∴
，
∴
函数的值域为.
（8）
∵
，
当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为.
五、板书设计
课题：三角函数定义域与值域
三角函数的定义域例1
三角函数的值域例2
例3例4
六、教学设计说明
三角函数的定义域与值域问题，是高考重点考查的知识点之一.三角函数的定义域与值域问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与前面复习过的函数、不等式练习紧密，综合性强，解法灵活，能力要求高，在复习完三角公式后，把三角函数的定义域与值域作为专题复习，不仅可以帮助学生灵活运用三角公式，而且可以帮助学生巩固求函数定义域和值域的方法，综合能力得到增强.
在教学过程的设计上，首先通过多面体演示，使学生能够迅速回顾三角函数的图像与性质，通过对三角函数知识框架的构建，引导学生建立知识之间的联系，通过一组组问题的深入研究，逐步构建知识体系，揭示问题的本质.
在教学方法上，采用“题组式”教学方法，通过问题组的形式，层层递进，形成高层次的数学思维方法.期望达到对问题本质的了解、掌握解决问题的基本规律、方法
，达到思维的拓展与迁移的目的.
例1和例2，在研究三角函数的定义域与值域时，不仅要注意三角函数本身的特有属性，还要结合其他基本函数求定义域与值域的规律.其中变式的设计，是在改变函数的定义域的情况下，解析式虽然相同，但是值域不同，尤其是在三角化简的过程中，应该注意到是否为等价转化，题目中所隐含的定义域的限定对函数值域所产生的影响.
后面的两道三角应用题，从实际应用的角度训练学生求三角函数的最值或值域，通过让学生画图、观察、讨论等方式，体会运用三角函数的图像与性质解决实际问题的方法，强化学生对所学知识的灵活运用，培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想，也培养了学生勇于探索，善于发现的创新思想.
七、教学反思
高三数学第一轮复习课究竟如何上？一直是我不断思考的，新课的教学，应该重视引导学生通过探索、归纳、类比获得新知.学习的过程，应该是一个经理“探索发现—归纳总结—应用实践”的认知过程，探索知识的形成、规律的发现、问题的解决.高三数学第一轮复习主要是落实基础知识，掌握基本方法和基本技能，通过典型例题，建立知识联系，拓展思维空间.如何基于学生已有的基础（知识、能力等）确定典型例题的起点和最高要求？如何基于教学目标的定位和教学过程，评价学生的复习有效性？这些问题都将是我现在乃至今后一段时间需要重视和研究的问题.