第3章图形的平移与旋转单元测试(基础版)（北师版)
考试范围：第3章图形的平移与旋转；考试时间：90分钟；总分：120分
一、单选题（每小题3分，共30分)
1．（2020·南京市金陵汇文学校初一月考）下列图形中，能将其中一个图形平移得到另一个图形的是
A．
B．
C．
D．
2．（2020·全国初一课时练习）在下列四个图案中，不能用平移变换来分析其形成过程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2019·沭阳县修远中学初二期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是（
）
A．(-3，2)
B．（2，-3）
C．（1，-2）
D．（-1，2）
4．（2019·北京初三期末）如图所示的网格是正方形网格，图中△ABC绕着一个点旋转，得到△A'B'C'，点C的对应点C'
所在的区域在1区?4区中，则点C'
所在单位正方形的区域是（
）
A．1区
B．2区
C．3区
D．4区
5．（2020·河北初三期末）如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上.若，则CD的长为（
）
A．1
B．
C．
D．2
6．（2017·河北初一期末）如图，和都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的下列说法正确的是（
）
A．旋转中心是点
B．旋转角是
C．既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转
D．旋转角是
7．（2020·河北初三）下列四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2019·广东初二期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·浙江初三）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1,2)，B(3,3)．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（
）
A．(2,-1)
B．(1,-2)
C．
(-2,1)
D．
(-2,-1)
10．（2018·重庆初一期末）如图，图（1）中的三角形有8个，图（2）中的三角形有14个，图（3）中的三角形有20个，…，则图（8）中的三角形有（ ）
A．48个
B．50个
C．56个
D．64个
二、填空题（每小题4分，共28分)
11．（2020·重庆初一期末）数轴上点表示的数是，将点向左平移个单位得到点，则点表示的数是__________．
12．（2020·南京市金陵汇文学校初一月考）将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为__________cm．
13．（2019·海南初一期末）如图，把△ABC绕点B按逆时针方向旋转35°，得到△A′BC′，若A′C′⊥AB于点D，则∠A=______度.
14．（2019·湖北初三期末）点A（m，n﹣2）与点B（﹣2，n）关于原点对称，则点A的坐标为_____．
15．（2020·北京市回民学校初三期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段OA绕原点O逆时针旋转90°，记点A（﹣1，）的对应点为A1，则A1的坐标为_______________．
16．（2020·全国初二课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为_____.
17．（2018·全国初二课时练习）如图所示，其中的图（2）可以看作是由图（1）经过____次旋转，每次旋转____得到的．
三、解答题一（每小题6分，共18分)
18．（2020·江苏初二期末）已知坐标平面内的三个点，，，把向下平移3个单位再向右平移2个单位后得.
（1）画出；
（2）的面积为
.
