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【专题讲义】人教版六年级数学下册
第10讲 数和数的运算（二）专题精讲（解析版）
知识要点梳理
课程目标 1、掌握四则运算混合运算的运算顺序。2、掌握基本运算律，灵活运用运算律进行简便运算。3、掌握质数合数的概念，掌握最大公因数、最小公倍数的求法及应用。
课程重点 观察算式特点，灵活运用运算律。
课程难点 最大公因数、最小公倍数的实际应用；
教学方法建议 1.让学生理解简便运算的基础上，简便运算与加减乘除混合运算的区别与联系。2.通过练习归纳出常见的方法。
（一）数的整除
1. 数的整除
整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是（ 整数 ）而没有（ 余数 ）数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。
例如：35÷7=5, 因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。
【练习】判断：1.因为42÷7=6，所以42能整除7。 （ × ）
2、一个数的倍数一定比这个数的约数大。 （ × ）
3、因为6÷1.2＝5，所以6能被1.2整除。 （ × ）
4.因为16÷0.8＝20，所以16能被0.8整除。 ( × )
2. 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是（ 1 ），最大的约数是（ 10 ）。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是（ 3 ），（ 12 ）最大的倍数。
3. 被2.3.5整除的数的特征：
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
【练习】下面各数能同时被2、3、5整除的数是（ B ）
A . 215 B .30 C . 75 D . 94
4.偶数和奇数：
能被2整除的数叫做（ 偶数 ）。 不能被2整除的数叫做（ 奇数 ）。
0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
5.质数和合数：
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做（ 质数 ）（或素数）。
100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做（ 合数 ），例如 4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。
【练习】在所有的质数中，偶数的个数有( B )。
A、一个也没有 B、有一个 C、有两个 D、有无数个
6.质因数和分解质因数：
每个合数都可以写成几个（ 素数 ）相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的（素因数）数，叫做这个合数的质因数。
例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如把28分解质因数
２８＝2×2×7
７.最大公约数：
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。
８.互质数：
公约数只有1的两个数，叫做（互质数）。
成互质关系的两个数，有下列几种情况：
（１）1和任何自然数互质。 如：１和２,１和１０等；
（２）相邻的两个自然数互质。如：８和９ ，９和１０等
（３）两个不同的质数互质。 如；３和７，（ 4 ）和（ 8 ）
（４）当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。 如：（ 7 ）和（ 8 ）
（５）两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。 如；（ 4 ）和（ 9 ），（ 3 ）和（ 7 ）
如果较小数是较大数的约数，那么较（ 小 ）数就是这两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是（ 16 ）。
【练习】判断：任意两个相邻的自然数（0除外）都是互质数；（ × ）
９.最小公倍数：
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……
3的倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。
如果较大数是较小数的倍数，那么较（ 大 ）数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是（ 无限 ）的，而几个数的公倍数的个数是（只有一个）的。
10.数的整除
1. 把一个合数分解质因数，通常用（短除）法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是（ 质 ）数为止，再把除数和商写成连乘的形式。
如：126＝
2. 求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数 。
3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
11.奇偶性：
偶数±偶数＝偶数 奇数±奇数＝偶数 奇数±偶数＝奇数
偶数个偶数相加是偶数，奇数个奇数相加是奇数。
偶数×偶数＝偶数 奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数
（二）数的运算
1、四则运算的意义
数的分类运算名称 整数 小数 分数
加法 把两个数合并成一个数的运算。
减法 已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。
