(共33张PPT)
18
平行四边形
18.1.1
平行四边形的性质
第二课时
平行四边形的对角线的特征
课时目标
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质。
2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想，
体会图形性质探究的一般思路。
探究新知
平行四边形的对角线的性质
我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢?
A
B
C
D
O
如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O.
OA与OC,OB与OD有什么关系?
OA=OC,OB=OD
探究新知
已知：如图,□
ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
AD=BC，AD∥BC,
∴
∠1=∠2，∠3=∠4,
∴
△AOD≌△COB（ASA）,
∴
OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
探究新知
归纳总结
A
C
D
B
O
平行四边形的性质：
平行四边形的对角线互相平分.
应用格式：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
OA=OC，OB=OD.
探究新知
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，
∴AB－AD＝5cm.
又∵
ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm，
则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm.
例1
已知
ABCD
的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
探究新知
【变式题】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，平行四边形ABCD的周长是100cm，△AOB与△BOC的周长的和是122cm，且AC:DB=
2:1，求AC和BD的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，OB=OD，
∴AB+BC=50.
∵△AOB与△BOC的周长的和是122cm，
∴OA+OB+AB+OB+OC+BC=122，
即AC+BD=122-50=72.
又∵AC:DB=2:1，
∴AC=48cm，BD=24cm．
探究新知
例2
如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
解：BE＝DF，BE∥DF.
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD,
∴OE＝OF.
在△OFD和△OEB中，
OE＝OF，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△OFD≌△OEB，
∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，
∴BE∥DF.
探究新知
例3
如图，
ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF.
A
B
C
D
F
E
O
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ODF=∠OBE,
∠DFO=∠BEO,
∴△DOF≌△BOE（AAS）,
∴AB∥CD,
OD=OB,
∴OE=OF.
改变直线EF的位置，OE=OF
还成立吗?
探究新知
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.
同例3易证明OE=OF
还成立.
请判断下列图中，OE=OF
还成立么？
巩固练习
1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD=16，AC=24，BD=12，则△OBC的周长为（ ）
A.26
B.34
C.40
D.52
B
巩固练习
2.如图，在?ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，则对角线AC、BD的长度的和是（ ）
A.9
B.18
C.27
D.36
B
探究新知
例4 如图，在
ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.
求BC，CD，AC，OA的长，以及
ABCD的面积．
平行四边形的面积
A
B
C
D
O
探究新知
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8,CD=AB=10.
根据勾股定理得
是直角三角形.
又∵OA=OC,
A
B
C
D
O
探究新知
例5
如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积.
解：设AB=x，则BC=24-x.
根据平行四边形的面积公式可得5x=10(24-x)，
解得x=16．
则平行四边形ABCD的面积为5×16=80．
已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解.
探究新知
平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？
解：相等.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵△ADO与△ODC等底同高，
∴S△ADO=S△ODC.
同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB.
探究新知
平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
探究新知
A
B
C
D
O
F
E
例6
如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
探究新知
M
N
解：设直线EF交AD,BC于点N,M.
∵AD∥BC,
∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO.
又∵AO=CO,
∴△NAO≌△MCO，
∴S四边形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB
=S△AOB+S△COB=
.
∴S四边形ANMB=S四边形CMND
,
即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
A
B
C
D
O
F
E
探究新知
A
B
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
C
A
B
C
D
O
E
F
如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
同例5易求得平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
探究新知
1.把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是9cm2和12cm2，求平行四边形的面积．
解：（9+12）×2
=21×2
=42（cm2）
答：平行四边形的面积是42cm2．
探究新知
2.如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井，为了浇水的方便，欢欢建议我们经过水井修小路，一样可以把草地分成面积相等的两部分，同学们，你知道聪明的欢欢是怎么分的吗？
B
C
D
A
M
O
解：如图所示．
巩固练习
1.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且
AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是（
）
A.10
B.14
C.20
D.22
B
B
C
D
A
O
巩固练习
2.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A．∠ABO=∠CDO
B．∠BAD=∠BCD
C．AO=CO
D．AC⊥BD
D
B
C
D
A
O
巩固练习
B
C
D
A
O
3.在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m,
则m的取值范围是(
)
A.
24B.14C.7D.7C
巩固练习
4.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（ ）
A.16
B.14
C.12
D.10
A
D
C
B
F
E
O
C
巩固练习
5.如图，平行四边形ABCD的面积为20，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，CD上的点，且AE=DF，则图中阴影部分的面积为_______．
5
巩固练习
6.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，则BD的长是
.
巩固练习
7.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少？
巩固练习
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OB=OD.
∵OE⊥BD，
∴BE=DE.
