人教版八年级下册数学 18.2.1矩形的性质 课件（63张ppt）

(共63张PPT)
初二年级
数学
矩形的性质
长方形也叫矩形，是生活中常见的图形．
提出问题，引发思考
平行四边形
请你观察平行四边形的变化，给矩形下一个定义．
矩形
请你观察平行四边形的变化，给矩形下一个定义．
平行四边形
矩形
有一个角是直角
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
矩形是特殊的平行四边形
如图，记作矩形ABCD．
D
C
B
A
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
∵
四边形ABCD是平行四边形，
∠B=90°，
∴
□ABCD是矩形．
D
C
B
A
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
∵
四边形ABCD是矩形，
∴
四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°．
D
C
B
A
平行四边形
性质
边
角
对角线
探究性质，深化认知
对边平行且相等
对角相等、邻角互补
对角线互相平分
矩形
性质
边
角
对角线
对边平行且相等
对角相等、邻角互补
对角线互相平分
观察边、角、对角线
猜想矩形具有哪些一般平行四边形不具有的特殊性质．
平行四边形
矩形
有一个角是直角
有一个角是直角
观察角的变化
平行四边形
矩形
猜想：矩形的四个角都是直角．
有一个角是直角
观察对角线的变化
平行四边形
矩形
猜想：矩形的对角线相等．
猜想2
矩形的对角线相等．
猜想1
矩形的四个角都是直角；
猜想1
矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形．
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
D
C
B
A
AD∥BC
分析：
∠A=∠C，
∠D=∠B
∠A=90°
∠A+∠B=180°
D
C
B
A
四边形ABCD是矩形
□ABCD
∠B=90°
∠D=∠B=90°
证明：∵
四边形ABCD
是矩形，不妨设∠B=90°，
∴
∠A=∠C，∠D=∠B=90°，
AD∥BC．
∴
∠A+∠B=180°．
∴
∠A=180°-∠B=90°
．
∴
∠C=∠A=90°．
∴
∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
D
C
B
A
矩形的性质：
矩形的四个角都是直角．
∵
四边形ABCD是矩形，
∴
∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
D
C
B
A
猜想2
矩形的对角线相等．
已知：如图，四边形ABCD是矩形，
AC，BD是矩形ABCD的对角线．
求证：AC=BD
．
A
B
C
D
A
B
C
D
分析：
AB=CD
∠ABC=∠DCB=90°
△ABC≌△DCB
AC=BD
四边形ABCD是矩形
BC=CB
证明：∵
四边形ABCD是矩形，
∴
AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°．
又
BC=CB，
∴
△ABC≌△DCB．
∴
AC=BD．
方法一
A
B
C
D
分析：
AB=CD
∠ABC=∠DCB=90°
AC=BD
四边形ABCD是矩形
在Rt△ABC中，
在Rt△DCB中，
A
B
C
D
证明：∵
四边形ABCD是矩形，
∴
AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°．
∴
在Rt△ABC中，
，
在Rt△DCB中，
．
∴
．
∴
AC=BD．
方法二
A
B
C
D
∵
四边形ABCD是矩形，
∴
AC=BD．
矩形的性质：
矩形的对角线相等
A
B
C
D
矩形的性质：
矩形的对角线相等且互相平分．
∵
四边形ABCD是矩形，
∴
OA=OB=OC=OD．
O
A
B
C
D
矩形不同于平行四边形的特殊性质：
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等．
矩形
性质
边
角
对角线
矩形是特殊的平行四边形
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线相等且互相平分
边
角
对角线
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线相等且互相平分
性质
平行四边形
矩形
角特殊化
一般
特殊
例
矩形对角线组成的对顶角中，有一组是两个50°的角，对角线与各边组成的角是多少度？
如图，四边形ABCD是矩形，
对角线AC，BD交于点O，∠AOB=∠COD=50°．
1
2
3
4
5
6
7
8
运用性质，解决问题
A
B
C
D
O
四边形ABCD是矩形
分析：
OA=OB=OC=OD
∠1=∠2，∠3=∠4
∠5=∠6，∠7=∠8
∠1=∠2=∠5=∠6
∠3=∠4=∠7=∠8
AB∥DC，AD∥BC
∠1=∠5，
∠3=∠7
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
D
O
分析：
∠1=∠2=65°
∠3=90°-∠2=25°
∠AOB=50°
∠ABC=90°
OA=OB
四边形ABCD是矩形
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
D
O
答：对角线与各边组成的角
是65°和25°．
例
矩形对角线组成的对顶角中，有一组是两个50°的角，对角线与各边组成的角是多少度？
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
例
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长．
对角线相等且互相平分
A
B
C
D
O
分析：
（等边三角形）
等腰三角形
矩形的性质
例
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长．
例
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长．
