因式分解单元测试
考试范围：第4章因式分解；考试时间：90分钟；总分：120分
一、单选题（每小题3分，共30分)
1．（2020·浙江省初一期中）下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】试题解析：A、是整数的乘法，故A错误；
B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故B错误；
C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故C正确；
D、是整数的乘法，故D错误；
故选C．
2．（2018·安徽省初一期末）下列各式中，不含因式a+1的是（ ）
A．2a2+2a
B．a2+2a+1
C．a2﹣1
D．
【答案】D
【解析】A.
2a2+2a=2a(a+1)
，故不符合题意；
B.
a2+2a+1=(a+1)2
，故不符合题意；
C.
a2﹣1=(a+1)(a-1)
，故不符合题意；
D.
=(a+)2，故符合题意；
故选D.
3．（2020·北大附属嘉兴实验学校初一月考）下列各式用提取公因式法分解因式正确的是( )
A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a)
B．3x2y－3xy＋6y＝3y(x2－x＋2)
C．4x4－2x3y＝x3(4x－2y)
D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a－2b－3c)
【答案】B
【解析】此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案．
【详解】
A.?a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a-1)，故本选项错误.
B.?3x2y－3xy＋6y＝3y(x2－x＋2)，故本选项正确.
C.?4x4－2x3y＝2x3(2x－y)，故本选项错误.
D.?－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a－2b+3c)
故本选项错误.
故答案选：B.
【点睛】本题考查的知识点是因式分解-提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-提公因式法.
4．（2020·深圳市宝安区文汇学校初二月考）将多项式－6a3b2－3a2b2＋12a2b3因式分解时，应提取的公因式是( )
A．－3a2b2
B．－3ab
C．－3a2b
D．－3a3b3
【答案】A
【解析】【详解】略
5．（2020·深圳市宝安区文汇学校初二月考）若为整数，则一定能被（
）整除
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，且m为整数故m2＋m可以看作是两个连续整数的积．
【详解】
解析：，
为整数，
，中必有个偶数，
能被整除．
故选：A
【点睛】本题考查分解因式的实际运用，解题的关键是注意两个连续整数中必有一个是偶数．
6．（2020·深圳市宝安区文汇学校初二月考）把多项式（a+b）2-100进行分解因式，其结果是（ ）
A．（a+b-10）2
B．（a+b+10）2
C．（a+b-10）（a-b+10）
D．（a+b-10）（a+b+10）
【答案】D
【解析】通过观察原式，可以把100写出10的平方，然后利用平方差公式进行因式分解.
【详解】
因式分解是可把看成一个整体，则：
故答案为D
【点睛】本题考察了利用平方差公式因式分解，平方差公式为，务必牢记.
7．（2019·陕西省初二期末）下列各式中能用完全平方公式分解的是( )．
①x2－4x＋4；②6x2＋3x＋1；③4x2－4x＋1；④x2＋4xy＋2y2；⑤9x2－20xy＋16y2.
A．①②
B．①③
C．②③
D．①⑤
【答案】B
【解析】完全平方公式的形式是：a2+b2±2ab=(a±b)2，据此进行解答即可.
【详解】
解：x2－4x＋4=(x-2)2，4x2－4x＋1=(2x-1)2，只有这两个能用完全平方公式进行因式分解，故①和③能用，其他几项均不能用，
故选择B.
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键.
8．（2019·浙江省初一月考）下列因式分解，错误的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】利用十字相乘法一一判断即可.
【详解】
解：选项A、B、D正确，
选项C：y2+7y+12=（y+3）（y+4），
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，灵活运用提公因式法、公式法、十字相乘法等知识．
9．（2018·四川省初二期末）下列说法中正确的是( )．
A．多项式mx2－mx＋2中的公因式是m
B．多项式7a2＋14b没有公因式
C．x－2＋x3中各项的公因式为x2
D．多项式10x2y3＋15xy2的公因式为5xy2
【答案】D
【解析】直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，进而得出答案．
【详解】
A．多项式mx2－mx＋2没有公因式，故此选项错误；
B．多项式7a2＋14b的公因式为：7，故此选项错误；
C．x－2＋x3中各项没有公因式，故此选项错误；
D．多项式10x2y3＋15xy2的公因式为5xy2，故此选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了公因式，正确把握确定公因式的方法是解题的关键．
10．（2019·浙江省初一月考）如果a2+16与一个单项式的和可以用完全平方公式法分解因式，那么这个单项式可以是（???