19．（2019·湖北初三）如图，在平面直角坐标系中，已知线段OA，点A（3，4）．
（1）将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到OA'，画出线段OA'．
（2）直接写出点A'的坐标．
20．（2020·全国初二课时练习）如图，在网格中作图．
（1）作出△ABC关于O点对称的△A1B1C1；
（2）作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2．
四、解答题二（每小题8分，共24分)
21．（2020·湖北初三期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转90°，得到线段PD，连接DB．
（1）请在图中补全图形；
（2）∠DBA的度数．
22．（2020·四川初三期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
（1）求证：DE∥BC．
（2）若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长．
23．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；并写出点A2、B2、C2坐标；
（3）请画出△ABC绕O逆时针旋转90°后的△A3B3C3；并写出点A3、B3、C3坐标．
五、解答题三（每小题10分，共20分)
24．（2020·江苏初三专题练习）如图，△ABC中，点E在BC边上．AE=AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置．使得∠CAF=∠BAE.连接EF，EF与AC交于点G．
(1)求证：EF
=BC；
(2)若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数．
25．（2020·天津初三期末）如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．
（1）求∠PCQ的度数；
（2）当AB＝4，AP＝时，求PQ的大小；
（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A，C重合），求证：2PB2＝PA2+PC2第3章图形的平移与旋转单元测试(基础版)（北师版)
考试范围：第3章图形的平移与旋转；考试时间：90分钟；总分：120分
一、单选题（每小题3分，共30分)
1．（2020·南京市金陵汇文学校初一月考）下列图形中，能将其中一个图形平移得到另一个图形的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据平移的性质，结合图形对选项进行一一分析，选出正确答案．
【详解】解：、图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到；
、图形由轴对称得到，不属于平移得到，不属于平移得到；
、图形由旋转变换得到，不符合平移的性质，不属于平移得到；
、图形的大小发生变化，不属于平移得到；
故选：．
【点睛】本题考查平移的基本性质，平移不改变图形的形状、大小和方向．注意结合图形解题的思想．
2．（2020·全国初一课时练习）在下列四个图案中，不能用平移变换来分析其形成过程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B．
【详解】解：观察图形可知图案B通过平移后可以得到．
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．
3．（2019·沭阳县修远中学初二期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是（
）
A．(-3，2)
B．（2，-3）
C．（1，-2）
D．（-1，2）
【答案】B
【解析】首先利用平移的性质得到△A1B1C1，进而利用关于x轴对称点的性质得到△A2B2C2，即可得出答案．
【详解】如图所示：点A的对应点A2的坐标是：（2，﹣3）．故选B．
4．（2019·北京初三期末）如图所示的网格是正方形网格，图中△ABC绕着一个点旋转，得到△A'B'C'，点C的对应点C'
所在的区域在1区?4区中，则点C'
所在单位正方形的区域是（
）
A．1区
B．2区
C．3区
D．4区
【答案】D
【解析】如图，连接A
A'，B
B'，分别作A
A'，B
B'的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，从而便可判断出点C'
位置.
【详解】
如图，连接A
A'，B
B'，分别作A
A'，B
B'的中垂线，两直线的交点O即为旋转中心，连接OC，易得旋转角为90°，从而进一步即可判断出点C'
位置.在4区.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握相关方法是解题关键.
5．（2020·河北初三期末）如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上.若，则CD的长为（
）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】D
【解析】由直角三角形的性质可得AB=2，BC=2AB=4，由旋转的性质可得AD=AB，可证△ADB是等边三角形，可得BD=AB=2，即可求解．
【详解】解：∵AC=，∠B=60°，∠BAC=90°
∴AB=2，BC=2AB=4，
∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，
∴AD=AB，且∠B=60°
∴△ADB是等边三角形
∴BD=AB=2，
∴CD=BC-BD=4-2=2
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
6．（2017·河北初一期末）如图，和都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的下列说法正确的是（
）
A．旋转中心是点
B．旋转角是
C．既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转
D．旋转角是
【答案】C
【解析】根据旋转的性质和直角三角形的性质即可解答．
【详解】解：A、△ABC通过旋转可得到△DCE，它的旋转中心是点C，错误；?
B、AC⊥CD旋转的旋转角为90°，错误；?
C、既可以顺时针旋转又可以逆时针旋转，正确；?
D、旋转角是∠ACD或者是360°?∠ACD，错误．?
故选C．
【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点??旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
7．（2020·河北初三）下列四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
8．（2019·广东初二期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】A既不是轴对称对称图象，也不是中心对称图形，不符合题意，
B既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意，
C是轴对称对称图象，但不是中心对称图形，不符合题意，
D是轴对称对称图象，但不是中心对称图形，不符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的定义，熟悉轴对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键．
9．（2020·浙江初三）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1,2)，B(3,3)．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（
）
A．(2,-1)
B．(1,-2)
C．
(-2,1)
D．
(-2,-1)
【答案】A
【解析】先找出对应点，再用线段顺次连接作出图形，根据图形解答即可.
