因式分解单元测试
考试范围：第4章因式分解；考试时间：90分钟；总分：120分
一、单选题（每小题3分，共30分)
1．（2020·浙江省初一期中）下列各式从左到右因式分解正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因式分解，常用的方法有：
（1）提取公因式；
（2）利用乘法公式进行因式分解
【详解】
A中，需要提取公因式：，A错误；
B中，利用乘法公式：，B错误；
C中，利用乘法公式：，C错误；
D中，先提取公因式，再利用乘法公式：，正确
故选：D
【点睛】
在进行因式分解的过程中，若能够提取公因式，往往第一步是进行提取公因式，在观察剩下部分是否还可进行因式分解.
2．（2018·安徽省初一期末）下面的多项式中，能因式分解的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】完全平方公式的考察，
【详解】
A、C、D都无法进行因式分解
B中，，可进行因式分解
故选：B
【点睛】
本题考查了公式法因式分解，常见的乘法公式有：平方差公式：
完全平方公式：
3．（2020·北大附属嘉兴实验学校初一月考）把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后，余下的部分是(
)
A．m+1
B．2m
C．2
D．m+2
【答案】D
【解析】
试题分析：先提取公因式（m﹣1）后，得出余下的部分．
解：（m+1）（m﹣1）+（m﹣1），
=（m﹣1）（m+1+1），
=（m﹣1）（m+2）．
故选D．
考点：因式分解-提公因式法．
点评：先提取公因式，进行因式分解，要注意m﹣1提取公因式后还剩1．
4．（2020·深圳市宝安区文汇学校初二月考）多项式12ab3c＋8a3b的公因式是( )
A．4ab2
B．4abc
C．2ab2
D．4ab
【答案】D
【解析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
【详解】
，
4ab是公因式，
故答案选：D．
【点睛】
本题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“?1”．
5．（2020·深圳市宝安区文汇学校初二月考）下列多项式中，不能用提公因式法因式分解的是（ ）
A．x3﹣x+1
B．(a﹣b)﹣4(b﹣a)2
C．11a2b﹣7b2
D．5a(m+n)﹣3b2(m+n)
【答案】A
【解析】分别确定每个选项的公因式可得答案．
【详解】
A、x3﹣x+1，不能利用提公因式法分解因式，故此选项符合题意；
B、(a﹣b)﹣4(b﹣a)2，可以提公因式(a﹣b)，能利用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意；
C、11a2b﹣7b2，可以提公因式b，能利用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意；
D、5a(m+n)﹣3b2(m+n)可以提公因式(m+n)，能利用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查用提公因式法分解因式，正确判断出公因式是解题的关键．
6．（2020·深圳市宝安区文汇学校初二月考）下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A．a2﹣b2
B．49x2﹣y2z2
C．﹣x2﹣y2
D．16m2n2﹣25p2
【答案】C
【解析】能运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，据此判断即可．
【详解】
A、a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)，能用平方差公式分解，故此选项不合题意；
B、49x2﹣y2z2＝(7x+yz)(7x﹣yz)，能用平方差公式分解，故此选项不合题意；
C、﹣x2﹣y2不能用平方差公式分解，故此选项符合题意；
D、16m2n2﹣25p2＝(4mn﹣5p)(4mn+5p)，能用平方差公式分解，故此选项不合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
7．（2019·陕西省初二期末）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对下列各式进行因式分解，然后判断利用完全平方公式分解即可．
【详解】
解：A、，不能用完全平方公式分解因式，故A选项错误；
B、，不能用完全平方公式分解因式，故B选项错误；
C、，能用完全平方公式分解，故C选项正确；
D、不能用完全平方公式分解因式，故D选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的公式法是解本题的关键．
8．（2019·浙江省初一月考）下列因式分解结果正确的是(
)．
A．10a3+5a2=5a(2a2+a)
B．4x2-9=(4x+3)(4x-3)
C．a2-2a-1=(a-1)2
D．x2-5x-6=(x-6)(x+1)
【答案】D
【解析】A可以利用提公因式法分解因式(必须分解到不能再分解为止)，可对A作出判断；而B符合平方差公式的结构特点，因此可对B作出判断；C不符合完全平方公式的结构特点，因此不能分解，而D可以利用十字相乘法分解因式，综上所述，即可得出答案.
