第5章
分式与分式方程单元测试(加强版)（北师版)
考试范围：第5章分式与分式方程；考试时间：90分钟；总分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分)
1．（2020·山东省济南十四中初二期中）下列各式：中，分式有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】根据分式的定义判断即可．
【详解】
解：，是分式，共2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查分式，解题的关键是正确理解分式的定义，本题属于基础题型．
2．（2020·山东省济南十四中初二期中）若分式的值为0，则x等于（ ）
A．﹣1
B．﹣1或2
C．﹣1或1
D．1
【答案】D
【解析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案．
【详解】
解：∵分式的值为0，
∴|x|﹣1＝0，x﹣2≠0，x+1≠0，
解得：x＝1．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
3．（2019·河南省初二期中）下列说法错误的是（
）
A．当时，分式有意义
B．当时，分式无意义
C．不论取何值，分式都有意义
D．当时，分式的值为0
【答案】C
【解析】分母不为0时，分式有意义，分母为0时，分式无意义，分子等于0，分母不为0时分式值为0，由此判断即可.
【详解】
解：A选项当，即时，分式有意义，故A正确；
B选项当，即时，分式无意义，故B正确；
C选项当，即时，分式有意义，故C错误；
D选项当，且即时，分式的值为0，故D正确.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了分式有意义、无意义、值为0的条件，熟练掌握分式的分母不为0是确定分式有意义的关键.
4．（2020·青岛超银中学初一月考）流感病毒可分为人流感病毒和动物流感病毒，形状呈直径约为0.00000012米的球形．数据0.00000012用科学记数法记作（ ）
A．1.2×10﹣7
B．1.2×10﹣8
C．1.2×107
D．0.12×10﹣8
【答案】A
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】
0.00000012＝1.2×10﹣7．故选：A．
【点睛】
本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的使用.
5．（2020·天津初三二模）下列各式中，计算结果正确的是(
)
A．·＝x
B．÷＝
C．8a2b2÷＝－6a2b
D．·6m＝－
【答案】B
【解析】根据分式的乘除法运算法则,将结果化简即可解题.
【详解】
解：A.
·＝,A错误,
B.
÷＝,正确
C.
8a2b2÷＝,C错误,
D.
·6m＝－,D错误,
故选B.
【点睛】
本题考查了分式的运算,属于简单题,熟悉运算法则,将结果表示为最简分式是解题关键.
6．（2020·尚志市田家炳中学初二期末）若a＝－0.3－2，b＝－3－2，c＝(－)－2，d＝(－)0，则(
)
A．a＜d＜c＜b
B．b＜a＜d＜c
C．a＜d＜c＜b
D．a＜b＜d＜c
【答案】B
【解析】根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的意义化简a、b、c、d的值，然后比较大小．由a=?0.09,b=?19，c=9，d=1，得到：c>d>a>b，
故选B.
7．（2020·天津初三学业考试）已知，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据分式的加减运算法则即可求解．
【详解】
∵==
∴=4
故m+n=0,4m=4
解得
故选A．
【点睛】
此题主要考查分式运算的应用，解题的关键是熟知分式的加减运算法则．
8．（2020·天津初三月考）计算的结果是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据分式的加减运算法则化简即可解答.
【详解】
=
=
=
=.
故选B.
【点睛】
本题考查了分式的加减运算，熟知分式的加减运算法则是解决问题的关键.
9．（2020·北京八中初三月考）甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天可完成.问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要天，则所列方程不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设乙工程队单独完成这项工程需要x天，由题意可得等量关系：甲10天的工作量+甲与乙8天的工作量=1，再根据等量关系可得方程，再将各选项进行对比即可．
【详解】
解：设乙工程队单独完成这项工程需要x天，由题意得，
；
不可转化为：，故选项A错误；
可转化为：，故选项B正确；
可转化为：，故选项C正确；
与一样，故选项D正确；
故选A.
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，掌握由实际问题抽象出分式方程是解题的关键.
10．（2020·河北省初二期末）若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．﹣2
B．2
C．1
D．﹣1
【答案】B
【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的可能值，让最简公分母等于
0，然后代入整式列出方程计算未知数的值.