乘法 求几个相同加数的和的简便运算。 小数乘整数与整数乘法意义相同。 分数乘整数与整数乘法意义相同。
一个数乘小数，就是求这个数的十分之几，百分之几…是多少。 一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少。
除法 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
2、四则运算的法则
整数 小数 分数
加减 相同数位对齐，从低位算起加法：满十就向前一位进一减法：不够减就从前一位退，退一当十 小数点对齐，从低位算起，按整数加减法进行计算，结果中的小数点和加减的数的小数点对齐。 1、同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。2、异分母分数相加减，先通分，然后再按同分母分数相加减的方法计算。3、结果能约分的要约分。
乘法 1、从个位乘起，依次用第二个因数每一位上的数去乘第一个因数。2、用第二个因数哪一位上的数去乘，得数的末位就和第二个因数的哪一位对齐。3、再把几次乘得的数加起来。 1、按整数乘法法则算出积。2、看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 1、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。2、有整数的把整数看作分母是1的假分数。3、有带分数的，通常先把带分数化成假分数。
除法 除数是整数：从被除数的高位除起，除数是几位就先看被除数的前几位，如果不够除，就要多看一位，除到哪一位就要把商写在哪一位的上面。商的小数点和被除数的小数点对齐。 除数是小数：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补0），然后按照除数是整数的除法进行计算。 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。
3、四则运算各部分的关系：
加数+加数=和 被减数—减数=差
一个加数=和—另一个加数 减法 被减数=减数+差
减数=被减数—差
因数×因数=积 被除数÷除数=商
一个因数=积÷另一个因数 除法 被除数=商×除数
除数=被除数÷商
4、运算定律和运算性质
加法交换律 : a+b=b+a
加法结合律 : (a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律 : a×b=b×a
乘法结合律 : （a×b）×c=a×(b×c)
乘法分配律 : (a+b)×c=a×c+b×c
减法的运算性质: a-b-c=a-(b+c)
除法的运算性质: a÷(b×c)=a÷b÷c
5、四则运算的顺序：
在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算。
有括号的算式里，要先算括号里的，再算括号外的。
1. 一个数被整除的判断方法：
被2整除：个位是0、2、4、6、8的，则这个数能被2整除。
被3（或9）整除：数字之和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。
被4（或25）整除：末两位能被4或25整除，则这个数能被4或25整除。
被5整除：若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
2. 判断互质数的技巧：
①和其它的自然数。例：1和99、1和46
②两个连续的或相邻的自然数一定是互质数。例：3和4、9和10
③两个连续的奇数或相邻的奇数是互质数。例：7和9、13和15
④两个质数是互质数。例：5和7、11和17
3. 判断最大公因数的技巧：
①如果两个数是互质数关系，那么最大公因数是1。例：7和11
②如果两个数是倍数关系，那么最大公因数是较小数。例：7和21
4. 判断最小公倍数的技巧：
①如果两个数是互质数关系，那么最小公倍数是它们的乘积。例：5和7
②如果两个数是倍数关系，那么最小公倍数是较大数。例：7和14
（一）最大公因数和最小公倍数
例１（1）甲数=2×3×5×7，乙数=2×3×11，甲乙两数的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
解答
甲、乙两数的最大公约数是：2×3=6，最小公倍数是：2×3×5×7×11=2310。
故答案为：6；2310
（2）把自然数a与b分解质因数，得到a=2×5×7×m，b=3×5×m ，如果a与b的最小公倍数是2730，那么m = （ ）。
【规律方法】掌握两数的最大公因数和最小公倍数的求法。两数的最大公因数是这两数中的相同质因数的积，最小公倍数是两数中相同的质因数和不同质因数的乘积。
解答
a=2×5×7×m b=3×5×m，则a和b的最小公倍数是2×3×5×7×m=210m，
210m=2730，m=13；
故答案为：13.
分析：
根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；可得a和b的最小公倍数是2×3×5×7×m=210m，由题意得：210m=2730，解答即可.
【变式训练1】
１、A=2×3×5，B=2×3×7，A和B的最大公约数是( )，最小公倍数是( )。
解答
A=2×3×5，B=2×3×7，所以A和B的最大公约数是：2×3=6；最小公倍数是2×3×5×7=210；故答案为：6，210.
分析：
求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可.
2、A=2×3×7，B=2×5×7，A和B的最大公约数是( )，最小公倍数是（ ）。
解答
A=2×3×7，B=2×5×7，A和B公有的质因数是：2和7，A独有的质因数是3，B独有的质因数是5，那么A和B的最大公因数是：2×7=14，A和B的最小公倍数是：2×7×3×5=210；
故答案为：14，210.
