(共33张PPT)
18
平行四边形
18.2.1
矩形
第二课时
矩形的判定
课时目标
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理。
2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题。
情景导入
问题1
矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
问题2
矩形有哪些性质？
矩形
边：对边平行且相等
角：四个角都是直角
对角线：对角线互相平分且相等
探究新知
思考
工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
探究新知
对角线相等的平行四边形是矩形
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1
除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
矩形是特殊的平行四边形.
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
探究新知
问题2
上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，猜想“对角线相等的四边形是矩形”，你觉得对吗？
思考
你能证明这一猜想吗？
探究新知
已知：如图,在□ABCD中,AC
,
DB是它的两条对角线,
AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
证明：∵AB
=
DC,BC
=
CB,AC
=
DB,
∴
△ABC≌△DCB
,
∴∠ABC
=
∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC
+
∠DCB
=
180°,
∴
∠ABC
=
90°,
∴
□
ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
探究新知
归纳总结
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
探究新知
思考
数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
探究新知
例1
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=
AC，OB=OD=
BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=50°，∴∠OAB=40°.
探究新知
例2
如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.
求证:四边形EFGH是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
探究新知
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形的对角线相等)，
AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分），
∵
AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EO+OG=FO+OH，
即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形.
巩固练习
1.如图，在?ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定?ABCD是矩形的是（
）
A．AC=BD
B．AC=BC
C．AD=BC
D．AB=AD
A
巩固练习
A
B
C
D
O
2.如图，
ABCD中,
∠1=
∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？
解：四边形ABCD是矩形.
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
AO=CO,DO=BO.
又∵
∠1=
∠2，
∴AO=BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
探究新知
有三个角是直角的四边形是矩形
问题1
上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立
探究新知
问题2
至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
探究新知
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵
∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
探究新知
矩形的判定定理：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵
∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
归纳总结
探究新知
例3
如图，□?ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形
EFGH为矩形．
A
B
D
C
H
E
F
G
探究新知
证明：在□?ABCD中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、∠ABC的平分线,
A
B
D
C
H
E
F
G
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
∴∠AFB=90°，∴∠GFE=90°.
∴
∠BAE+
∠ABF=
∠DAB+
∠ABC=90°.
探究新知
例4
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．
探究新知
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝
∠BAC.
又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE＝
∠CAM,
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE
＝
(∠BAC＋∠CAM)＝90°.
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°,
∴四边形ADCE为矩形．
巩固练习
在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
D
巩固练习
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
×
×
×
×
√
√
√
√
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形.
巩固练习
2.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、
∠MCA、
∠
ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是（
）
A.梯形
B.平行四边形
C.矩形
D.不能确定
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
C
巩固练习
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°.
又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，
满足132=52+122，即
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
巩固练习
4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
巩固练习
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠FAE＝∠EAC.
∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，
∴AE∥CD.
又∵DE∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE平行且相等BD.
巩固练习
又∵BD＝DC，
∴AE平行且等于DC，
故四边形ADCE是平行四边形.
又∵∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
巩固练习
6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
巩固练习
解：设经过xs，四边形PQCD为平行四边形，
即PD＝CQ，
所以24－x＝3x，
解得x＝6.
即经过6s，四边形PQCD
是平行四边形；
巩固练习
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
解：设经过ys，四边形PQBA为矩形，
即AP＝BQ，
∴y＝26－3y，
解得y＝6.5，
即经过6.5s，四边形PQBA是矩形．
课堂小结
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理(共37张PPT)
18
平行四边形
18.2.1
矩形
第一课时
矩形的性质
课时目标
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系。
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题。
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用。
情景导入
长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？
探究新知
矩形的性质
活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.
矩形
探究新知
归纳总结
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形.
定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.也叫做长方形.
平行四边形不一定是矩形.
探究新知
思考
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
探究新知
活动2：
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.
探究新知
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1
矩形的四个角都是直角.