【详解】如图，
.
故选A.
【点睛】本题考查了轴对称作图及中心对称作图，熟练掌握轴对称作图及中心对称的性质是解答本题的关键，中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
10．（2018·重庆初一期末）如图，图（1）中的三角形有8个，图（2）中的三角形有14个，图（3）中的三角形有20个，…，则图（8）中的三角形有（ ）
A．48个
B．50个
C．56个
D．64个
【答案】B
【解析】根据已知图形得出第n个图形中三角形的个数为6n+2，据此求解可得．
【详解】解：∵图（1）中的三角形个数8＝2+6×1，
图（2）中的三角形个数12＝2+6×2，
图（3）中的三角形个数20＝2+6×3，
……
∴图（8）中的三角形有2+6×8＝50，
故选：B．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中三角形的个数为6n+2．
二、填空题（每小题4分，共28分)
11．（2020·重庆初一期末）数轴上点表示的数是，将点向左平移个单位得到点，则点表示的数是__________．
【答案】7
【解析】根据平方的意义先求出点A表示的数，然后根据左减右加进行计算即可得答案.
【详解】(-3)2=9，
所以点A表示的数为9，
将点A向左平移两个单位得到点B，所以点B表示的数为9-2=7，
故答案为：7.
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，数轴上点的平移，解题的关键是牢记数轴上点的坐标变化和平移规律：左减右加．
12．（2020·南京市金陵汇文学校初一月考）将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为__________cm．
【答案】20
【解析】先根据平移的性质得到CF=AD=2cm，AC=DF，而AB+BC+AC=16cm，则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，
∴CF=AD=2cm，AC=DF，
∵△ABC的周长为16cm，
∴AB+BC+AC=16cm，
∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD
=AB+BC+AC+CF+AD
=16cm+2cm+2cm
=20cm．
故答案为：20cm．
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
13．（2019·海南初一期末）如图，把△ABC绕点B按逆时针方向旋转35°，得到△A′BC′，若A′C′⊥AB于点D，则∠A=______度.
【答案】55
【解析】由旋转的性质可知∠A＝∠A'，所以问题可以转化为求∠A'的度数，由垂直的定义和三角形外角和定理可求出∠A'的度数，问题得解．
【详解】∵将三角形ABC绕点B按顺时针方向旋转35°，得到△A’BC′，
∴∠ABA′＝35°，∠A＝∠A′．
∵A′C′⊥AB，
∴∠A’DB＝90°，
∴∠A′＝90°?35°＝55°．
∴∠A＝∠A′＝55°，
故答案为：55．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理等知识，得出∠A′的度数是解题关键．
14．（2019·湖北初三期末）点A（m，n﹣2）与点B（﹣2，n）关于原点对称，则点A的坐标为_____．
【答案】（2，﹣1）．
【解析】关于原点对称的两个坐标点，其对应横纵坐标互为相反数.
【详解】解：由题意得m=2，n-2=-n，解得n=1，故A点坐标为（2，﹣1）．
【点睛】本题考查了关于原点中心对称的两个坐标点的特点.
15．（2020·北京市回民学校初三期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段OA绕原点O逆时针旋转90°，记点A（﹣1，）的对应点为A1，则A1的坐标为_______________．
【答案】（-，-1）
【解析】根据旋转的性质即可得出结论.
【详解】如图，根据题意过点A作AB⊥y轴于点B，过点A1作A1C⊥y轴于点C，
依题意得：=OA，∠AO=90.
∴∠AOB+∠=90.
∵AB⊥y轴,
A1C⊥y轴,
∴,∠AOB+∠OAB=90.
∴∠∠OAB.
在和中
∴,
∴OC=AB=1,
∵点在第三象限，
∴的坐标为（-，1）.
故答案为（-，1）.
点睛：本题考查了旋转的基本性质，正确理解旋转前后的两个图形是全等形及全等形的对应边相等是解题的关键.
