江西省南昌市进贤县第一中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学试题（理）（word版含答案）

（理科）数学试卷
第I卷（选择题)
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是(　　)
A．将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和
B．某篮球运动员6次罚球中投进的球数
C．电视机的使用寿命
D．从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数
2．已知下表为与之间的一组数据，若与线性相关，则与的回归直线必过点(
)
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
A．(2,2)
B．(1.5,0)
C．(1,2)
D．(1.5,4)
3．自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（
）
A．12种
B．24种
C．36种
D．72种.
4．展开式中的系数为（
）
A．-7
B．28
C．35
D．42
5．如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（
）
A．240
B．360
C．420
D．960
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“—
—”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A．
B．
C．
D．
7．把个相同的小球放到三个编号为的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（
）
A．
B．
C．
D．
8．过正方形的顶点，作平面，若，则平面和平面所成的锐二面角的大小是
A．
B．
C．
D．
9．多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（
）（单位）
A．
B．
C．
D．32
10．已知三个正态分布密度函数（,
）的图象如图所示则（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图所示，在棱长为
的正方体中，点分别是棱的中点，过三点作该正方体的截面，则截面的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
12．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选择题)
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．水平放置的的斜二测直观图如图所示,已知,则中边上的中线的长度为_______
.
14．若多项式，则______.
15．在长方体中，底面是正方形，若，，则异面直线与所成的角的正切值为__________．
16．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______.
三、解答题（17小题10分，18－22每小题12分共70分）
17．若的展开式的二项式系数和为128．
（1）求的值;
（2）求展开式中的常数项;
（3）求展开式中二项式系数的最大项．
18．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的左视图、俯视图、直观图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.
（Ⅰ）求该几何体的表面积和体积；
（Ⅱ）求点C到平面MAB的距离.
19．如图所示,
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB=5，AA1＝4，点D是AB的中点，
（1）求证：
AC1//平面CDB1；
（2）求二面角C1-AB-C的平面角的正切值.
20．如图，在斜三棱柱中，已知，，且.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值
．
21．继共享单车之后，又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相南昌市，一款共享汽车在南昌提供的车型是“吉利”.每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里＋0.1元/分钟”，李先生家离上班地点10公里，每次租用共享汽车上、下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：
时间（分钟）
次数
8
14
8
8
2
以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分钟.
（1）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设是4次使用共享汽车中最优选择的次数，求的分布列和期望.
（2）若李先生每天上、下班均使用共享汽车，一个月（以20天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）.
22．一商家诚邀甲、乙两名围棋高手进行一场网络国棋比赛，每比赛一局商家要向每名棋手支付2000元对局费，同时商家每局从转让网络转播权及广告宣传中获利12100元，从两名棋手以往比赛中得知，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，两名棋手约定：最多下五局，先连胜两局者获胜，比赛结束，比赛结束后，商家为获胜者颁发5000元的奖金，若没有决出获胜者则各颁发2500元.
（1）求下完五局且甲获胜的概率是多少；
（2）求商家从这场网络棋赛中获得的收益的数学期望是多少.
理科数学参考答案
1．C2．D3．C4．B5．C6．A7．B8．B9．B10．D11．B12．D
13．
首先根据直观图可知其平面图形为直角三角形，且两条直线边长为长，接下来利用勾股定理即可求出AB的长，然后利用直角三角形的性质进行解答即可.
【详解】
把直观图还原成平面图形如图所示：
得为直角三角形，且两条直角边的长，
由勾股定理可得，
故三角形AB边上的中线长为，
故答案是.
