第5章
分式与分式方程单元测试(基础版)（北师版)
考试范围：第5章
分式与分式方程；考试时间：90分钟；总分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分)
1．（2020·山东省济南十四中初二期中）在，，，，中，其中是分式的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．（2020·山东省济南十四中初二期中）分式有意义的条件是（
）
A．
B．
C．
D．为任意实数
3．（2019·河南省初二期中）如果分式的值为零，那么的值是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·青岛超银中学初一月考）PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（
）
A．0.25×10﹣5
B．0.25×10﹣6
C．2.5×10﹣5
D．2.5×10﹣6
5．（2020·天津初三二模）计算的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·尚志市田家炳中学初二期末）等于（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·天津初三学业考试）化简的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·天津初三月考）化简的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·北京八中初三月考）甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方程为(
)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
10．（2020·河北省初二期末）如果关于x的方程无解，则m的值是（ ）
A．2
B．0
C．1
D．–2
二、填空题（每小题4分，共28分)
11．（2019·重庆市珊瑚初级中学校初二期中）若，则的值为____________
12．（2019·山东省初三二模）计算：＝______.
13．（2019·山东省初三零模）计算：
=_______．
14．（2020·湖北省初三其他）计算______．
15．（2019·湖北省初三其他）计算=______________
16．（2020·泰兴市马甸初级中学初二期中）若关于x的分式方程＝2有增根，则m＝_____．
17．（2020·吉林省初三一模）方程的解为_______．
三、解答题一（每小题6分，共18分)
18．（2020·北京市第三十五中学初三其他）计算：
.
19．（2019·吉林省初三月考）先化简，再求值：，其中．
20．（2019·河南省初二期中）解分式方程：．
四、解答题二（每小题8分，共24分)
21．（2020·河北省初二期末）先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），其中a＝﹣2．
22．（2019·郑州枫杨外国语学校初二月考）化简式子（+1），并在﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为m的值代入求值．
23．（2020·河北省初二期末）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1．5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
(1)这项工程的规定时间是多少天?
(2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天?
五、解答题三（每小题10分，共20分)
24．（2020·尚志市田家炳中学初二期末）龙人文教用品商店欲购进、两种笔记本，用160元购进的种笔记本与用240元购进的种笔记本数量相同，每本种笔记本的进价比每本种笔记本的进价贵10元．
(1)求、两种笔记本每本的进价分别为多少元？
(2)若该商店准备购进、两种笔记本共100本，且购买这两种笔记本的总价不超过2650元，则至少购进种笔记本多少本?
25．（2020·山东省初三期中）某市地铁1号线全长约60km，市政府通过招标，甲、乙两家地铁工程公司承担了施工任务，根据招标合同可知，甲公司每月计划施工效率是乙公司的1.2倍，则乙公司单独施工比甲公司单独施工多用10个月，且市政府需要支付给甲公司的施工费用为6亿元/km，乙公司的施工费用为5亿元/km．
（1）甲、乙两家地铁工程公司每月计划施工各为多少km？
（2）由于设备和施工现场只能供一家地铁工程公司单独施工的原因，现计划甲、乙两家公司共用55个月恰好完成施工任务（每家公司施工时间不足一个月按照一个整月计算），且甲公司施工时间不得少于乙公司的两倍，应如何安排才能使市政府支付给两家地铁工程公司的总费用最少？分式与分式方程单元测试(基础版)（北师版)
考试范围：第5章
分式与分式方程；考试时间：90分钟；总分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分)
1．（2020·山东省济南十四中初二期中）在，，，，中，其中是分式的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】根据分式的定义判断即可．
【详解】
解：所给式子中，和是分式，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，注意π不是字母，是常数．
2．（2020·山东省济南十四中初二期中）分式有意义的条件是（
）
A．
B．
C．
D．为任意实数
【答案】A
【解析】根据分式有意义分母不为零，可得答案．
【详解】
解：∵分式有意义，
∴x＋1≠0，即x≠?1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，分式无意义?分母为零；分式有意义?分母不为零；分式值为零?分子为零且分母不为零．
3．（2019·河南省初二期中）如果分式的值为零，那么的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
若分式的值为零，则分式的分子为零且分母不为零，
即
解得，
故选C.
