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七年级数学下册第八章
二元一次方程组
8.1
二元一次方程组
巩固与提升
学习目标
1.了解二元一次方程(组)及其解的定义.
2.会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.(重点)
3.能根据简单的实际问题列出二元一次方程组.(难点)
1、二元一次方程的条件:
①整式方程;
②只含两个未知数;
③两个未知数系数都不为0;
④含有未知数的项的次数都是1.
2、二元一次方程的一般形式:ax+by=c(a≠0,b≠0).
知识点一:二元一次方程
原方程
化简后方程
例1:有下列方程:①xy
=1;
②2x=3y;
③
④x2+y=3;
⑤
9m+6n=19
⑥ax2+2x+3y=0
(a=0),其中,二元一次方程有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:根据二元一次方程的定义,①含未知数的项xy的次
数是2;③不是整式方程;④含未知数的项x2,y中,x2的次数不是1.只有②⑤⑥满足.其中⑥已指明a=0,所以ax2=0,则方程化简后为2x+3y=0.
②⑤⑥
例2:若方程
是关于x、y的二元一次方程,
求
的值。
解:由题意得:
2m+3=1
5n-9=1
解得:
m=-1
n=2
=1+4=5
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程.
二元一次方程
判断一个方程是否为二元一次方程的方法:
一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数;
二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0,且含未知数的项的次数都是1.
试一试
已知|m-1|x|m|+y2n-1=3是二元一次方程,
则m+n=________.
0
解析:根据题意得|m|=1且|m-1|≠0,2n-1=1,解得m=-1,n=1,所以m+n=0.
由方程是二元一次方程可知:
(1)未知数的系数不为0;
(2)未知数的次数都是1.
知识点二:
二元一次方程的解及整数解
二元一次方程的解:
定义:适合一个二元一次方程的一组未知数的值,
叫做这个二元一次方程的一个解.
(1)判断一组数值是不是方程的解,可将这组数值分别
代入方程中,若满足该方程,则这组数值就是这个
方程的解,若不满足该方程,则这组数值就不是这
个方程的解;
(2)二元一次方程中,如果已知其中一个未知数的值,
我们可以利用二元一次方程的解的定义求出与它对
应的另一个未知数的值.
例3
求二元一次方程3x+2y=12的非负整数解.
对于二元一次方程3x+2y=12而言,它有无数组解,但它的非负整数解是有限的,可利用尝试取值的方法逐个验证.
解:
原方程可化为
因为x,y都是非负整数,
所以必须保证12-3x能被2整除,
所以x必为偶数.
所以x=0或2或4.
非负整数解为:1.x=0,y=6;
2.
x
=2,y=3;
3.
x=4,y=0
例4:“双11”促销活动中,小芳的妈妈计划用1
000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种商品,则可供小芳妈妈选择的购买方案有( )
A.4种
B.5种
C.6种
D.7种
A
用x表示y
确定x的范围
逐一验证
划界
试值
确定.
把一根长13m的钢管截成2m长或3m长两种规格的钢管,怎样截不造成浪费?你有几种不同的截法?
解:设截成2m长的钢管x根,3m长的钢管y根,
则2x+3y=13,
∵x,y均为非负整数,∴
或
∴有2种不同的截法.
3m长1根、2m长5根以及3m长3根、2m长2根.
拓展提升
x=5,
y=1
x=2,
y=3
若
是二元一次方程
4x-3y=10的一个解,求m的值.
解:将
代入方程4x-3y=10,
得4(3m+1)-3(2m-2)=10,解得m=0.
知识点三:二元一次方程组
含有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组.
二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
例5:下列方程组中,哪些是二元一次方程组?
利用二元一次方程组的定义逐一进行判断.
解:
(3)、(4)是二元一次方程组.
2x-y=7
y=2z-1
(1)
x+y=3
xy=2
(2)
2x+3y=5
(3)
2x-y=3
y=6
(4)
(5)
例6:已知关于x、y的二元一次方程组
解:
把
ax+4y=2
7x-by=-3
的解是
x=1
y=2
代入方程组,得
由①得a=-6,
x=1
y=2
试求(a+b)3的值.
a+8=2
①
7-2b=-3
②,
由②得b=5,
∴(a+b)3=(-6+5)3=-1.
2、方程组
的解是(
)
1、下列属于二元一次方程组的是
(
)
B
A
试一试
例7:我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗?试找出问题的解.
解:设笼中有x只鸡,y只兔,由题意,得
解得
答:笼中有23只鸡,12只兔子.
二元一次方程(组)
定义
含有未知数的项的次数都是1
含有两个未知数
二元一次方程(组)的解
一般地,组成二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
1.已知关于x,y的二元一次方程
组
的解是
则a+b的值是( )
A.1
B.
2
C.
-1
D.0
能力提高专项训练
B
2、如图是一个正方体的展开图,若正方体相对面上的整式相等,则所列的二元一次方程组是__________,x,y的值
分别为__________.
1,-5
3、某出租车起步价所包含的路程为0~2
km,超过2
km的部分按每千米另收费.津津乘坐这种出租车走了7
km,付了16元;盼盼乘坐这种出租车走了13
km,付了28元.设这种出租车的起步价为x元,超过2
km后每千米收费y元,则方程组是(
)
解:
4、中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题:“马四匹、牛六头,共价四十八两(我国古代货币单位);马三匹、牛五头,共价三十八两.问马、牛各价几何?”设马每匹x两,牛每头y两,根据题意可列方程组为( )
解:
5、
在幻方拓展课程探中,小明在如图的3×3方格内填入了一些表示数的代数式,若圈中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等,则x-2y=(
)
.
4
本课时学习了二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念.在理解二元一次方程的概念时,应抓住三个要点:
(1)方程是整式方程;
(2)未知数的个数是2;
(3)未知项的次数是1.
在理解二元一次方程组的概念时,应抓住两个要点:①两个或两个以上的方程都是一次方程;②方程组中共含有两个未知数.
小结
家庭作业
请完成课后相关练习。