(共28张PPT)
18
平行四边形
18.1.2
平行四边形的判定
第二课时
平行四边形的判定（2）
课时目标
1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法。
2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用。
情景导入
我们知道，两组对分别平行或相等的是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
猜想1：一组对边相等的四边形是平行四边形.
等腰梯形不是平行四边形，因而此猜想错误.
猜想2：一组对边平行的四边形是平行四边形.
梯形的上下底平行，但不是平行四边形，因而此猜想错误.
探究新知
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B
A
如图，将线段AB向右平移BC长度后得到线段CD，连接AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD的形状吗？
D
C
四边形ABCD是平行四边形
猜想3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
探究新知
A
B
C
D
如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
作对角线构造全等三角形
一组对应边相等
两组对边分别相等
四边形ABCD是平行四边形
探究新知
A
B
C
D
2
1
证明：连接AC.
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2.
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(SAS)，
∴BC=DA
.
又∵AB=
CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
AB=CD，
AC=CA，
∠1=∠2，
探究新知
归纳总结
平行四边形的判定定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
探究新知
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB
=CD，EB
//FD．
又∵EB
=
AB
，FD
=
CD，
∴EB
=FD
．
∴四边形EBFD是平行四边形．
例1
如图
，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.
探究新知
例2
如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形．
证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，
在△ACE和△DBF中，
AC＝BD
,∠A＝∠D,
AE＝DF
,
∴△ACE≌△DBF(SAS)，
∴CE=BF，∠ACE=∠DBF，
∴CE∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形．
探究新知
【变式题】
如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）求证：四边形CBED是平行四边形．
证明：（1）∵点C是AB的中点，∴AC=BC.
在△ADC与△CEB中，
AD＝CE
,
CD＝BE
,
AC＝BC
,
∴△ADC≌△CEB（SSS），
探究新知
（2）∵△ADC≌△CEB，
∴∠ACD=∠CBE，
∴CD∥BE.
又∵CD=BE，
∴四边形CBED是平行四边形．
巩固练习
1.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是（ ）
A．AB∥CD，AB=CD
B．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC=AD
D．AB=CD，BC=AD
C
巩固练习
A
B
C
D
E
F
证明：
∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，
∴AD∥
EF，AD=EF，EF∥
BC，
EF=BC.
∴AD∥
BC，AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
2.四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD
是平行四边形.
探究新知
平行四边形的性质与判定的综合运用
例3
如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？
探究新知
解：BF＝CE．理由如下：
∵DF∥BC，EF∥AC，
∴四边形FECD是平行四边形，∠FDB=∠DBE，
∴FD=CE.
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBD=∠EBD，
∴∠FBD=∠FDB.
∴BF=FD.
∴BF＝CE.
探究新知
例4
如图，将?ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形.
探究新知
证明：由题意得∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA=∠EAD′，
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，
∴∠DAD′=∠DED′，
∴四边形DAD′E是平行四边形，
∴DE=AD′.
探究新知
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴CE∥D′B，CE=D′B，
∴四边形BCED′是平行四边形.
此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，再结合平行四边形的判定及性质进行解题.
巩固练习
1.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
B
O
D
A
C
B
巩固练习
2.如图，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，写出图中除?ABCD以外的所有的平行四边形.
解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AD=BC.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE=BF=DE=FC，
∴四边形ADFE是平行四边形，四边形EFCB是平行四边形，四边形BEDF是平行四边形.
巩固练习
1.在?ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是（ ）
A．AF=CE
B．AE=CF
C．∠BAE=∠FCD
D．∠BEA=∠FCE
B
巩固练习
2.已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，周长为40cm，两邻边的比是3：2，则较大边的长度是（
）
A．8cm
B．10cm
C．12cm
D．14cm
C
3.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形的个数共有____个.
9
巩固练习
4.如图，点E，C在线段BF上，BE=CF，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．
证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC．
即BC=EF．
又∵∠B=∠DEF,∠ACB=∠F，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB=DE.
∵∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
∴四边形ABED是平行四边形．
巩固练习
5.如图，△ABC中，AB=AC=10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE+DF的值．
解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF.
又∵AB=AC=10，
∴∠B=∠C.