4．（2020·青岛超银中学初一月考）PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（
）
A．0.25×10﹣5
B．0.25×10﹣6
C．2.5×10﹣5
D．2.5×10﹣6
【答案】D
【解析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．
【详解】
解：
0.0000025第一个有效数字前有6个0（含小数点前的1个0），从而．
故选D．
5．（2020·天津初三二模）计算的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】先计算括号内的运算，然后根据分式乘法的运算法则进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：
=
=
=；
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式的化简，以及分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．
6．（2020·尚志市田家炳中学初二期末）等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．
【详解】
解：．
故选：D．
【点睛】
本题考查了负整数指数幂的运算法则，属于应知应会题型，熟知负整数指数幂的运算法则是解题关键．
7．（2020·天津初三学业考试）化简的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】先将分式的分母化为(x－1)的形式，算得结果后，分子分母约分可得答案．
【详解】
原式=
故选：A
【点睛】
本题考查分式的化简，解题关键是将异分母分式转化为同分母分式，然后在进行计算．
8．（2020·天津初三月考）化简的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据分式的加法，先通分，再运算化简即可．
【详解】
解：原式=，
故选：B．
【点睛】
本题考查了异分母分式相加，解题的关键是掌握分式加减运算的法则．
9．（2020·北京八中初三月考）甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方程为(
)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
【答案】A
【解析】设甲每小时做x个，乙每小时做（x+6）个，根据甲做
30
个所用时间与乙做
45
个所用时间相等即可列方程.
【详解】
设甲每小时做
x
个，乙每小时做（x+6）个，
根据甲做
30
个所用时间与乙做
45
个所用时间相等可得=.
故选A．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，正确找出等量关系是解决问题的关键．
10．（2020·河北省初二期末）如果关于x的方程无解，则m的值是（ ）
A．2
B．0
C．1
D．–2
【答案】A
【解析】先求得分式方程的增根为x=3，再将原方程化为整式方程，然后把方程的增根x=3代入即可求得m的值.
【详解】
解：方程去分母得：m+1﹣x=0，
解得x=m+1，
当分式方程分母为0，即x=3时，方程无解，
则m+1=3，
解得m=2.
故选A.
【点睛】
本题主要考查分式方程无解的条件：（1）去分母后所得整式方程无解；（2）解去分母后的整式方程得到的解使原方程的分母等于0.
二、填空题（每小题4分，共28分)
11．（2019·重庆市珊瑚初级中学校初二期中）若，则的值为____________
【答案】
【解析】利用，在中，将b用表示，约掉得到结果.
【详解】
∵，∴代入得：
故答案为：
【点睛】
本题考查分式的运算，解题关键是运用已知字母间的关系，将分式中的字母简化，以至可约分求得.
12．（2019·山东省初三二模）计算：＝______.
【答案】﹣
【解析】利用分式的基本性质结合乘除运算法则化简求出即可.
【详解】
.
故答案为：﹣.
【点睛】
此题考察分式的乘除法运算法则，注意a-b与b-a互为相反数，相除得-1.
13．（2019·山东省初三零模）计算：
=__．
【答案】．
【解析】根据零次幂和负指数幂的运算法则计算即可．
【详解】
原式=1﹣=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查零次幂与负指数幂，熟记，，是解题的关键．
14．（2020·湖北省初三其他）计算______．
【答案】
【解析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【详解】
解：原式
故答案为：.
【点睛】
本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
15．（2019·湖北省初三其他）计算=______________
【答案】
【解析】首先把括号里的式子进行通分，然后因式分解，再约分化简即可求解．
【详解】
=
=
【点睛】
考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．同时考查了实数的运算，解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值等考点的运算．
16．（2020·泰兴市马甸初级中学初二期中）若关于x的分式方程＝2有增根，则m＝_____．
【答案】1
【解析】有增根是化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根．在本题中，可确定增根是1，然后代入化成整式方程的方程中，求得m的值．
【详解】
解：去分母得：m﹣1＝2x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入得：m﹣1＝0，
解得：m＝1，
故答案为：1
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行求解：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17．（2020·吉林省初三一模）方程的解为_______．
【答案】
【解析】先去分母化为整式方程，再求解即可．
【详解】
解：方程两边同时乘以3x得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：.
经检验：x=3是原方程的解．
故答案为：x=3．
【点睛】
本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键，注意检验．
三、解答题一（每小题6分，共18分)
18．（2020·北京市第三十五中学初三其他）计算：
.
【答案】
【解析】根据异分母分式的加法法则进行计算即可得到答案.
【详解】
=
【点睛】
本题考查了分式的加法运算，熟练掌握异分母分式的加法法则是解此题的关键.
19．（2019·吉林省初三月考）先化简，再求值：，其中．
【答案】，3
【解析】先算括号内的，然后算除法，最后代值求解.
【详解】
原式
当时，原式
【点睛】
本题考查分式的化简求值，注意有除法时，我们往往转化为乘倒数的形式进行计算.
20．（2019·河南省初二期中）解分式方程：．
【答案】
【解析】首先方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最简公分母检验即可．
【详解】
解：方程两边乘以得：，
解这个方程得：，
检验：当时，，
是原方程的解；
原方程的解是：．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法、一元一次方程方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
四、解答题二（每小题8分，共24分)
21．（2020·河北省初二期末）先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），其中a＝﹣2．
【答案】原式＝＝．
【解析】先计算括号内的运算，再计算分式的乘除，将a的值代入即可.
