(共29张PPT)
18
平行四边形
18.2.3
正方形
第二课时
正方形的判定
课时目标
1．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别。
2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算。
情景导入
什么是正方形？正方形有哪些性质？
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.
A
B
C
D
O
探究新知
正方形的判定
活动1
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
矩形
猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
探究新知
已知：如图,在矩形ABCD中,AC
,
DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
对角线互相垂直的矩形是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴
AO=CO=BO=DO
，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴
AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
探究新知
活动2
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？
探究新知
菱形
正方形
一个角是直角
对角线相等
探究新知
已知：如图,在菱形ABCD中,AC
,
DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴
AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
探究新知
归纳总结
正方形判定的几条途径：
正方形
一个直角，
对角线相等
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
正方形
一组邻边相等，
对角线垂直
+
探究新知
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
巩固练习
在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（
）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
A
B
C
D
O
探究新知
例1
在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌
△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
探究新知
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形
.
探究新知
证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB
，
∴∠DEC=
∠DFC=90°.
又∵
∠C=90
°，
∴四边形ADFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线
DE⊥AC，DG⊥AB，
∴DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴四边形ADFC是正方形.
例2
如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.
求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
探究新知
例3
如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.
求证：四边形EFGH是正方形.
B
A
C
D
O
E
H
G
F
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO
=45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO
≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG,
探究新知
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO
,即EG=HF,
∴四边形EFGH为正方形.
B
A
C
D
O
E
H
G
F
探究新知
例4
如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，
问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
探究新知
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中，
AD＝AB
，∠DAE＝∠BAF
，AE＝AF
,
∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；
探究新知
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE=
AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE.
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，
∴得平行四边形AFBE，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
探究新知
思考
前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
矩形
正方形
任意四边形
平行四边形
菱形
正方形
E
F
G
H
E
F
G
H
E
F
G
H
巩固练习
1.下列命题正确的是（
）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
D
巩固练习
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（
）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
D
巩固练习
3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
A
B
C
D
O
巩固练习
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）．
②③或①④
巩固练习
5.如图，在四边形ABCD中,
AB=BC
,对角线BD平分?ABC
,
P是BD上一点,过点P作PM?AD
,
PN?CD
,垂足分别为M、N.
(1)
求证：?ADB=?CDB;
(2)
若?ADC=90?,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
证明：（1）∵AB
=
BC,BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.
∴△ABD≌△CBD
(SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
1
2
巩固练习
C
A
B
D
P
M
N
（2）∵∠ADC=90°;
又∵PM⊥AD,PN⊥CD;
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB;
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是正方形.
巩固练习
6.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
（1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．
（2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
（2）∵四边形AEDF为菱形，
∴AD平分∠BAC，
则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
巩固练习
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
解：由四边形AEDF为正方形
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
课堂小结
平行四边形
菱形
正方形
一个角是直角
矩形
正方形既是矩形又是菱形
一组邻边相等
一个角是直角
一组邻边相等 (共30张PPT)
18
平行四边形
18.2.3
正方形
第一课时
正方形的性质
课时目标
1.理解正方形的概念。
2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别。
3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题。
情景导入
探究新知
正方形的性质
矩
形
矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
正方形
探究新知
一个角是直角
菱形
正方形
菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
探究新知
矩
形
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
归纳总结
一个角是直角
菱
形
正方形
邻边相等
正方形
探究新知
已知：如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°,
AB=AC
（正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B
=∠C
=∠D
=
90°,
AB=
BC=CD=AD.
探究新知
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
A
B
C
D
探究新知
思考
请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.??正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
对称性：
.
对称轴：
.
轴对称图形
4条
平行四边形
探究新知
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
归纳总结
探究新知
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
性质：
1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
探究新知
例1
求证:
正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
已知:
如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.
求证:
△ABO、
△BCO、
△CDO、
△DAO是全等的等腰直角三角形.
探究新知
A
D
C
B
O
证明:
∵
四边形ABCD是正方形,
∴
AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴
△ABO、
△BCO、
△CDO、
△DAO都
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌
△BCO
≌
△CDO
≌
△DAO.
探究新知
例2
如图，在正方形ABCD中，
ΔBEC是等边三角形，求证：
∠EAD＝∠EDA＝15°
.
证明：∵
ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵
四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD,
∠ABE=
∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE=
∠BEA=
∠CDE=
∠CED=75°，
∴∠EAD=
∠EDA=90°-75°=15°.
探究新知
【变式题1】
四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
探究新知
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．
探究新知
【变式题2】
如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，即∠ABP=∠DCP．
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC．
探究新知
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵△APB≌△DPC，
∴AP=DP．
又∵AP=AB=AD，
∴DP=AP=AD．
∴△APD是等边三角形．
∴∠DAP=60°．
∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．
∴∠BAP=2∠PAC．
（2）求证：∠BAP=2∠PAC．
探究新知
例3
如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，
PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
A
B
C
D
P
E
F
解：连接PC，AC.
又∵PE⊥BC
，
PF⊥DC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°,
AC垂直平分BD,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF.
∴AP=PC.
∴AP=EF.
探究新知
在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.
探究新知
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是
(
)
A.四个角相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（
）
A.四条边相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
B
D
探究新知
3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
∴正方形的周长为4AD＝
，
面积为AD2＝8.
巩固练习
2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（
）
A.2cm2
B.4cm2
C.6cm2
D.8cm2
A
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（
）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
A
3．在正方形ABC中,∠ADB=
,∠DAC=
,
∠BOC=
.
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且是
.AE=AB，则∠EBC的度数1
巩固练习
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45°
90°
22.5°
第3题图
第4题图
45°
巩固练习
5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
巩固练习
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.
∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，
∴FC＝AC－AF＝(
－1)cm，
∴BE＝(
－1)cm．
巩固练习
6.
如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF.
BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
A
B
D
C
F
E
巩固练习
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE
=90°
.
∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
A
B
D
C
F
E
巩固练习
延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF
,
∴∠CBE
=∠CDF.
∵∠DCF
=90°
,
∴∠CDF
+∠F
=90°,
∴∠CBE+∠F=90°
,
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
A
B
D
F
E
C
M
课堂小结
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