【详解】
A、原式=5a2(2a+1)，故A不符合题意；
B、原式=(2x+3)(2x-3)，故B不符合题意；
C、a2-2a-1不能利用完全平方公式分解因式，故C不符合题意；
D、原式=(x-6)(x+1)，故D符合题意；
故答案为D
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法和十字相乘法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．
9．（2018·四川省初二期末）下列各组多项式中，没有公因式的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】C
【解析】分别分析各选项中的代数式，能因式分解的先进行因式分解，再确定没有公因式的选项即可．
【详解】
解：A、=5x（1-2y），=x（1-2y），有公因式（1-2y），故本选项不符合；
B、=x（a-b），=-y（a-b），有公因式（a-b），故本选项不符合；
C、与没有公因式，故本选项符合；
D、=（a+b）2，与（a+b）有公因式（a+b），故本选项不符合；
故选C.
【点睛】
本题主要考查公因式的确定，掌握找公因式的正确方法，注意互为相反数的式子，只需改变符号即可变成公因式．
10．（2019·浙江省初一月考）不论,为任何实数，
的值总是（
）
A．正数
B．负数
C．非负数
D．非正数
【答案】A
【解析】
x?+y?－4x-2y+8=(x?－4x+4)+(y?-2y+1)+3=(x-2)2+(y-1)2+3≥3，
不论x,y为任何实数,x?+y?－4x-2y+8的值总是大于等于3，
故选A.
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是要明确要判断一个算式是正数时总是将其整理成一个完全平方公式加正数的形式．
二、填空题（每小题4分，共28分)
11．（2020·广西壮族自治区初三三模）分解因式：9m2－n2=_________．
【答案】(3m＋n)(3m－n)
【解析】
分析：因为9m2＝(3m)2，所以可以用平方差公式分解因式.
详解：9m2－n2＝(3m)2－n2＝(3m＋n)(3m－n).
故答案为(3m＋n)(3m－n).
点睛：平方差公式的特点是：①等号左边是二项式，每一项都可以表示为平方的形式，两项的符号相反；②等号右边是两数的和与两数的差的积，被减数是左边平方项为正的那个数.
12．（2020·黑龙江省初三零模）分解因式的结果为__________．
【答案】（x-5）（3x-2）
【解析】先把代数式进行整理，然后提公因式，即可得到答案.
【详解】
解：
=
=；
故答案为：.
【点睛】
本题考查了提公因式法分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的几种方法.
13．（2019·浙江省初三二模）分解因式：__________．
【答案】
【解析】利用完全平方公式分解因式的知识求解即可求得答案．
【详解】
＝．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了完全平方公式分解因式．此题比较简单，注意完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2．
14．（2020·北京四中初三零模）分解因式：2x2﹣18＝_____．
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【解析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
原式＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．（2020·浙江省初三二模）因式分解：a2b﹣4ab+4b＝_____．
【答案】b（a﹣2）2
【解析】先提公因式，然后再用公式法分解因式即可.
【详解】
解：原式＝b（a2﹣4a+4）＝b（a﹣2）2，
故答案为：b（a﹣2）2
【点睛】
本题是对因式分解的考查，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键.