猜想2
矩形的对角线相等.
探究新知
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D,∠C=∠A,
AB∥DC.
∴∠B+∠C=180°.
又∵∠B
=
90°,
∴∠C
=
90°.
∴∠B=∠C=∠D=∠A
=90°.
如图,四边形ABCD是矩形,∠B=90°.
求证：
∠B=∠C=∠D=∠A=90°.
A
B
C
D
探究新知
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=
CB,
∴△ABC≌△DCB.
∴AC=DB.
A
B
C
D
O
如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.
求证：AC=DB.
探究新知
矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
几何语言描述：
在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB
=90°，AC=DB.
A
B
C
D
O
归纳总结
探究新知
例1
如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4
,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC
=
BD，
OA=OC=
AC,OB
=OD
=
BD
,
∴OA
=
OB.
又∵∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=BD=2OA=8.
A
B
C
D
O
矩形的对角线相等且互相平分
探究新知
例2
如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE
,垂足为F.求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
探究新知
证明：连接DE.
∵AD
=AE,∴∠AED
=∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE,
∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,
∴△DFE≌△DCE,
∴DF=DC.
探究新知
例3
如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
探究新知
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5，即DE＝5.
∴S△BED＝
DE·AB＝
×5×4＝10.
矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
探究新知
思考
请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.??矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
矩形的性质：
对称性：
.
对称轴：
.
轴对称图形
2条
巩固练习
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB∥DC
B．AC=BD
C．AC⊥BD
D．OA=OB
A
B
C
D
O
C
巩固练习
2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的______.
巩固练习
3.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
巩固练习
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
AO＝
AC，BO＝
BD，AC＝BD，
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，
∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°
∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
探究新知
直角三角形斜边上的中线的性质
A
B
C
D
O
活动：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.
B
C
O
A
问题
Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？
它的长度与斜边AC有什么关系？
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
探究新知
O
C
B
A
D
证明:
延长BO至D,
使OD=BO,
连接AD、DC.
∵AO=OC,
BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证:
BO
=
AC
?
∴BO=
BD=
AC.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
探究新知
例4
如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝
AB＝
×10＝5，
DF＝AF＝
AC＝
×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
探究新知
(2)求证：EF垂直平分AD.
证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD.
当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
探究新知
例5
如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
探究新知
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝
BC，DG＝
BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
探究新知
在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
巩固练习
如图，在△ABC中,∠ABC
=
90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC
=_____cm;
(2)若∠C
=
30°
,AB
=
5cm,则AC
=_____cm,
BD
=_____cm.
A
B
C
D
6
10
5
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是
(
)
A.对角线相等
B.对边相等
C.对角相等
D.对角线互相平分
2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为
(
)
A.13
B.6
C.6.5
D.不能确定
3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是(
)
A.20
°
B.40°
C.80
°
D.10°
巩固练习
A
C
C
巩固练习
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=______cm．
2.5
巩固练习
5.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______．
6
巩固练习
6.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
（1）求证：BD=BE,
A
B
C
D
O
E
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=
BD,AB∥CD.
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴AC=BE,
∴BD=BE.
巩固练习
（2）若∠DBC=30°
,
BO=4
,求四边形ABED的面积.
A
B
C
D
O
E
(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,
∴BD
=
2BO
=2×4=8.
∵∠DBC=30°,
∴CD=
BD=
×8=4,
∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.
在Rt△BCD中,
BC=
∴四边形ABED的面积=
×(4+8)×
=
.
巩固练习
7.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.
巩固练习
解：连接OP.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB，
∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC
=
S矩形ABCD=
×6×8=12.
在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=10，
∴AO=OD=5，
∵S△APO+S△DPO=S△AOD，
∴
AO·PE+
DO·PF=12，即5PE+5PF=24，
∴PE+PF=
.
课堂小结
矩形的相关概念及性质
具有平行四边行的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