分析：
这两个数的最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可.
３、如果A=60，B=42，那么A、B的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）；
解答
6=2×3，通过观察B可以得出A=3；A和B的最小公倍数是2×3×3×7=126；
故答案为：3，126.
分析：
要使A和B最大公因数是6，6=2×3，B中只有2，那么A只有等于3，才符合题意；要求A和B的最小公倍数，首先找出共有质因数2、3，再找出A的独有质因数3，B的独有质因数7，这4个数的连成积，即可得解。
４、A=2×3×a B= 2×a×7，已知A、B的最大公约数是6，则 a=( ); A、B的最小公倍数是（ ）。
解答
A=2×2×3×5，B=2×3×7，A.B的最大公因数是：2×3=6，最小公倍数是：2×2×3×5×7=420；故答案为：6，420.
分析：
先把60和42进行分解质因数，这两个数的最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可.
（二）数的整除
例２（1）有9、7、2、1、0五个数字，用其中的四个数字，组成能同时被2、3、5整除的最小的四位数是（ ）。
解答
根据能被2、3、5整除的数的特征，可知：
这个四位数的个位上的数一定是0，要保证这个四位数最小，干位上只要是1，再想1+0+2+9=12，是3的倍数，所以要最小百位上应是2，十位上就是9，所以这个四位数是1290；
故答案为：1290.
分析：
能同时被2、3、5整除的数必须具备：个位上的数是0，各个数位上的数的和能够被3整除；根据此特征，可知要组成的这个四位数的个位上的数一定是0，要保证使这个四位数最小，最高位千位上最小是1，再1+0=1，1再加上那两个数字的和是3的倍数，
1+0+2+9=12，是3的倍数，所以要最小百位上应是2，十位上就是9，由此组成的四位数是1290.
（2）一个三位数既能被2整除，又能被3整除，而且个位、十位上相同，这个三位数最大是（ ）。
解答
8+8+=24，
24÷3=8，因此，888这个三位数既能被2整除，又能被3整除，而且个位、十位上相同；
故答案为：888.
分析：
根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；这个三位数既能被2整除，又能被3整除，个位上一定是偶数，而且个位、十位上相同.因此这个数的个位和十位上是最大的偶数8，百位上也是8.
（3）在6、3、5、0、8、7这六个数中选中五个数组成一个能同时被2、3、5整除的最小五位数( )。
【规律方法】掌握同时被2,3,5整除的数的特征。
解答
在6、3、5、0、8、7这六个数中选出五个数组成一个能同时被2、3、5整除的最小五位数是35670；
故答案为：35670.
分析：
根据2，3，5倍数的特征：要想同时是2，3，5的倍数，要先满足个位上是0，个位上是0的数才能能够满足同时是2和5的倍数，然后再满足是3的倍数；各个数位上的和是3的倍数，先把6、3、5、8、7的数从小到大排列，找出4个满足是3的倍数，且是最小，即3<5<6<7<8，然后0+3+5+6+7=21，21是3的倍数，然后把3、5、6、7、0，从高位排列下来即可，问题得解.
【变式训练2】
１、 四个数字0、2、5、8组成的四位数中，能同时被3和5整除的最大的数是（ ），最小的数是（ ）。
解答
根据以上分析8>5>2>0，所以0、2、5、8四个数字组成的四位数中，能同时被3和5整除的最大的数是8520，最小的数是2085；
故答案为：8520，2085.
分析：
因为0、2、5、8这四个数字的和是2+5+8+0=15，能被3整除，所以要能同时被3和5整除，只要个位数字是0或5即可，要求最大的数，则只需从高位数字最大，其次依次减小，即可；当然相反，高位数字最小，其他数字依次增大，则是最小的数，再考虑首位数字不能是0；即可直接得解。
２、一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数是奇数又是合数，它的百位上的数不是质数也不是合数，它十位上的数是最小的质数，个位上的数是（ ）。
解答
干位上的数是奇数又是合数，干位上的数是百位上的数不是质数也不是合数，百位上的数是1，十位上的数是最小的质数，十位上的数是这个四位数各个数位上的数的和已经是：
9+1+2=12，再根据能被2、3整除的数的特征，可知这个四位数个位上的数可能是0，也可能是6，因为12+0=12，12+6=18，
故答案为：0或6.