【详解】
方程两边同乘x－3，得1＋3(x－3)＝－(m－x)，∵原方程有增根，∴最简公分母
x－3＝0,解得x＝3，把x＝3代入1＋3(x－3)＝－(m－x)，得m＝2，故选B.
【点睛】
增根问题可按如下步骤进行:①让最简公分母为0确定增根;②化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
二、填空题（每小题4分，共28分)
11．（2019·重庆市珊瑚初级中学校初二期中）已知代数式满足，若代数式的值为________________．
【答案】
【解析】先根据分式的运算求出A，再求出方程的解代入即可求解．
【详解】
===
∴A=÷=
解得x1=3,x2=-1，
∵x=-1使分式无意义，
故x=3
代入A=
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查分式及一元二次方程的求解，解题的关键是熟知分式的运算法则．
12．（2019·山东省初三二模）化简：__________．
【答案】或
【解析】先把分子和分母因式分解，再约分即可．
【详解】
．
故答案为：或．
【点睛】
考查了分式的化简，解题关键是把分子和分母因式分解，再利用分式的基本性质化简．
13．（2019·山东省初三零模）计算：______．
【答案】0
【解析】根据0次幂、绝对值和负整数次幂的运算公式计算即可.
【详解】
,故答案为0.
【点睛】
本题考查有理数的运算，熟知0次幂和负整数次幂的运算公式是解题的关键.
14．（2020·湖北省初三其他）计算：__________.
【答案】
【解析】
试题解析：
=
=
=a-3
15．（2019·湖北省初三其他）化简代数式（x+1+）÷，正确的结果为_____．
【答案】2x
【解析】根据分式的运算法则计算即可求解.
【详解】
（x+1+）÷
=
=
=2x.
故答案为2x．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，熟知分式的混合运算顺序及运算法则是解答本题的关键．
16．（2020·泰兴市马甸初级中学初二期中）分式方程的解是___________________
【答案】无解
【解析】
去分母，得
(x+2)+
(x?2)=4，
解得x=2，
把x=2代入公分母得x2?4=4?4=0，
故x=2是原方程的增根，此方程无解.
故答案为：无解.
17．（2020·吉林省初三一模）对于两个非零的实数，,
定义运算※如下：※.
例如：※.若1※，则的值为__________．
【答案】3
【解析】根据题目定义的运算找出对应的a,b然后代入进行计算
【详解】
∵※
=，
1※
∴
-1=0
∴=1
∴x=3
故本题答案为3
【点睛】
理解题意掌握新定义的运算，转换成已学知识分式的解法是本题的考点．
三、解答题一（每小题6分，共18分)
18．（2020·北京市第三十五中学初三其他）计算：
【答案】m+3.
【解析】先转化为同分母的分式，再根据同分母分式的加减法则运算即可.
【详解】
解：.
【点睛】
本题考查了分式的加减运算，属于基本题型，熟练掌握运算法则是关键.
19．（2019·吉林省初三月考）先化简，再求值：
，其中．
【答案】.
【解析】根据分式混合运算法则化简，然后代入求值即可．
【详解】
原式=
=
=
=2x+4
当时，原式==．
【点睛】
本题考查了分式化简求值．熟练掌握分式的混合运算是解答本题的关键．
20．（2019·河南省初二期中）解分式方程：
【答案】无解
【解析】解分式方程能够得出方程的解为x=.若要使分式有意义，则分式的分母不能为0，即2x-1≠0，故x≠.本题无解
【详解】
解：+1=
+1=﹣
x-2+2x-1=﹣
3x=﹣+1+2
3x=
x=
若要使分式有意义，则2x-10.即x，
x=且x，
故本题无解.
【点睛】
本题主要考查解分式方程、分式有意义的条件.易错点在于忽略了分式有意义的条件，求分式有意义的条件，为中考常见题型.
四、解答题二（每小题8分，共24分)
21．（2020·河北省初二期末）计算：
(1)
(2)
【答案】（1）-1-
；（2）.