∵△CDE的周长为10，
∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10，
∴平行四边形ABCD的周长为
2×(BC+CD)=20．
巩固练习
8.如图，已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，AC=24，BD=18，AB=16，求△OCD的周长及AD边的取值范围．
巩固练习
解：由题意得OA=OC=12，OB=OD=9，CD=AB=16,
∴△OCD的周长为12+9+16=37.
在△ACD中，24-16＜AD＜24+16，∴8＜AD＜40；
在△ABD中，18-16＜AD＜18+16，∴2＜AD＜34；
在△AOD中，12-9＜AD＜12+9，∴3＜AD＜21．
综上所述，AD的取值范围应是8＜AD＜21．
课堂小结
平行四边形对角线互相平分
两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.且与对角线围成的三角形相对的两个全等.
平行四边形对角线的性质(共33张PPT)
18
平行四边形
18.1.1
平行四边形的性质
第一课时
平行四边形的边、角特征
课时目标
1.理解并掌握平行四边形的概念及掌握平行四边形的定义和对边相等、对角相等的两条性质。
2.根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明。
情景导入
探究新知
平行四边形的定义
两组对边都不平行
一组对边平行
一组对边不平行
两组对边分别平行
问题1
观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
问题2
你们还记得我们以前对平行四边形的定义吗？
探究新知
1.定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
A
B
D
C
语言表述：
∵AD∥BC,AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
归纳总结
2.平行四边形用“
”
表示，如图，平行四边形ABCD记作
ABCD
(
要注意字母顺序).
探究新知
例1
如图，DC∥GH
∥
AB，DA∥
EF∥
CB，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来.
解：∵DC∥GH
∥
AB，DA∥
EF∥
CB，
∴根据平行四边形的定义可以判定图中共有9个平行四边形，即
D
A
B
C
H
G
F
E
K
BEKH,
CHKF,
BEFC,
CDGH,
ABCD.
AEKG,
ABHG,
AEFD,
GKFD,
用定义判定平行四边形，即看四边形两组对边是否分别平行.
探究新知
你能从以下图形中找出平行四边形吗？
(2)
(3)
(1)
(4)
(5)
√
√
探究新知
根据平行四边形的定义,请画一个平行四边形ABCD.
平行四边形的边、角的特征
D
A
B
C
探究新知
A
B
C
D
活动1
请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗?
测得AB=DC，AD=BC.
探究新知
A
B
C
D
测得∠A
=∠C，∠B
=∠D.
活动2
请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与
∠D之间的数量关系吗?
探究新知
猜想
平行四边形的两组对边，两组对角有什么数量关系？
两组对边及两组对角分别相等.
已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
证一证
A
B
C
D
探究新知
1
4
3
2
证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB
∥
CD,
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴
△ABC≌△CDA,
∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC.
∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，
∴∠BAD=∠BCD.
探究新知
思考
不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的
定义，证明其对角相等？
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB
∥
CD,
∴∠A+∠B=180°，
∠A+∠D=180°，
∴∠B=∠D.
同理可得∠A=∠C.
探究新知
平行四边形的对边相等．
平行四边形的对角相等．
平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有:
A
B
C
D
归纳总结
探究新知
例2
如图，在
ABCD
中.
(1)若∠A
=32。,求其余三个角的度数.
A
B
C
D
解：∵四边形ABCD是平行四边形
且
∠A
=32。(已知),
∴
∠A
=
∠C=32。,
∠B=
∠D
(平行四边形的对角相等).
又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行）,
∴
∠A
+
∠B
=180。(两直线平行，同旁内角互补),
∴
∠B=
∠D=
180。-
∠A
=
180。-
32。=148。.
探究新知
(2)连接AC，已知
ABCD
的周长等于20
cm，AC=7cm，求△ABC的周长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形(已知),
∴AB=CD，BC=AD(平行四边形的对边相等).
又∵AB+BC+CD+AD=20cm(已知),
∴AB+BC=
10cm.
∵AC=7cm,
∴
△ABC的周长为AB+BC+AC=
17cm.
A
B
C
D
探究新知
【变式题】
(1)在
ABCD
中,∠A:∠B=2:3,求各角的度数.
解：
(1)∵∠A,∠B是平行四边形的两个邻角,
∴∠A+∠B=180°.
又∵∠A:∠B=2:3,
设∠A=2x,∠B=3x,
∴2x+3x=
180°,
解得x=
36°.
∴
∠A
=
∠C=72°,
∠B=
∠D=108°.
平行四边形的邻角互补
探究新知
(2)若
ABCD
的周长为28cm,AB:BC=3:4,求各边的长度.
解：
(2)在平行四边形ABCD中,
∵AB=CD，BC=AD.
又∵AB+BC+CD+AD=28cm,
∴AB+BC=
14cm.