16．（2020·北大附属嘉兴实验学校初一月考）利用因式分解计算：7.56×1.09＋1.09×6－12.56×1.09＝________．
【答案】1.09
【解析】观察原式，可以明显的看出所求的代数式中含有公因数1.09，因此可以考虑应用提取公因式法来进行求值．
【详解】
7.56×1.09+1.09×6﹣12.56×1.09=1.09×（7.56+6﹣12.56）=1.09×1=1.09．
故答案为1.09．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，解此类题的关键是能够发现所求式子的特点，以便确定使用哪种简便的方法求解．
17．（2020·山西省初二月考）把多项式
x2
+
ax
+
b
分解因式得（x+1）（x﹣3），则
a－b
的值是_____．
【答案】1
【解析】把因式分解后的式子展开即可得出答案．
【详解】
∵
又
∴
∴
故答案为1．
【点睛】
本题考查的是因式分解，属于基础题型，解题关键是因式分解后的式子展开后与原式对应项系数相等．
三、解答题一（每小题6分，共18分)
18．（2019·辽宁省初二月考）因式分解：．
【答案】
【解析】原式首先提取公因式2，再把剩下的因式运用完全平方公式进行因式分解即可.
【详解】
原式
【点睛】
此题主要考查了提公因式与公式法的综合运用，解题的关键是确定公因式以及完全平方公式的运用.
19．（2020·湖北省黄石八中初三一模）已知求的值．
【答案】8
【解析】先把分解因式，然后把x，y的值代入化简即可.
【详解】
【点睛】
本题考查了代数式的运算，运用平方差公式对原式进行因式分解是解题的关键.
20．（2018·浙江省初一期末）因式分解：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据平方差公式因式分解即可；
（2）先提公因式，然后根据完全平方公式分解即可.
【详解】
解：（1）原式=；
（2）原式=
=
【点睛】
本题是对因式分解的考查，熟练掌握提公因式，平方差及完全平方公式是解决本题的关键.
解答题二（每小题8分，共24分)
21．（2018·四川省初二期末）把下列各式分解因式：
（1）2a（x﹣y）﹣6b（y﹣x）；
（2）（a2+4）2﹣16a2．
【答案】（1）2（x﹣y）（a+3b）；（2）（a+2）2（a﹣2）2．
【解析】（1）两次运用提公因式法，即可得到结果；
（2）先运用平方差公式，再运用完全平方公式，即可得到结果．
【详解】
（1）2a（x﹣y）﹣6b（y﹣x）
＝2a（x﹣y）+6b（x﹣y）
＝2（x﹣y）（a+3b）；
（2）（a2+4）2﹣16a2
＝（a2+4+4a）（a2+4﹣4a）
＝（a+2）2（a﹣2）2．
【点睛】
本题主要考查了提公因式法以及公式法的综合运用，解题时注意：有公因式时，先提出公因式，再运用公式法进行因式分解．
22．（2020·四川省北大附中成都为明学校初二月考）因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）通过提取公因式法和平方差公式，即可得到答案；
（2）通过提取公因式法和完全平方公式，即可得到答案．
【详解】
（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】
本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法和公式法因式分解，是解题的关键．
23．（2020·重庆南开中学初二月考）因式分解
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解；
（2）将前三项利用完全平方公式分解，然后再利用平方差公式继续分解．
【详解】
解：（1）原式；
（2）原式．
【点睛】
此题主要考查了利用公式法、提取公因式法、分组分解法进行分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
解答题三（每小题10分，共20分)
24．（2018·山东省初二期末）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的
；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：
；
（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）（x﹣2）4；（3）（x+1）4．
【解析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）根据材料，用换元法进行分解因式．
【详解】
（1）故选C；
（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，设x2﹣4x=y，则：
原式=（y+1）（y+7）+9=y2+8y+16=（y+4）2=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4．
故答案为：（x﹣2）4；
（3）设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）4．
【点睛】
本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
25．（2019·山东省初一期中）（一）阅读
求x?+6x+11的最小值．
解：x?+6x+11
=x2+6x+9+2
=（x+3）2+2
由于（x+3）2的值必定为非负数，所以（x+3）2+2，即x2+6x+11的最小值为2．
（二）解决问题
（1）若m2+2mn+2n2-6n+9=0，求（）-3的值；
（2）对于多项式x2+y?-2x+2y+5，当x，y取何值时有最小值，最小值为多少？
【答案】（1）－1；（2），，3
【解析】（1）将原式根据完全平方公式变形，利用平方的非负性求出m、n代入计算即可；
（2）将原式中的5化为1+1+3，根据完全平方公式变形，再根据非负性求出最小值.