）
A．4a
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】完全平方公式中间的项是第一个数与第二个数的积的2倍，本题的第一个数是a，第二个数是4，据此可以找出答案.
【详解】
解：.
故选B.
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，掌握公式的特点是解题的关键.
二、填空题（每小题4分，共28分)
11．（2020·广西壮族自治区初三三模）分解因式：
．
【答案】
【解析】试题分析：利用完全平方公式分解因式得
考点：分解因式
点评：本题考查分解因式，本题的关键是利用完全平方公式进行分解因式，考生要对分解因式的方法熟悉
12．（2020·黑龙江省初三零模）分解因式=
．
【答案】3（x+y）2
【解析】略
13．（2019·浙江省初三二模）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是__________．
【答案】
【解析】根据公式法（完全平方公式）因式分解即可得.
【详解】
由题意得
即
则
故答案为：.
【点睛】本题考查了利用公式法因式分解，熟记完全平方公式：是解题关键.需注意的是，完全平方公式有两个，即两个数的和（差）的平方.
14．（2020·浙江省初三二模）分解因式：
=__________________________________.
【答案】
【解析】试题解析：-2x3y+12x2y2-18xy3
=-2xy（x2-6xy+9y2）
=-2xy（x-3y）2，
故答案为：-2xy（x-3y）2．
15．（2020·北大附属嘉兴实验学校初一月考）若，，则的值是__________.
【答案】2
【解析】提取公因式因式分解后整体代入即可求解．
【详解】
.
故答案为：2.
【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于分解因式.
16．（2020·山西省初二月考）（______）．
【答案】
【解析】将等式右边进行因式分解，从而求得答案.
【详解】
解：
故答案为：.
【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的技巧，正确进行因式分解是本题的解题关键
17．（2020·深圳市宝安区文汇学校初二月考）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC为_____三角形．
【答案】等腰或直角或等腰直角．
【解析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式，然后分三种情况进行讨论．
【详解】
∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴c2(a+b)(a﹣b)＝（a2+b2）(a+b)(a﹣b)，
∴当a＝b，则△ABC是等腰三角形；
当a≠b，则c2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形，
当a＝b，且c2＝a2+b2，则△ABC是等腰直角三角形，
∴△ABC为等腰三角形或直角或等腰直角三角形．
故答案为：等腰或直角或等腰直角．
【点睛】本题考查了用提公因式法与平方差公式分解因式，用提公因式法与平方差公式分解因式得到a，b，c的关系式是解题的关键，注意考虑问题要全面．
三、解答题一（每小题6分，共18分)
18．（2019·陕西省初二期末）分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式变形后，提取公因式即可．
【详解】
解：（1）原式；
（2）原式．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．（2019·浙江省初一月考）分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）先提公因式，然后利用公式法因式分解，即可得到答案；
（2）先提公因式，然后利用公式法因式分解，即可得到答案.
【详解】
解：（1）
=
=；
（2）
=
=
=.
【点睛】本题考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解.
20．（2019·莆田砺青中学初二期中）当，时，求代数式的值.
【答案】4+2.
【解析】先化简原式，再把x,y的值代入即可．
【详解】
由题意知，，，所以x+y=,，，
所以.