∵DF∥AB，
∴∠CDF=∠B，
∴∠CDF=∠C，
∴DF=CF，
∴DE+DF=AF+FC=AC=10．
巩固练习
6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)．
（1）用含t的代数式表示：
AP=_____；
DP=__________；
BQ=__________；CQ=________；
tcm
(12-t)cm
(15-2t)cm
2tcm
巩固练习
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
解：根据题意有AP=tcm，CQ=2tcm，
PD=(12-t)cm，BQ=(15-2t)cm．
∵AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t=15-2t，
解得t=5．
∴t=5s时四边形APQB是平行四边形；
巩固练习
解：由AP=tcm，CQ=2tcm，
∵AD=12cm，BC=15cm，
∴PD=AD-AP=12-t，
∵AD∥BC，
∴当PD=QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即12-t=2t，
解得t=4s，
∴当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
课堂小结
平行四边形的判定(2)
平行四边形的性质与判定的综合运用
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(共37张PPT)
18
平行四边形
18.1.2
平行四边形的判定
第三课时
三角形的中位线
课时目标
1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理。
2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题。
情景导入
平行四边形的性质和判定有哪些？
边：
角：
对角线：
B
O
D
A
C
?AB∥CD,
AD∥BC
?AB=CD,
AD=BC
?AB∥CD,
AD=BC
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
AO=CO,DO=BO
判定
性质
探究新知
三角形的中位线定理
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
A
B
C
D
E
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.则线段DE就称为△ABC的中位线.
探究新知
问题1
一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF.
问题2
三角形的中位线与中线有什么区别？
中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段.
A
B
C
D
E
F
探究新知
问题3
如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？
D
E
两条线段的关系
位置关系
数量关系
分析：
DE与BC的关系
猜想：
DE∥BC
度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论．
探究新知
平行
一条线段是另一条线段的一半
倍长短线
线段相等
分析1：
D
E
猜想：
三角形的中位线平行于三角形的
第三边且等于第三边的一半．
如何证明你的猜想？
角
平行四边形
或
探究新知
分析2：
D
E
互相平分
构造
平行四边形
倍长DE
探究新知
证明：
D
E
延长DE到F，使EF=DE．
连接AF、CF、DC
．
∵AE=EC，DE=EF
，
∴四边形ADCF是平行四边形．
F
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴CF
AD
,
∴CF
BD
,
又∵
，
∴DF
BC
．
∴DE∥BC，
．
如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点，
求证：
探究新知
D
E
证明：延长DE到F，使EF=DE．
F
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴△ADE≌△CFE．
∴∠ADE=∠F，AD=CF,
连接FC．
∵∠AED=∠CEF，AE=CE，
证法2：
∴BD
CF．
又∵
，
∴DF
BC
．
∴DE∥BC，
．
∴CF
AD
,
探究新知
归纳总结
D
E
符号语言：
△ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，
则DE∥BC，DE=
BC．
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
探究新知
重要发现：
①中位线DE、EF、DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE和BDEF，四边形BFED和CFDE，四边形ADFE和DFCE.
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
A
B
C
D
E
F
探究新知
例1
如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长
解：∵D、E分别为AC、BC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠2＝∠3.
又∵AF平分∠CAB，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DF＝3，
∴AC＝2AD＝2DF＝6.
1
2
3
探究新知
例2
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
探究新知
解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM=
AB，PN=
DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB=CD，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，
∴∠MPN=∠MPD+(180°?∠NPB)=130°，
∴∠PMN=(180°?130°)÷
2
=25°．
探究新知
例3
如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
探究新知
证明：取AC的中点F，连接BF.
∵BD＝AB，
∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,
∴CE＝BF，
∴CD＝2CE.
F
恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．
巩固练习
1.
如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点．
（1）
若DE=5，则BC=
．
（2）
若∠B=65°，则∠ADE=
°．
（3）
若DE+BC=12，则BC=
．
10
65
8
巩固练习
2.如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离为______m．
N
M
40
探究新知
三角形的中位线的与平行四边形的综合运用
例4
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
连接对角线
三角形问题
（三角形中位线定理）
四边形问题
分析：
探究新知
证明:连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴
EF∥HG,
EF=HG.
∴EF∥AC,
HG∥AC,
∴四边形EFGH是平行四边形.
顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.
探究新知
【变式题】如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形.
探究新知
证明：如图，连接BD.
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，
∴EH是△ABD的中位线，
FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD且EH=
BD，FG∥BD且FG=
BD，
∴EH∥FG且EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形.
探究新知
证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥
BC，DE=
BC.
∵CF=
BC，
∴DE=FC；
例5
如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=
BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
探究新知
（2）求EF的长．
解：∵DE∥FC，DE=FC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴EF=DC=
．
巩固练习
1.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（ ）
A.8
B.10
C.12
D.16
D
巩固练习
2.如图，?ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长．
解：∵?ABCD的周长为36，
∴BC+CD=18．
∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE=
CD，
∴OE=
BC，
∴△DOE的周长为OD+OE+DE=
（BD+BC+CD）=15，
即△DOE的周长为15．
巩固练习
1.如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为（ ）
A.1
B.2
C.4
D.8
C
巩固练习
2.如图，在?ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
C
巩固练习
3.如图，点
D、E、F
分别是
△ABC
的三边AB、BC、AC的中点.
（1）若∠ADF=50°，则∠B=
°；
（2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，则△
DEF的周长为
.
50
15
A
B
C
D
F
E
巩固练习
4.在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、
BD、
AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是
.
A
B
D
C
E
F
G
H
11
巩固练习
5.如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于
点F，E为BC的中点，求DE的长．
解：∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴AB=AF=6，BD=DF，
∴CF=AC-AF=4，
∵BD=DF，E为BC的中点，
∴DE=
CF=2．
巩固练习
6.如图，E为?ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
巩固练习
解：AB∥OF，AB＝2OF.
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，
∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.
∵CE＝DC，
∴AB＝CE,
∴△ABF≌△ECF(ASA)，
∴BF＝CF.∵OA＝OC，
∴OF是△ABC的中位线，
∴AB∥OF，AB＝2OF.
巩固练习
7.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
巩固练习
解：取BC边的中点G，连接EG、FG．
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，
∴EG=8，FG=6，EG⊥FG，
∴
∴EG∥AC,
FG∥BD,
G
课堂小结
三角形的中位线
三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半
三角形的中位线定理
三角形的中位线定理的应用(共37张PPT)
18
平行四边形
18.1.2
平行四边形的判定
第一课时
平行四边形的判定（1）
课时目标
1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路。
2.掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证。
情景导入
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
A
B
C
D
四边形ABCD
如果
AB∥CD
AD∥BC
问题1
平行四边形的定义是什么？有什么作用？
B
D
ABCD
A
C
可以用平行四边形的定义来判定平行四边形，如：
情景导入
问题2
除了两组对边分别平行，平行四边形还有哪些性质？
边：平行四边形的对边相等.
角：平行四边形的对角相等.
对角线：平行四边形的对角线互相平分.
问题3
平行四边形上面的三条性质的逆命题各是什么？
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
探究新知
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
已知：
四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证：
四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
探究新知
A
B
C
D
证明：连接AC，
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(SSS)
AB=CD
(已知)，
BC=DA(已知)，
AC=CA
(公共边)，
∴
∠1=∠4
,
∠
2=∠3，
∴AB∥
CD
,
AD∥
BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
1
4
2
3
探究新知
归纳总结
平行四边形的判定定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
探究新知
例1
如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：四边形PONM是平行四边形．
证明：Rt△MON中，
由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，
解得x＝8.
∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.
∴PM＝ON，OP＝MN，
∴四边形PONM是平行四边形．
探究新知
例2
如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
探究新知
解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC.
又∵BD＝BA，BF＝BC，
∴△ABC≌△DBF(SAS)，
∴AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB＝EF＝AD，
∴四边形DAEF是平行四边形．
巩固练习
如图,
AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：在Rt△ABC和Rt△ACD中，
∵AC=CA,AB=CD,
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL),
∴BC=DA.
