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棱柱、棱锥、棱台的结构特征
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.有两个面平行的多面体不可能是( )
A.棱柱
B.棱锥
C.棱台
D.以上都错
答案 B
解析 由棱锥的结构特征可得.
2.下列关于棱柱的说法中，错误的是( )
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
答案 C
解析 显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；D正确，故选C.
3.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是( )
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
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必修2\\03\\P15.TIF"
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
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必修2\\03\\P16.TIF"
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A.①是棱柱
B.②不是棱锥
C.③不是棱锥
D.④是棱台
答案 B
解析 结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误.
4.下列命题中正确的是( )
A.三棱柱的侧面为三角形
B.两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.棱台的底面是两个相似的正方形
D.棱锥的侧面和底面可以都是三角形
答案 D
5.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P17.TIF"
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答案 D
6.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P18.TIF"
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A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
答案 C
解析 选项A中≠，故A不正确；选项B中≠，故B不正确；选项C中＝＝，故C正确；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台，故选C.
7.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A.三棱锥
B.四棱锥
C.五棱锥
D.六棱锥
答案 D
解析 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥.
8.下面图形中是正方体展开图的是( )
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
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必修2\\03\\P19.TIF"
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P19A.TIF"
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答案 A
解析 由正方体表面展开图性质知A是正方体的展开图；B折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，故不能折成正方体；C缺少一个正方形；D折叠后有一个面重合，另外还少一个面，故不能折成正方体.故选A.
二、填空题
9.四棱柱有________条侧棱，________个顶点.
答案 4 8
10.一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱.
答案 5 6 9
11.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
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必修2\\03\\P20.TIF"
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答案 60°
12.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.
答案 ①③④⑤
解析 在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A－CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A－A1DC，故填①③④⑤.
三、解答题
13.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
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必修2\\03\\P21.TIF"
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问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？
解 (1)如图折起后的几何体是三棱锥.
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
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必修2\\03\\P22.TIF"
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(2)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，S△DEF＝a2.
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必修2\\03\\探究与拓展.TIF"
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14.一个长方体共顶点的三个面的面积分别是，，，则这个长方体对角线的长是________.
答案
解析 设长方体长、宽、高为x，y，z，
则yz＝，xz＝，yx＝，
三式相乘得x2y2z2＝6，即xyz＝，
解得x＝，y＝，z＝1，
所以＝＝.
15.试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来.
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
(3)三棱柱.
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必修2\\03\\P23.TIF"
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解 (1)如图所示，三棱锥A1－AB1D1(答案不唯一).
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必修2\\03\\P24.TIF"
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(2)如图所示，三棱锥B1－ACD1(答案不唯一).
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必修2\\03\\P25.TIF"
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(3)如图所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一).
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必修2\\03\\P26.TIF"
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棱柱、棱锥、棱台的结构特征
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.有两个面平行的多面体不可能是( )
A.棱柱
B.棱锥
C.棱台
D.以上都错
2.下列关于棱柱的说法中，错误的是( )
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
3.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是( )
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A.①是棱柱
B.②不是棱锥
C.③不是棱锥
D.④是棱台
4.下列命题中正确的是( )
A.三棱柱的侧面为三角形
B.两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.棱台的底面是两个相似的正方形
D.棱锥的侧面和底面可以都是三角形
5.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
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必修2\\03\\P17.TIF"
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6.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
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必修2\\03\\P18.TIF"
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A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
7.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A.三棱锥
B.四棱锥
C.五棱锥
D.六棱锥
8.下面图形中是正方体展开图的是( )
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二、填空题
9.四棱柱有________条侧棱，________个顶点.
10.一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱.
11.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.
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12.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.
三、解答题
13.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？
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14.一个长方体共顶点的三个面的面积分别是，，，则这个长方体对角线的长是________.
15.试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来.
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
(3)三棱柱.
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第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
第一章
§1.1 空间几何体的结构
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.
3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构和有关计算.
知识点一 多面体、旋转体的定义
类别
多面体
旋转体
定义
由若干个
围成的几何体
由一个平面图形绕它所在平面内的一条
旋转所形成的封闭几何体
图形
?
?