∵AB:BC=3:4,设AB=3ycm,BC=4ycm,
∴3y+4y=14，解得y=2.
∴AB=CD=6cm，BC=AD=8cm.
已知平行四边形的边角的比例关系求其他边角时，常会用到方程思想，结合平行四边形的性质列方程.
探究新知
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
例3
如图，在
ABCD
中,E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF，求证：
BE=DF.
∴∠BAE=∠DCF.
∴
△ABE≌
△CDF.
∴
AB=CD，AB
∥
CD
又∵AE=CF，
∴BE=DF.
A
D
B
C
E
F
探究新知
1.如图，在□ABCD中.
(1)若∠A=130°，则∠B=______
，∠C=______
，∠D=______.
(2)若AB=3,BC=5,则它的周长=
______.
(3)若∠A+
∠C=
200°，则∠A=_____，∠B=______.
C
D
A
B
50°
130°
50°
100°
80°
16
探究新知
2.如图，在平行四边形ABCD中，若AE平分∠DAB，AB=5cm,AD＝9cm,则EC＝
.
4cm
C
A
B
D
E
探究新知
例4
如图，在
ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E，F．求证：AE=CF．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
∠A=
∠C，AD=CB.
又∠AED=
∠CFB=90°，
∴
△ADE≌△CBF（AAS）,
∴AE=CF.
思考
在上述证明中还能得出什么结论？
DE=BF
D
A
B
C
F
E
探究新知
若m
//
n，作
AB
//
CD
//
EF，分别交
m于A、C、E，交
n于B、D、F.
由平行四边形的性质得AB=CD=EF.
两条平行线之间的平行线段相等.
由平行四边形的定义易知四边形ABCD，CDEF均为平行四边形.
归纳总结
C
B
F
E
A
D
m
n
探究新知
两条平行线间的距离相等.
若m
//
n，AB、CD、EF垂直于
n，交n于B、D、F，交
m于A、C、E.
B
F
E
A
n
m
C
D
同前面易得AB=CD=EF
两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离
点到直线的距离
巩固练习
如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC
=12cm2，求△ABD中AB边上的高．
解：S△ABC
=
AB?BC,=
×4
×BC=12cm2，
∴BC=6cm.
∵AB∥CD，
∴点D到AB边的距离等于BC的长度，
∴△ABD中AB边上的高为6cm．
巩固练习
1.在□ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（
）
A
.45°
B.
55°
C.
65°
D.
75°
A
A
B
C
M
D
巩固练习
2.判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)：
(1)平行四边形两组对边分别平行且相等.
(
)
(2)平行四边形的四个内角都相等.
(
)
(3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180°
(
)
(4)如果平行四边形相邻两边长分别是2cm和3cm，那么周长是10cm.
(
)
(5)在平行四边形ABCD中，如果∠A=42°，那么∠B=48°.
(
)
(6)在平行四边形ABCD中，如果∠A=35°，那么∠C=145°.
(
)
√
√
√
×
×
×
巩固练习
3.如图，D、
E、F
分别在△ABC的边AB、BC、AC上，且DE∥AC,DF∥BC,EF∥AB，则图中有_____个平行四边形.
3
巩固练习
4.如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，
△ABD的面积为16，则△ACE的面积为
.
A
B
C
D
E
10
巩固练习
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
AB∥CD，AD=BC.
∴
∠CDE=
∠DEA，∠CFB=
∠FBA.
又∵DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC,
∴∠CDE=
∠ADE，∠CBF=
∠FBA,
∴
∠DEA=
∠ADE，∠CFB=∠CBF,
∴AE=AD,
CF=BC,
∴AE=
CF.
5.已知在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC,BF平分∠ABC.求证:AE=CF.
A
B
D
C
E
F
巩固练习
6.有一块形状如图
所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？
解：∵AE//BC，AB//CF，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴∠D=∠B=60°，AD=BC=80cm.
∴ED=AD-AE=20cm.
答：DE的长度是20cm,
∠D的度数是60°.
巩固练习
证明：
∵
四边形BEFM是平行四边形,
∴
BM=EF,AB//EF
.
∵
AD平分∠BAC
,
∴
∠BAD=∠CAD
.
∵
AB//EF
,
∴
∠BAD=∠AEF
,
∴
∠CAD
=∠AEF
,
∴
AF=EF
,
∴
AF=BM
.
7.如图，在?ABC中,AD平分∠BAC,点M,E,F分别是AB,AD,AC上的点,四边形BEFM是平行四边形.求证：AF=BM.
B
D
C
E
F
A
M
课堂小结
平行
四边形
定义
两组对边分别平行的四边形
性质
两组对边分别平行，相等
两条平行线间的距离相等,
两条平行线间的平行线段也相等
两组对角分别相等，邻角互补