又∵AB=CD,
∴四边形PONM是平行四边形．
探究新知
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
已知：四边形ABCD中，
∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
证明：∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴2∠A+2∠B=360°，
即∠A+∠B=180°，
∴
AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
同理得
AB∥
CD，
探究新知
平行四边形的判定定理：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
归纳总结
探究新知
例3
如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
探究新知
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；
(2)证明：∵AB∥DC，
∴∠2＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
又∵∠D＝∠B＝55°，
∴四边形ABCD是平行四边形．
巩固练习
1.判断下列四边形是否为平行四边形：
A
D
C
B
110°
70°
110°
A
B
C
D
120°
60°
是
不是
2.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：
∠A:∠B:∠C:∠D的值为（
）
A.
1:2:3:4
B.
1:4:2:3
C.
1:2:2:1
D.
3:2:3:2
D
探究新知
对角线互相平分的四边形是平行四边形
如图,将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？
B
D
O
A
C
猜想：四边形ABCD一直是一个平行四边形.
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
探究新知
A
B
C
D
O
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边
形ABCD是平行四边形.
探究新知
证明：在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌△COD(SAS)，
OA=OC
(已知)，
OB=OD
(已知)，
∠AOB=∠COD
(对顶角相等)，
∴
∠BAO=∠OCD
,
∠
ABO=∠CDO,
∴AB∥
CD
,
AD∥
BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
探究新知
平行四边形的判定定理：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵AO=CO,DO=BO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
O
D
A
C
归纳总结
探究新知
例4
如图，□ABCD
的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
B
O
D
A
C
E
F
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF
，
∴
AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
又∵BO=DO，
∴四边形BFDE是平行四边形.
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【变式题】
如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN是平行四边形吗？说说你的理由．
探究新知
解：四边形BMDN是平行四边形．
理由如下：连接BD交AC于O．
∵BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，
∴∠AND=∠CMB=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AO=CO，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAN=∠BCM,
∴△ADN≌△CBM，∴AN=CM，
∴OA-AN=OC-CM，即ON=OM,
∴四边形BMDN是平行四边形．
O
探究新知
拓展探究
昨天李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来?然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢(A,B,C为三顶点,即找出第四个顶点D)？
A
B
C
探究新知
D
A
B
C
方法依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
方法一：
探究新知
D
A
B
C
方法依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
方法二：
探究新知
方法依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
方法三：
D
O
A
B
C
探究新知
1.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是
(
)
A.两组对边分别相等
B.两条对角线互相平分
C.两条对角线相等
D.两组对边分别平行
2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O.
如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_____cm,
BO=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形.
B
O
D
A
C
C
4
5
巩固练习
1.判断对错:
(1)有一组对边平行的四边形是平行四边形.
(
)
(2)有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形.
(
)
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(
)
(4)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.
(
)
(5)有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形.
(
)
√
×
×
×
√
巩固练习
2.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA=OC，OB=OD
B．AB=CD，AO=CO
C．AB=CD，AD=BC
D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
B
O
D
A
C
B
巩固练习
3.如图，在四边形ABCD中，
(1)如果AB∥CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是___________.
(2)如果∠A：∠B：∠
C：∠D=a：b：a：b(a,b为正数),那么四边形ABCD是____________.
B
D
A
C
平行四边形
平行四边形
巩固练习
(3)如果AD=6cm,AB=4cm,那么当BC=_______cm,
CD=_____cm时,四边形ABCD为平行四边形.
6
4
B
D
A
C
巩固练习
4.如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD、CE，交于点P．
求证：四边形ABPE是平行四边形．
A
B
C
D
E
P
巩固练习
证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形的每个内角的度数是
AB=BC=CD=DE=AE，
∴∠DEC=∠DCE=
×(180°-108°)=36°，
同理∠CBD=∠CDB=36°，
∴∠ABP=∠AEP=108°-36°=72°，
∴∠BPE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A，
∴四边形ABPE是平行四边形．
巩固练习
5.如图，已知E，F，G，H分别是?ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：在平行四边形ABCD中，
∠A=∠C，AD=BC,
又∵BF=DH，
∴AH=CF.
又∵AE=CG，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=GF.
同理得△BEF≌△DGH（SAS），
∴GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
巩固练习
6.如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．
求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
证明：(1)∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D.
又∵∠COA=∠DOB，AO＝BO
，
∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，
∴CO＝DO.
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EO＝FO.
又∵AO＝BO，
∴四边形AFBE是平行四边形．
课堂小结
定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
平行四边形的判定（1）
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