14．
由二项式定理及其展开式通项公式得展开式的通项为，令，解得，则，得解．
【详解】
由展开式的通项为，
令，解得，
则，
故答案为：．
15．
根据题意求出底面正方形的边长为2，所以长方体的高为1．然后根据两条异面直线所成角的定义作出与所成的角，通过解三角形的方法求出正切值．
【详解】
设，
由四边形是正方形可得．
因为底面，
所以，，
所以，
即，解得．
所以．
因为，
所以即异面直线与所成的角，
在中，，
所以异面直线与所成角的正切值为．
故答案为．
16．
根据题意，由排列组合公式分析3名志愿者辅导4门学科的情况数目，再分析其中甲辅导数学的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科，
每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科；
则有种情况，
若甲辅导数学，有种情况，
则数学学科恰好由甲辅导的概率为，
故答案为：．
17．（1）
（2）
（3）
【解析】
试题分析：（1）二项式系数和为（2）求展开式的某一项需要首先找到展开式的代入相应的值求解（3）二项式系数最大的项为中间的一项或两项本题中展开后有8项，因此需求第4,5两项
试题解析：（1）
3分
（2）,令,,常数项为
8分
（3）
12分
考点：二项式定理及展开式的性质
18．（Ⅰ）体积是4，表面积是;
（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：
（1）由题意得该几何体为四棱锥，然后根据三视图中的数据可得几何体的体积和表面积．（2）设C到面MAB的距离为，然后根据可得，即所求的点到面的距离．
试题解析：
由三视图可得，在几何体中，EA平面ABC，DC平面ABC，AE∥DC，AE=2，DC=4，
ABAC，且AC=2．
（Ⅰ）∵EA平面ABC，AB平面ABC，
∴EAAB，
又ABAC，，
∴AB平面ACDE，
∴四棱锥B—ACDE的高，
又梯形ACDE的面积，
∴体积为；
表面积为S=
.
（Ⅱ）如图，过M作MN⊥BC于N，过N作NH⊥AB于H，则MH⊥AB．
结合题意可得点M到AB的距离，
故．
设C到面MAB的距离为，
由得：
，
即
解得．即点C到平面MAB的距离．
19．（1）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）连接DE，得DE∥AC1，由直线与平面平行的判定定理得AC1∥平面CDB1.
（2）过点C作AB的垂线CF交AB于点F，连C1F，得∠CFC1为C﹣AB﹣C1的平面角，得FC，在Rt△C1CF中得FC，解三角形即可求二面角C﹣AB﹣C1的正切值．
【详解】
（1）连接DE，由题意可知：DE为△ABC1的中位线，可知DE∥AC1，由
?AC1∥平面CDB.
（2）过点C作AB的垂线CF交AB于点F，连C1F，∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥AB，又由AB⊥CF且CC1∩CF＝C，∴AB⊥平面CFC1，∴AB⊥FC1
于是有
?∠CFC1为C﹣AB﹣C1的平面角，在Rt△C1CF中得FC＝＝.
在Rt△C1CF中，CC1＝4，CF
．
∴二面角C﹣AB﹣C1的正切值为.
20．（1）见解析；（2）余弦值为.
（1）证明：连接，在平行四边形中，得，又，证得，利用线面垂直的判定定理得，进而得到平面平面.
（2）取的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到平和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值．
【详解】
（1）证明：连接，在平行四边形中，
由得平行四边形为菱形，所以，
又，所以，所以，
又，所以，所以平面平面
（2）取的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则的法向量为，
设面的法向量为，
因为，所以
由，令，则
设所求二面角为，则
故二面角的余弦值为.
21．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）542元.
【解析】
试题分析：（1）首先求为最优选择的概率是，故ξ的值可能为0，1，2，3，4，且ξ～B（4，），进而求得分布列和期望值；（2）根据题意得到每次花的平均时间为35.5，根据花的费用为10+35.5
0.1得到费用.
解析：
（Ⅰ）李先生一次租用共享汽车，为最优选择的概率
依题意ξ的值可能为0，1，2，3，4，且ξ～B（4，），
，
，
，
，
，
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
（或）．
（Ⅱ）每次用车路上平均花的时间
（分钟）
每次租车的费用约为10+35.5×0.1=13.55元．
一个月的平均用车费用约为542元．
22．（1）（2）
（1）根据题意,连胜两局获胜.若比赛五局,且甲获胜,则五局的胜负情况为乙胜,甲胜,乙胜,甲胜,甲胜.进而由各自取胜的概率即可求解.
（2）根据题意可知,两人比赛局数可能的取值有.由所给取胜的概率,分别求得这四种情况下的概率,即可求得比赛局数的期望.扣除支出,即为商家获得的收益情况.
【详解】
（1）根据题意,先连胜两局者获胜.则下完五局甲获胜,这五局的胜负情况分别为:
乙胜,甲胜,乙胜,甲胜,甲胜.
甲每局获胜的概率为,乙每局获胜的概率为
所以下完五局甲获胜的概率为
（2）设为比赛的局数,表示商家获得的收益
则
由题意可知,可能的取值有
当比赛五局时,前四局两人各胜两局,且第五局无论谁胜商家都需支付5000元,因而
所以由离散型数学期望公式可得
故
所以商家从这场网络棋赛中获得的收益的数学期望是