分析：
能被2、3整除的数的特征是：个位上的数是0、2、4、6、8，各个数位上的数的和能够被3整除；根据题意，可知：干位上的数是奇数又是合数，干位上的数是9，百位上的数不是质数也不是合数，百位上的数是1，十位上的数是最小的质数，十位上的数是2；再根据能被2、3整除的数的特征，这个四位数各个数位上的数的和已经是9+1+2=12了，所以这个四位数个位上的数只能是0.
3、一个三位数，百位上既不是质数也不是合数，十位上是最大的奇数，这个数又是2和3的倍数，这个三位数是（ ）或（ ）。
解答
1既不是质数也不是合数，即百位上的数字是1，最大的一位奇数是9，即十位上的数字是9，因为既是2的倍数又是3的倍数，个位上的数字必须是偶数，且各位上的数字之和是3的倍数，所以这个三位数是192或198.
故答案为：192或198.
分析：
1既不是质数也不是合数，最大的一位奇数是9，再根据2和3的倍数特征，既是2的倍数又是3的倍数，个位上的数字必须是偶数，且各位上的数字之和是3的倍数，据此解答.
例３（１）a与b是互质数，它们的最小公倍数是最大公约数的m倍，则m是( ).
① ab ② a ③ b ④ 1
解答
a与b互质，那么a与b的最大公约数是1，最小公倍数的ab，
最小公倍数÷最大公约数=ab÷1=ab，所以m=ab.
故选：A.
分析：
根据题意，可知互质的两个数的最大公约数的1，最小公倍数是它们的乘积，用最小公倍数除以最大公约数即用它们的乘积除以1就等于它们的乘积，所以m等于ab.
（２）如果自然数a除以自然数b商是17，那么a与b的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
解答
由题意得，自然数a除以自然数b商是17，可知a是b的倍数，所以a和b的最大公因数是b；a和b的最小公倍数是a.
故答案为：b，a.
分析：
自然数a除以自然数b商是17，说明a是b的整数倍，求两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数；最小公倍数为较大的数；由此解答问题即可.
【变式训练3】
1、自然数a是自然数b的3倍，那么a与b的最小公倍数是( )
A、ab B、3 C、a D、b
解答
由自然数a是自然数b的3倍，可知a与b属于倍数关系，且a>b所以a和b最小公倍数是a.
故选：C.
分析：
求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：①两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；②两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；③两个数有公约数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题.
2、自然数m和n，n= m+1，m和n的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
解答
自然数m和n，n=m+1，所以n、m是互质数，那么m、n的最大公因数是1，最小公倍数是nm；
故答案为：1，nm.
分析：
因为自然数m和n，n=m+1，所以m、n这两个自然数是互质数，是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积；据此解答即可。
３、m、n是非零自然数，m÷n=1……1，那么m和n的最大公因数是（ ）。
A、1 B、mn C、m D、n
解答
由题目已知条件可知mn是相邻的两个自然数，它们是互质数，它们的最大公因数为1，
故选A.
４、a与b是相邻的两个非零自然数，它们的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
解答
因为a、是相邻的两个自然数，且（a、的不为0），即a和互质，
则：a和的最大公因数是1，最小公倍数是ab；
故答案为：1，ab.
分析：
因为a、b是相邻的两个自然数，且（a、b均不为0），即a和b互质，当两个数为互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积；进而解答即可.