平面多边形
定直线
相关概念
面：围成多面体的各个_______
棱：相邻两个面的_______
顶点：棱与棱的公共点
轴：形成旋转体所绕的定直线
多边形
公共边
思考 构成空间几何体的基本元素是什么？常见的几何体可以分成哪几类？
答案 构成空间几何体的基本元素是：点、线、面.常见几何体可以分为多面体和旋转体.
知识点二 棱柱的结构特征
名称
定义
图形及表示
相关概念
分类
棱柱
有两个面互相
，其余各面都是
，并且每相邻两个四边形的公共边都互相
，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
?
如图可记作：
棱柱ABCDEF—
A′B′C′D′E′F′
底面(底)：两个互相
的面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的_______
顶点：侧面与底面的_________
按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱……
平行
四边形
平行
平行
公共边
公共顶点
思考 棱柱的侧面一定是平行四边形吗？
答案 棱柱的侧面一定是平行四边形.
知识点三 棱锥的结构特征
名称
定义
图形及表示
相关概念
分类
棱锥
有一个面是
，其余各面都是有一个公共顶点的
，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
?
如图可记作：棱锥S—ABCD
底面(底)：
面
侧面：有公共顶点的各个_________
侧棱：相邻侧面的_______
顶点：各侧面的____
_____
按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……
多边形
三角形
多边形
三角形面
公共边
公共
顶点
知识点四 棱台的结构特征
名称
定义
图形及表示
相关概念
分类
棱台
用一个_____
___________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台
?
如图可记作：
棱台ABCD—A′B′C′D′
上底面：平行于棱锥底面_____
下底面：原棱锥的_____
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
平行
于棱锥底面
截面
底面
思考 棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？
答案 一定相交于一点.
1.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.( )
2.棱柱的两个底面是全等的多边形.( )
3.棱柱最多有两个面不是四边形.( )
4.棱锥的所有面都可以是三角形.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
√
√
2
题型探究
PART
TWO
例1 (1)下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；
②每一个面都不会是三角形；
③两底面平行，并且各侧棱也平行；
④被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确的说法的序号是______.
题型一 棱柱的结构特征
③④
解析 ①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形.
②错误，棱柱的底面可以是三角形.
③正确，由棱柱的定义易知.
④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是③④.
(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
解 是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
解 截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
反思感悟
棱柱结构的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
跟踪训练1 下列命题中正确的是
A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
√
例2 (1)有下列三种叙述：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中正确的有
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
题型二 棱锥、棱台的结构特征
√
解析 ①中的平面不一定平行于底面，故①错；
②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错.故选A.
(2)下列说法中，正确的是
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
③棱锥的侧棱平行.
A.①
B.①②
C.②
D.③
√
解析 由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；
四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确；
棱锥的侧棱交于一点不平行，故③错.
反思感悟
判断棱锥、棱台的方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法
?
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
跟踪训练2 下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是______.
①②
解析 ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
典例 (1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)
解析 其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻.
空间几何体的平面展开图
核心素养之直观想象
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
ZHI
GUAN
XIANG
XIANG
√
(2)如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
解 图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；
图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；
图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.
把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.
素养
评析
(1)多面体展开图问题的解题方法
①绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图.
②由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多种平面展开图.
(2)借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题是直观想象的核心素养.
3
达标检测
PART
THREE
1.下面多面体中，是棱柱的有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足.
√
1
2
3
4
5
2.下面图形中，为棱锥的是
A.①③
B.①③④
C.①②④
D.①②
√
解析 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥.故选C.
1
2
3
4
5
3.有一个多面体，由四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为
A.四棱柱
B.四棱锥
C.三棱柱
D.三棱锥
解析 根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥.
√
1
2
3
4
5
4.如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是
A.①③
B.②④
C.③④
D.①②
解析 可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.故选C.
√
1
2
3
4
5
5.下列说法中正确的是
A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
解析 棱柱的两底面互相平行，故A正确；
棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；
立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；
由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形.但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.
√
1
2
3
4
5
1.棱柱、棱锥定义的关注点
(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有两个平面(底面)互相平行；
②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.
(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有一个面(底面)是多边形；
②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形.
2.根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