16．（2020·全国初二课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为_____.
【答案】（2,1）
【解析】观察图形，根据中心对称的性质即可解答.
【详解】∵点P（1，1），N（2，0），
∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），
∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，
∴对称中心的坐标为（2，1），
故答案为（2，1）．
【点睛】本题考查了中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
17．（2018·全国初二课时练习）如图所示，其中的图（2）可以看作是由图（1）经过____次旋转，每次旋转____得到的．
【答案】5
60°
【解析】
解：由6个图形组成，所以360°÷6=60°，故可以看成由一个图形经过5次旋转得到的，每次分别旋转了60°．故答案为：5，60°．
三、解答题一（每小题6分，共18分)
18．（2020·江苏初二期末）已知坐标平面内的三个点，，，把向下平移3个单位再向右平移2个单位后得.
（1）画出；
（2）的面积为
.
【答案】（1）见详解；（2）4.
【解析】（1）根据点的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可以直接算出A、B、O三个对应点D、E、F的坐标，然后画出图形即可；
（2）把△DEF放在一个矩形中，利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可．
【详解】解：（1）∵点A（1，3），B（3，1），O（0，0），
∴把△ABO向下平移3个单位再向右平移2个单位后A、B、O三个对应点D（1+2，3-3）、
E（3+2，1-3）、F（0+2，0-3），
即D（3，0）、E（5，-2）、F（2，-3）；如图：
（2）△DEF的面积：.
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，解题的关键是掌握平移后点的变化规律．
19．（2019·湖北初三）如图，在平面直角坐标系中，已知线段OA，点A（3，4）．
（1）将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到OA'，画出线段OA'．
（2）直接写出点A'的坐标．
【答案】（1）图形见解析;(2)
（-4，3）．
【解析】（1）根据旋转定义和要求易画出图形；（2）根据画出图形，可直接得到点的坐标.
【详解】解：（1）如图，线段OA'为所作；
′
（2）点A'的坐标为（-4，3）．
【点睛】考核知识点：画旋转90度图形，求点的坐标.
20．（2020·全国初二课时练习）如图，在网格中作图．
（1）作出△ABC关于O点对称的△A1B1C1；
（2）作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2．
【答案】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；见解析；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．见解析.
【解析】（1）连接AO并延长相同长度可得点，同理可得点B、C的对称点，顺次连接即可；（2）将AC绕点A顺时针旋转90°得到，同理可得，连接即可.
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
【点睛】本题考查了图形的中心对称与旋转，熟练掌握这两者的作图方法是解题的关键.
四、解答题二（每小题8分，共24分)
21．（2020·湖北初三期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转90°，得到线段PD，连接DB．
（1）请在图中补全图形；
（2）∠DBA的度数．
【答案】（1）见解析；（2）90°
【解析】（1）依题意画出图形，如图所示；
（2）先判断出∠BPD＝∠EPA，从而得出△PDB≌△PAE，简单计算即可．
【详解】解：（1）依题意补全图形，如图所示，
（2）过点P作PE∥AC，
∴∠PEB＝∠CAB，
∵AB＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB，
∴∠PEB＝∠PBE，
∴PB＝PE，
∵∠BPD+∠DPE＝∠EPA+∠DPE＝90°，
∴∠BPD＝∠EPA，
∵PA＝PD，
∴△PDB≌△PAE（SAS），
∵∠PBA＝∠PEB＝（180°﹣90°）＝45°，
∴∠PBD＝∠PEA＝180°﹣∠PEB＝135°，
∴∠DBA＝∠PBD﹣∠PBA＝90°．
【点睛】本题考查了作图旋转变换，全等三角形的性质和判定，判断是解本题的关键，也是难点．
22．（2020·四川初三期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
（1）求证：DE∥BC．
（2）若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长．
【答案】（1）见解析；（2）15
【解析】（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠ACB＝∠ACE＝60°，可得∠CDE＝60°＝∠ACB，可证DE∥BC；
（2）由旋转的性质可得AE＝BD＝7，即可求△ADE的周长．
【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°，
∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
∴CD＝CE，∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°＝∠ACB，
∴DE∥BC；
（2）∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE．
∴AE＝BD＝7，
∵△ADE的周长＝AE+DE+AD＝AE+DC+AD＝AE+AC，
∴△ADE的周长＝7+8＝15．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，解决本题的关键是正确理解题意，能够熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质，找到相等的线段和角.