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
解答题二（每小题8分，共24分)
21．（2019·河北省初三三模）嘉琪采用一种新的方法将分解因式，过程如下：
①
②
③
④
(1)
③的变形依据是
．
(2)仿照嘉琪的做法，分解因式．
【答案】（1）利用平方差公式因式分解；（2）
【解析】（1）根据利用平方差公式分解因式可得答案；
（2）将原式变形为，再利用公式法进行因式分解．
【详解】
解：（1）③的变形依据是利用平方差公式因式分解；
(2)
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查运用公式法进行因式分解，解题的关键是理解材料中因式分解的方法和步骤，正确的运用乘法公式．
22．（2020·江阴市利港中学初一月考）先阅读后解题:
已知，求和的值
解：把等式的左边分解因式：
即
因为，
所以，即，
.
利用以上解法，解下列问题：已知：，求和的值.
【答案】
【解析】先把等式左边变形得到两个完全平方式，即,
再根据几个非负数的和为0的性质得到,然后解两个一次方程即可．
【详解】
,
,
.
【点睛】考查公式法分解因式和非负数的性质，几个非负数的和为0，则它们都为0.
23．（2018·四川省初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了,过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．
(1)分解因式：；
(2)△ABC三边a、b、c满足，判断△ABC的形状．
【答案】（1）；（2）△ABC的形状是等腰三角形；
【解析】（1）先根据完全平方公式进行分解，再根据平方差公式分解即可；
（2）先从中提取公因式，从中提取公因式，再提取它们的公因式，最后根据，判断出△ABC是等腰三角形.
【详解】
（1）；
（2）∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的形状是等腰三角形.
【点睛】本题主要考查因式分解及应用，熟练运用分组分解法是关键.
解答题三（每小题10分，共20分)
24．（2018·安徽省初一期末）(1)分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x2+4x+4＝
，16x2+24x+9＝
，9x2﹣12x+4＝
(2)观察以上三个多项式的系数，有42＝4×1×4，242＝4×16×9，(﹣12)2＝4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c(a＞0)是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系．
①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系；
②解决问题：若多项式x2﹣2(m﹣3)x+(10﹣6m)是一个完全平方式，求m的值．
【答案】(1)（x+2）2，（4x+3）2，（3x﹣2）2；（2）①b2=4ac，②m=±1
【解析】（1）根据完全平方公式分解即可；
（2）①根据已知等式得出b2=4ac，即可得出答案；
②利用①的规律解题．
【详解】
（1）x2+4x+4=（x+2）2，16x2+24x+9=（4x+3）2，9x2-12x+4=（3x-2）2，
故答案为（x+2）2，（4x+3）2，（3x-2）2；
（2）①b2=4ac，
故答案为b2=4ac；
②∵多项式x2-2（m-3）x+（10-6m）是一个完全平方式，
∴[-2（m-3）]2=4×1×（10-6m），
m2-6m+9=10-6m
m2=1
m=±1．
【点睛】本题考查了对完全平方公式的理解和应用，能根据完全平方公式得出b2=4ac是解此题的关键．
25．（2019·广西壮族自治区初一期中）仔细阅读下面例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式为，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，
由题意得，
即，
则有，解得，
所以另一个因式为，的值是．
问题：请仿照上述方法解答下面问题，
（1）若，则__________，__________；
（2）已知二次三项式有一个因式为，求另一个因式以及的值．
【答案】（1），；（2）另一个因式为，的值是
【解析】（1）由题意利用多项式乘多项式进行运算分析即可求出答案；
（2）根据题意设另一个因式为，利用整式的运算以及待定系数法求出另一个因式以及的值．
【详解】
解：（1）∵，
∴，，
故答案为：，.
（2）设另一个因式为，
由题意得：，
即，
则有，解得
所以另一个因式为，的值是.