【详解】
解：（1）解：原式可变为
，
且，
，，
；
（2）原式
．
因为和的值必定为非负数，
所以当，时，有最小值，最小值为3．
【点睛】
此题考查完全平方公式，平方的非负性，将多项式正确变形是解题的关键.因式分解单元测试
考试范围：第4章因式分解；考试时间：90分钟；总分：120分
一、单选题（每小题3分，共30分)
1．（2020·浙江省初一期中）下列各式从左到右因式分解正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2018·安徽省初一期末）下面的多项式中，能因式分解的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·北大附属嘉兴实验学校初一月考）把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后，余下的部分是(
)
A．m+1
B．2m
C．2
D．m+2
4．（2020·深圳市宝安区文汇学校初二月考）多项式12ab3c＋8a3b的公因式是( )
A．4ab2
B．4abc
C．2ab2
D．4ab
5．（2020·深圳市宝安区文汇学校初二月考）下列多项式中，不能用提公因式法因式分解的是（ ）
A．x3﹣x+1
B．(a﹣b)﹣4(b﹣a)2
C．11a2b﹣7b2
D．5a(m+n)﹣3b2(m+n)
6．（2020·深圳市宝安区文汇学校初二月考）下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A．a2﹣b2
B．49x2﹣y2z2
C．﹣x2﹣y2
D．16m2n2﹣25p2
7．（2019·陕西省初二期末）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2019·浙江省初一月考）下列因式分解结果正确的是(
)．
A．10a3+5a2=5a(2a2+a)
B．4x2-9=(4x+3)(4x-3)
C．a2-2a-1=(a-1)2
D．x2-5x-6=(x-6)(x+1)
9．（2018·四川省初二期末）下列各组多项式中，没有公因式的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
10．（2019·浙江省初一月考）不论,为任何实数，
的值总是（
）
A．正数
B．负数
C．非负数
D．非正数
二、填空题（每小题4分，共28分)
11．（2020·广西壮族自治区初三三模）分解因式：9m2－n2=_________．
12．（2020·黑龙江省初三零模）分解因式的结果为__________．
13．（2019·浙江省初三二模）分解因式：__________．
14．（2020·北京四中初三零模）分解因式：2x2﹣18＝_____．
15．（2020·浙江省初三二模）因式分解：a2b﹣4ab+4b＝_____．
16．（2020·北大附属嘉兴实验学校初一月考）利用因式分解计算：7.56×1.09＋1.09×6－12.56×1.09＝________．
17．（2020·山西省初二月考）把多项式
x2
+
ax
+
b
分解因式得（x+1）（x﹣3），则
a－b
的值是_____．
三、解答题一（每小题6分，共18分)
18．（2019·辽宁省初二月考）因式分解：．
19．（2020·湖北省黄石八中初三一模）已知求的值．
20．（2018·浙江省初一期末）因式分解：
（1）；
（2）.
解答题二（每小题8分，共24分)
21．（2018·四川省初二期末）把下列各式分解因式：
（1）2a（x﹣y）﹣6b（y﹣x）；
（2）（a2+4）2﹣16a2．
22．（2020·四川省北大附中成都为明学校初二月考）因式分解：
（1）
（2）
23．（2020·重庆南开中学初二月考）因式分解
（1）
（2）
解答题三（每小题10分，共20分)
24．（2018·山东省初二期末）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的
；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：
；
（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
25．（2019·山东省初一期中）（一）阅读
求x?+6x+11的最小值．
解：x?+6x+11
=x2+6x+9+2
=（x+3）2+2
由于（x+3）2的值必定为非负数，所以（x+3）2+2，即x2+6x+11的最小值为2．
（二）解决问题
（1）若m2+2mn+2n2-6n+9=0，求（）-3的值；
（2）对于多项式x2+y?-2x+2y+5，当x，y取何值时有最小值，最小值为多少？