23．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；并写出点A2、B2、C2坐标；
（3）请画出△ABC绕O逆时针旋转90°后的△A3B3C3；并写出点A3、B3、C3坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，A2（﹣1，﹣1）、B2（﹣4，﹣2）、C2（﹣3，﹣4）；（3）见解析，A3（﹣1，1）、B3（﹣2，4）、C3（﹣4，3）．
【解析】（1）利用平移的性质得出对应点的位置进而得出答案
（2）利用关于原点对称点的性质得出对应点的位置进而得出答案
（3）利用旋转的性质得出旋转后的点的坐标进而得出答案
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2（﹣1，﹣1）、B2（﹣4，﹣2）、C2（﹣3，﹣4）；
（3）如图，△A3B3C3即为所求，A3（﹣1，1）、B3（﹣2，4）、C3（﹣4，3）．
【点睛】本题主要考查了二次函数平移旋转等图形变换的基本性质，掌握前后变换规律是解题关键
五、解答题三（每小题10分，共20分)
24．（2020·江苏初三专题练习）如图，△ABC中，点E在BC边上．AE=AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置．使得∠CAF=∠BAE.连接EF，EF与AC交于点G．
(1)求证：EF
=BC；
(2)若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）78°.
【解析】（1）由旋转的性质可得AC=AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF=BC；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE=180°-65°×2=50°，那么∠FAG=50°．由△ABC≌△AEF，得出∠F=∠C=28°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC=∠FAG+∠F=78°．
【详解】（1）证明：∵∠CAF=∠BAE，
∴∠BAC=∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC=AF．
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF=BC；
（2）解：∵AB=AE，∠ABC=65°，
∴∠BAE=180°-65°×2=50°，
∴∠FAG=∠BAE=50°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F=∠C=28°，
∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明△ABC≌△AEF是解题的关键．
25．（2020·天津初三期末）如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．
（1）求∠PCQ的度数；
（2）当AB＝4，AP＝时，求PQ的大小；
（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A，C重合），求证：2PB2＝PA2+PC2
【答案】（1）90°；（2）2；（3）见解析
【解析】（1）先由旋转得出△ABP≌△CBQ，即：∠A=∠ACB=∠BCQ=45°，即可得出结论；
（2）先求出AC，进而求出PC，最后用勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠ACB＝45°，
∵△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．
∴△ABP≌△CBQ，
∴∠A＝∠ACB＝∠BCQ＝45°，
∴∠PCQ＝∠ACB+∠BCQ＝45°+45°＝90°；
（2）在等腰直角三角形ABC中，
∵AB＝4，
∴AC＝4，
∵AP＝，
∴PC＝AC﹣AP＝4﹣＝3，
由（1）知，△ABP≌△CBQ，
∴CQ＝AP＝，
由（1）知，∠PCQ＝90°，
根据勾股定理得，PQ＝＝＝2；
（3）证明：由（1）知，△ABP≌△CBQ，
∴∠ABP＝∠CBQ，AP＝CQ，PB＝BQ
∴∠CBQ+∠PBC＝∠ABP+∠PBC＝90°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形，
∴PQ＝PB，
∵AP＝CQ，
在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ2＝PC2+CQ2＝PA2+PC2
∴2PB2＝PA2+PC2．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判断和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△PCQ是直角三角形是解本题的关键．