OA=AB=4
OA=OB=OC=OD
△AOB是等边三角形
四边形ABCD是矩形
AC=8
A
B
C
D
O
分析：
四个角都是直角
A
B
C
D
O
分析：
直角三角形
矩形的性质
勾股定理
例
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长．
BC
∠ABC=∠DCB=∠CDA=∠DAB=90°
分析：
△ABC是直角三角形
四边形ABCD是矩形
A
B
C
D
O
例
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长．
例
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长．
BC
∠ACB=30°
AC=2AB=8
OB=OC
四边形ABCD是矩形
A
B
C
D
O
分析：
∠ABC=90°
30°
解
：∵
四边形ABCD是矩形，
∴
OA=OB，∠ABC=90°．
∵
∠AOB=60°，
∴
△OAB是等边三角形．
∴
OA=AB=4．
∴
AC=2OA=8．
A
B
C
D
O
例
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长．
∵
∠ABC=90°，
∴
△ABC是直角三角形．
在Rt△ABC中，
，
∴
．
A
B
C
D
O
例
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长．
等腰三角形
直角三角形
等边三角形
含30°角的直角三角形
A
B
C
D
O
60°
例题小结
A
B
C
D
O
等腰三角形
全等三角形
直角三角形
(等边三角形)
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
全等三角形
特
殊
化
三角形
平行四边形
矩形
直角三角形
平行四边形与三角形的联系
A
B
C
D
O
A
B
C
O
在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，
BO与AC有什么关系吗？
探究直角三角形的性质
矩形ABCD
Rt△ABC
A
B
C
D
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
探究直角三角形的性质
A
B
C
O
O
A
B
C
O
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
BO是斜边AC上的中线．
求证：
．
构造矩形
分析：
矩形的性质
A
B
C
O
A
B
C
D
O
A
B
C
O
构造矩形
分析：
OA=OC，DO=BO
四边形ABCD是平行四边形
□ABCD是矩形
∠ABC=90°
D
A
B
C
O
∵
OA=OC，DO=BO，
∴
四边形ABCD是平行四边形．
又
∠ABC=90°，
∴
□ABCD是矩形．
∴
AC=BD．
又
，
∴
．
延长BO至点D，使得DO=BO，连接AD，CD．
D
证明：
A
B
C
O
直角三角形的性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
∵
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
BO是斜边AC上的中线，
∴
．
练习
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是多少度？
运用性质，解决问题
C
A
E
D
B
练习
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是多少度？
∠ACD+∠BCD=90°
4∠BCD=90°
∠BCD=22.5°
∠ACD=67.5°
分析：
C
A
E
D
B
练习
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是多少度？
∠A=90°-∠ACD
分析：
∠ADC=90°，∠BDC=90°
C
A
E
D
B
∠B=90°-∠BCD
练习
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是多少度？
∠ECA=∠A
分析：
CE=AE，CE=BE
C
A
E
D
B
∠ECB=∠B
∠ACD=67.5°
∠A=90°-∠ACD=22.5°
∠ECA=∠A=22.5°
∠ECD=∠ACD-∠ECA=45°
分析：
C
A
E
D
B
∠BCD=22.5°
∠B=90°-∠BCD=67.5°
∠ECB=∠B=67.5°
∠ECD=∠ECB-∠BCD=45°
分析：
C
A
E
D
B
∵
∠ACD=3∠BCD，∠ACB=90°，
∴
∠ACD=67.5°．
又
CD⊥AB，
∴
∠A=90°-∠ACD=22.5°．
∵
∠ACB=90°，点E是斜边AB的中点，
∴
AE=CE．
∴
∠ECA=∠A=22.5°．
∴
∠ECD=∠ACD-∠ECA=45°．
C
A
E
D
B
解：
矩形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
矩形是轴对称图形．
对称轴是对边中点连线所在的直线．
探究矩形的轴对称性
平行四边形
有一个角是直角
矩形
定义
性质
边
角
对角线
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
一般
特殊
归纳总结，提升认识
角的特殊化
轴对称图形
构
造
转
化
直角
直角
归纳总结，提升认识
平行四边形
三角形
矩形
直角三角形
构
造
转
化
课后作业
1．一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一个交角为
120°，求这个矩形的边长（结果保留小数点后两位）．
课后作业
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A，∠B的
度数．
C
B
D
O
x
y
课后作业
3．如图，四边形OBCD是矩形，O，B，D三点的坐标分
别为（0，0），（b，0），（0，d），求点C的坐标．
同学们再见！