人教版八年级数学下册课件 17.2.1勾股定理的逆定理（35张ppt）

(共35张PPT)
17
勾股定理
17.2
勾股定理的逆定理
第一课时
勾股定理的逆定理
课时目标
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数。
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形。
情景导入
问题1
勾股定理的内容是什么?
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
B
C
A
b
c
a
问题2
求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
①
a＝3，b＝4；
②
a＝2.5，b＝6；
③
a＝4，b＝7.5.
c=5
c=6.5
c=8.5
探究新知
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
探究新知
勾股定理的逆定理
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,
b,
c:
①5,12,13;
②7,24,25;
③8,15,17.
问题
分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
探究新知
探究新知
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,
b,
c:
①5,12,13;
②7,24,25;
③8,15,17.
问题1
这三组数在数量关系上有什么相同点？
①
5,12,13满足52+122=132,
②
7,24,25满足72+242=252,
③
8,15,17满足82+152=172.
问题2
古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵32+42=52，∴满足.
a2+b2=c2
探究新知
由上面几个例子，我们猜想：
命题2
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
探究新知
△ABC≌
△
A′B′C′
？
∠C是直角
△ABC是直角三角形
A　
B　
C　
a
b
c
证一证:
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
探究新知
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，则
∴△ABC≌
△A′B′C′(SSS)，
∴∠C=
∠C′=90°，即△ABC是直角三角形.
探究新知
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a
、b
、c满足
a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形
，最长边所对应的角为直角.
探究新知
例1
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
（1）a=15
，b=8
，c=17;
（2）a=13
，b=14
，c=15.
解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，
且∠C是直角.
探究新知
根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
(2)∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
探究新知
【变式题1】
若△ABC的三边a,b,c满足
a:b:
c=3:4:5，是判断△ABC的形状.
解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
探究新知
已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.
探究新知
【变式题2】
(1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,
c=
，试说明△ABC是直角三角形.
解：∵a+b=4,ab=1,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.
又∵c2=14,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
探究新知
(2)
若△ABC的三边
a,b,c
满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.
试判断△ABC的形状.
解：∵
a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
∴
a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.
即
(a－3)?+
(b－4)?+
(c－5)?=0.
∴
a=3,
b=4,
c=5，
即
a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
探究新知
例2
如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝
CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
探究新知
解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a,
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
巩固练习
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　
）
A．2，3，4
B．3，4，6
C．5，12，13
D．4，6，7
C
2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（　
）
A．4
B．3
C．2.5
D．2.4
D
3.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是__________________________.
等腰三角形或直角三角形
探究新知
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
勾股数
探究新知
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
探究新知
下列各组数是勾股数的是(
)
A.6，8，10
B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5
D.52，122，132
A
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
探究新知
命题1
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
命题2
如果三角形的三边长a
、b
、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
前面我们学习了两个命题，分别为：
互逆命题与互逆定理
探究新知
命题1：直角三角形
a2+b2=c2
命题2：a2+b2=c2
直角三角形
题设
结论
它们是题设和结论正好相反的两个命题.
问题1
两个命题的条件和结论分别是什么？
问题2
两个命题的条件和结论有何联系？
探究新知
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
归纳总结
探究新知
说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
内错角相等，两条直线平行.
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.
成立
不成立
探究新知
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
对应角相等的三角形全等.
在角平分线上的点到角的两边距离相等.
不成立
成立
巩固练习
1.下列各组数是勾股数的是(
)
A.3，4，7
B.5，12，13
C.1.5，2，2.5
D.1，3，5
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形(
)
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形
B
A
巩固练习
3.在△ABC中，∠A,
∠B,
∠C的对边分别a,b,c.
①若∠C-
∠B=
∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题个数是（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
巩固练习
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式
，则△ABC的形状是
__________________．
等腰直角三角形
5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、
25cm，则这个三角形最长边上的高是______cm;
12
(2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_____________________________________．
有两个角相等的三角形是等腰三角形
巩固练习
6.已知△ABC，AB=n?-1，BC=2n，AC=n?+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵AB?+BC?=(n?-1)?+(2n)?
=n4
-2n?+1+4n?
=n4
+2n?+1
=(n?+1)?
=AC?，
∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.
巩固练习
7.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，
AD=CD=
,求四边形ABCD
的面积.
巩固练习
∴
△
ABC是直角三角形且∠B是直角.
∴
△
ADC是直角三角形且∠
D是直角，
∴
∴S
四边形
ABCD=
课堂小结
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a
、b
、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c，∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数