【详解】
解：原式＝
＝
＝
＝，
当a＝﹣2时，原式＝
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键.
22．（2019·郑州枫杨外国语学校初二月考）化简式子（+1），并在﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为m的值代入求值．
【答案】，1
【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从，，0，1，2中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：
，
当，0，1，2时，原分式无意义，
当时，原式．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
23．（2020·河北省初二期末）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1．5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
(1)这项工程的规定时间是多少天?
(2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天?
【答案】（1）这项工程的规定时间是30天；（2）甲乙两队合作完成该工程需要18天．
【解析】(1)设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完工，乙队单独施工需要天完工，依题意列方程即可解答；（2）求出甲、乙两队单独施工需要的时间，再根据题意列方程即可.
【详解】
(1)设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完工，乙队单独施工需要天完工，依题意，得:
．
解得:
，
经检验，
是原方程的解，且符合题意．
答:这项工程的规定时间是30天．
(2)由(1)可知:甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，
（天），
答:甲乙两队合作完成该工程需要18天．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键.
五、解答题三（每小题10分，共20分)
24．（2020·尚志市田家炳中学初二期末）龙人文教用品商店欲购进、两种笔记本，用160元购进的种笔记本与用240元购进的种笔记本数量相同，每本种笔记本的进价比每本种笔记本的进价贵10元．
(1)求、两种笔记本每本的进价分别为多少元？
(2)若该商店准备购进、两种笔记本共100本，且购买这两种笔记本的总价不超过2650元，则至少购进种笔记本多少本?
【答案】（1）、两种笔记本每本的进价分别为
20
元、30
元；（2）至少购进
种笔记本
35
本
【解析】（1）设种笔记本每本的进价为元，则每本种笔记本的进价为（x+10）元，根据用160元购进的种笔记本与用240元购进的种笔记本数量相同即可列出方程，解方程即可求出结果；
（2）设购进种笔记本本，根据购进的A种笔记本的价钱+购进的B种笔记本的价钱≤2650即可列出关于a的不等式，解不等式即可求出结果．
【详解】
（1）解：设种笔记本每本的进价为元，根据题意，得：
，解得：．
经检验：是原分式方程的解，．
答：、两种笔记本每本的进价分别为20
元、30元．
（2）解：设购进种笔记本本，根据题意，得：，解得：．
∴至少购进种笔记本35本．
【点睛】
本题考查的是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
25．（2020·山东省初三期中）某市地铁1号线全长约60km，市政府通过招标，甲、乙两家地铁工程公司承担了施工任务，根据招标合同可知，甲公司每月计划施工效率是乙公司的1.2倍，则乙公司单独施工比甲公司单独施工多用10个月，且市政府需要支付给甲公司的施工费用为6亿元/km，乙公司的施工费用为5亿元/km．
（1）甲、乙两家地铁工程公司每月计划施工各为多少km？
（2）由于设备和施工现场只能供一家地铁工程公司单独施工的原因，现计划甲、乙两家公司共用55个月恰好完成施工任务（每家公司施工时间不足一个月按照一个整月计算），且甲公司施工时间不得少于乙公司的两倍，应如何安排才能使市政府支付给两家地铁工程公司的总费用最少？
【答案】（1）甲公司每月计划施工1.2km，乙公司每月施工1km；（2）甲公司施工37个月，乙公司施工18个月，总费用最少．
【解析】（1）设乙公司每月计划施工x
km，则甲公司每月施工1.2x
km，根据乙公司单独施工比甲公司单独施工多用10个月，列方程求解；
（2）设甲公司施工了m个月，则乙公司施工（55-m）个月，共支付的总费用为w亿元，根据题意列出w与m的函数关系式并根据甲公司施工时间不得少于乙公司的两倍确定m的取值范围，然后利用一次函数的性质求最值．
【详解】
解：设乙公司每月计划施工x
km，则甲公司每月施工1.2x
km，
根据题意，得
解得，x=1
经检验，x=1是原方程的根，
∴1.2x=1.2×1=1.2
因此，甲公司每月计划施工1.2km，乙公司每月施工1km．
（2）设甲公司施工了m个月，则乙公司施工（55-m）个月，共支付的总费用为w亿元，则
w=1.2×6·m+1×5·（55-m）=7.2m+275-5m=2.2m+275
∵k=2.2＞0，w随着m的增大而增大，
∵甲公司施工时间不得少于乙公司的两倍，
∴，
∴，
∴当m=37时，w有最大值，
55-37=18，
因此，甲公司施工37个月，乙公司施工18个月，总费用最少．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用及一次函数的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意分式方程要检验.