【解析】（1）首先把分母和分子分解因式，然后进行约分即可；
（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】
（1）原式=
==-1-
.
（2）原式=
=.
【点睛】
此题考查分式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.
22．（2019·郑州枫杨外国语学校初二月考）先化简：然后解答下列问题：
（1）当x＝2时，求代数式的值
（2）原代数式的值能等于0吗？为什么？
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】（1）将x＝2代入化简后的式子即可解答本题；
（2）先判断，然后令化简的结果等于0，求出x的值，再将所得的x的值代入化简后的式子，看是否使得原分式有意义即可解答本题．
【详解】
解：
（1）当x＝2时，原式＝＝3；
（2）原代数式的值不等等于0，
理由：令＝0，得x＝﹣1，
当x＝﹣1时，原分式无意义，
故原代数式的值不等等于0．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
23．（2020·河北省初二期末）保护环境、低碳出行已渐渐成为人们的习惯．最近无为县城又引进了共享单车，只需要交点押金，就可以通过扫描二维码的方式解锁一辆停在路边的自行车，以极低的费用，轻松骑到目的地．王老师家与学校相距2km，现在每天骑共享单车到学校所花的时间比过去骑电动车多用4min．已知王老师骑电动车的速度是骑共享单车速度的1.5倍，则王老师骑共享单车的速度是多少？
【答案】王老师骑共享单车的速度是10km/h.
【解析】
分析：这是一道有关于行程的问题，注意把握好路程、速度、时间三者的关系．等量关系为：骑共享单车到学校用的时间-骑电动车的时间=多用的时间．
详解：设王老师骑共享单车的速度为xkm/h，
则王老师骑电动车的速度是1.5xkm/h，
依题可得，
解得x＝10.
经检验，x＝10是原方程的解．
答：王老师骑共享单车的速度是10km/h.
点睛：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
五、解答题三（每小题10分，共20分)
24．（2020·尚志市田家炳中学初二期末）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
【答案】（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；（2）他们最多可购买11棵乙种树苗．
【解析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；
（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．
【详解】
（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，
依题意有
，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，
x+10=30+10=40，
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；
（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得y≤11，
∵y为整数，
∴y最大为11，
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系与不等关系列出方程或不等式是解决问题的关键.
25．（2020·山东省初三期中）某商城销售A，B两种自行车型自行车售价为2?100元辆，B型自行车售价为1?750元辆，每辆A型自行车的进价比每辆B型自行车的进价多400元，商城用80?000元购进A型自行车的数量与用64?000元购进B型自行车的数量相等．
求每辆A，B两种自行车的进价分别是多少？
现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆，设购进A型自行车m辆，这100辆自行车的销售总利润为y元，要求购进B型自行车数量不超过A型自行车数量的2倍，总利润不低于13?000元，求获利最大的方案以及最大利润．
【答案】（1）每辆A型自行车的进价为2
000元，每辆B型自行车的进价为1
600元；（2）当购进A型自行车34辆，B型自行车66辆时获利最大，最大利润为13300元．
【解析】(1)设每辆B型自行车的进价为x元,则每辆A型自行车的进价为（x+400）元,根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果;?
(2)由总利润=单辆利润×辆数,列出y与x的关系式,利用一次函数性质确定出所求即可.