【点睛】本题考查因式分解的实际运用，正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解答本题的关键．第4章
因式分解单元测试
考试范围：第4章因式分解；考试时间：90分钟；总分：120分
一、单选题（每小题3分，共30分)
1．（2020·浙江省初一期中）下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是
(
)
A．
B．
C．
D．
2．（2018·安徽省初一期末）下列各式中，不含因式a+1的是（ ）
A．2a2+2a
B．a2+2a+1
C．a2﹣1
D．
3．（2020·北大附属嘉兴实验学校初一月考）下列各式用提取公因式法分解因式正确的是( )
A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a)
B．3x2y－3xy＋6y＝3y(x2－x＋2)
C．4x4－2x3y＝x3(4x－2y)
D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a－2b－3c)
4．（2020·深圳市宝安区文汇学校初二月考）将多项式－6a3b2－3a2b2＋12a2b3因式分解时，应提取的公因式是( )
A．－3a2b2
B．－3ab
C．－3a2b
D．－3a3b3
5．（2020·深圳市宝安区文汇学校初二月考）若为整数，则一定能被（
）整除
A．
B．
C．
D．
6．（2020·深圳市宝安区文汇学校初二月考）把多项式（a+b）2-100进行分解因式，其结果是（ ）
A．（a+b-10）2
B．（a+b+10）2
C．（a+b-10）（a-b+10）
D．（a+b-10）（a+b+10）
7．（2019·陕西省初二期末）下列各式中能用完全平方公式分解的是( )．
①x2－4x＋4；②6x2＋3x＋1；③4x2－4x＋1；④x2＋4xy＋2y2；⑤9x2－20xy＋16y2.
A．①②
B．①③
C．②③
D．①⑤
8．（2019·浙江省初一月考）下列因式分解，错误的是(
)
A．
B．
C．
D．
9．（2018·四川省初二期末）下列说法中正确的是( )．
A．多项式mx2－mx＋2中的公因式是m
B．多项式7a2＋14b没有公因式
C．x－2＋x3中各项的公因式为x2
D．多项式10x2y3＋15xy2的公因式为5xy2
10．（2019·浙江省初一月考）如果a2+16与一个单项式的和可以用完全平方公式法分解因式，那么这个单项式可以是（???
）
A．4a
B．
C．
D．
二、填空题（每小题4分，共28分)
11．（2020·广西壮族自治区初三三模）分解因式：
．
12．（2020·黑龙江省初三零模）分解因式=
．
13．（2019·浙江省初三二模）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是__________．
14．（2020·浙江省初三二模）分解因式：
=__________________________________.
15．（2020·北大附属嘉兴实验学校初一月考）若，，则的值是__________.
16．（2020·山西省初二月考）（______）．
17．（2020·深圳市宝安区文汇学校初二月考）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC为_____三角形．
三、解答题一（每小题6分，共18分)
18．（2019·陕西省初二期末）分解因式：
（1）
（2）
19．（2019·浙江省初一月考）分解因式：
（1）
（2）
20．（2019·莆田砺青中学初二期中）当，时，求代数式的值.
解答题二（每小题8分，共24分)
21．（2019·河北省初三三模）嘉琪采用一种新的方法将分解因式，过程如下：
①
②
③
④
(1)
③的变形依据是
．
(2)仿照嘉琪的做法，分解因式．
22．（2020·江阴市利港中学初一月考）先阅读后解题:
已知，求和的值
解：把等式的左边分解因式：
即
因为，
所以，即，
.
利用以上解法，解下列问题：已知：，求和的值.
23．（2018·四川省初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了,过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．
(1)分解因式：；
(2)△ABC三边a、b、c满足，判断△ABC的形状．
解答题三（每小题10分，共20分)
24．（2018·安徽省初一期末）(1)分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x2+4x+4＝
，16x2+24x+9＝
，9x2﹣12x+4＝
(2)观察以上三个多项式的系数，有42＝4×1×4，242＝4×16×9，(﹣12)2＝4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c(a＞0)是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系．
①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系；
②解决问题：若多项式x2﹣2(m﹣3)x+(10﹣6m)是一个完全平方式，求m的值．
25．（2019·广西壮族自治区初一期中）仔细阅读下面例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式为，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，
由题意得，
即，
则有，解得，
所以另一个因式为，的值是．
问题：请仿照上述方法解答下面问题，
（1）若，则__________，__________；
（2）已知二次三项式有一个因式为，求另一个因式以及的值．