【详解】
（1）设每辆B型自行车的进价为x元，则每辆A型自行车的进价为（x+400）元，
根据题意，得=，
解得x=1600，
经检验，x=1600是原方程的解，
x+400=1
600+400=2
000，
答：每辆A型自行车的进价为2
000元，每辆B型自行车的进价为1
600元；
（2）由题意，得y=（2100﹣2000）m+（1750﹣1600）（100﹣m）=﹣50m+15000，
根据题意，得，
解得：33≤m≤40，
∵m为正整数，
∴m=34，35，36，37，38，39，40．
∵y=﹣50m+15000，k=﹣50＜0，
∴y随m的增大而减小，∴当m=34时，y有最大值，
最大值为：﹣50×34+15000=13300（元）．
答：当购进A型自行车34辆，B型自行车66辆时获利最大，最大利润为13300元．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用、分式方程的应用及一元一次不等式组的应用.仔细审题，找出题目中的数量关系是解答本题的关键.第5章
分式与分式方程单元测试(加强版)（北师版)
考试范围：第5章分式与分式方程；考试时间：90分钟；总分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分)
1．（2020·山东省济南十四中初二期中）下列各式：中，分式有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．（2020·山东省济南十四中初二期中）若分式的值为0，则x等于（ ）
A．﹣l
B．﹣1或2
C．﹣1或1
D．1
3．（2019·河南省初二期中）下列说法错误的是（
）
A．当时，分式有意义
B．当时，分式无意义
C．不论取何值，分式都有意义
D．当时，分式的值为0
4．（2020·青岛超银中学初一月考）流感病毒可分为人流感病毒和动物流感病毒，形状呈直径约为0.00000012米的球形．数据0.00000012用科学记数法记作（ ）
A．1.2×10﹣7
B．1.2×10﹣8
C．1.2×107
D．0.12×10﹣8
5．（2020·天津初三二模）下列各式中，计算结果正确的是(
)
A．·＝x
B．÷＝
C．8a2b2÷＝－6a2b
D．·6m＝－
6．（2020·尚志市田家炳中学初二期末）若a＝－0.3－2，b＝－3－2，c＝(－)－2，d＝(－)0，则(
)
A．a＜d＜c＜b
B．b＜a＜d＜c
C．a＜d＜c＜b
D．a＜b＜d＜c
7．（2020·天津初三学业考试）已知，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·天津初三月考）计算的结果是(
)
A．
B．
C．
D．
9．（2020·北京八中初三月考）甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天可完成.问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要天，则所列方程不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·河北省初二期末）若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．﹣2
B．2
C．1
D．﹣1
二、填空题（每小题4分，共28分)
11．（2019·重庆市珊瑚初级中学校初二期中）已知代数式满足，若代数式的值为________________．
12．（2019·山东省初三二模）化简：__________．
13．（2019·山东省初三零模）计算：______．
14．（2020·湖北省初三其他）计算：__________.
15．（2019·湖北省初三其他）化简代数式（x+1+）÷，正确的结果为_____．
16．（2020·泰兴市马甸初级中学初二期中）分式方程的解是___________________
17．（2020·吉林省初三一模）对于两个非零的实数，,
定义运算※如下：※.
例如：※.若1※，则的值为__________．
三、解答题一（每小题6分，共18分)
18．（2020·北京市第三十五中学初三其他）计算：
19．（2019·吉林省初三月考）先化简，再求值：
，其中．
20．（2019·河南省初二期中）解分式方程：
四、解答题二（每小题8分，共24分)
21．（2020·河北省初二期末）计算：
(1)
(2)
22．（2019·郑州枫杨外国语学校初二月考）先化简：然后解答下列问题：
（1）当x＝2时，求代数式的值
（2）原代数式的值能等于0吗？为什么？
23．（2020·河北省初二期末）保护环境、低碳出行已渐渐成为人们的习惯．最近无为县城又引进了共享单车，只需要交点押金，就可以通过扫描二维码的方式解锁一辆停在路边的自行车，以极低的费用，轻松骑到目的地．王老师家与学校相距2km，现在每天骑共享单车到学校所花的时间比过去骑电动车多用4min．已知王老师骑电动车的速度是骑共享单车速度的1.5倍，则王老师骑共享单车的速度是多少？
五、解答题三（每小题10分，共20分)
24．（2020·尚志市田家炳中学初二期末）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
25．（2020·山东省初三期中）某商城销售A，B两种自行车型自行车售价为2?100元辆，B型自行车售价为1?750元辆，每辆A型自行车的进价比每辆B型自行车的进价多400元，商城用80?000元购进A型自行车的数量与用64?000元购进B型自行车的数量相等．
求每辆A，B两种自行车的进价分别是多少？
现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆，设购进A型自行车m辆，这100辆自行车的销售总利润为y元，要求购进B型自行车数量不超过A型自行车数量的2倍，总利润不低于13?000元，求获利最大的方案以及最大利润.