（三）数的整除的实际应用
例４把46块水果糖和38块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖剩1块，巧克力剩3块。你知道这个组最多有几位同学吗？
【规律方法】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数．根据题意可知：如果糖有46-1=45块，巧克力有38-3=35块，正好平均分完，求这个组最多有几名同学，即求45和35的最大公因数，把45和35进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数；由此解答即可．
解答
46-1=45（块），
38-3=35（块），
45=3×3×5，
35=5×7，
所以45和35的最大公因数是5，即最多有5名同学；
答：这个组最多有5名同学．
故答案为：5．
【变式训练4】
１、被2、3、5除，结果都余1的最小整数是（ ），最小三位整数是（ ）。
解答
2×3×5+1=30+1=31；
（2×3×5）×4+1=30×4+1，
=120+1
=121；
故答案为：31，121.
分析：
这个最小整数比2、3、5的最小公倍数多1，求出2、3、5的最小公倍数加1即可；将2、
3、5的最小公倍数乘4加1就是最小三位整数.
２、一筐苹果4个4个拿，6个6个拿，或者8个8个拿都正好拿完，这筐苹果最少有（ ）个。
解答
4=2×2，6=2×3，
8=2×2×2
4、6、8的最小公倍数是2×2×2×3=24.
答：这筐苹果最少是24个。
故答案为：24.
分析：
根据题意可知，此题是求4、6、8的最小公倍数，求出它们的最小公倍数即可.
4、一个两位数除以5余3，除以7余5，这个两位数最大是（ ）
（A）72 （B）37 （C）33 （D）68
解答
首先找出5的倍数
5，10，15，20，25，30...尾数都是0或5的整数，
而这个数应该是：
8，13，18，23，28，33..
尾数都是3或8的整数；
满足情况的只有答案C或D，而7×9+5=68满足题意。
故：答案选择D.
分析：
比较简单的方法可以用排除法；另外可以通过公倍数的知识解决.
5、五1班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人。问上体育课的同学最少多少名？
解答
3、4、5、6的最小公倍数是60，
60-1=59，
答：上体育课的同学最少有59人。
故答案为：59.
分析：
排成4行多3人，即为少一人，排成6行多5人，也是少1人，求出3、4、5、6的最小公倍数再减去1即可.
例５一个大厅里共有200盏彩灯。每两盏灯与一个拉线开关相连 (同时亮或同时熄)。现在，所有开关按序号1～100安装在同一个控制箱内，所有的灯都处于“熄”的状态。李明先将序号是3的倍数的开关拉一遍，接着刘强又将序号是5的倍数的开关拉了一遍。这时，大厅里共有 ( )盏灯亮着。
【规律方法】本题主要考查数的整除特征考点．解答此题应结合题意，根据数的整除特征，依次进行分析，进而得出结论．李明将序号是3的倍数的开关拉一遍后，有33个开关开着（100÷3取整得33），接着刘强又将序号是5的倍数的开关拉一遍后，有100÷5=20个开关动过，其中有6个是由开变关，（100÷（3×5）取整得6），实质上是有20-6=14个开关被打开了，两轮以后，一共有33-6+14=41个开关开着，有41×2=82盏灯亮着．
解答
100÷3≈33.3，即100以内是3的倍数的数有33个，100÷5=20，即100以内是5的倍数的为数有20个，100以内同时是3、5的倍数的数有：100÷（3×5）=6.7，即6个，
故亮着的灯有：[（33-6）+（20-6）]×2=82（盏）.
故答案为：82
分析：
先求出共打开多少灯的开关，即100以内是3或5的倍数的数的多少，再计算亮着的灯有多少盏.
【变式训练5】
下图是A/B/C三个互相咬合的齿轮，若A齿轮转3圈，B齿轮转7圈，C齿轮转2圈，那么这三个齿轮最少是A齿轮（ ）齿，B轮（ ）齿，C轮（ ）齿。
解答
3、7、2三个数两两互质，它们的最小公倍数是它们的乘积：3×7×2=42，
即三个齿轮转过的总齿数是42，A为：42÷3=14（齿）；
B：42÷7=6（齿）；
C：42÷2=21（齿）；
故答案为：14，6，21.
分析：
由题意可知：若A轮转3圈，B轮转7圈，C轮转2圈三个齿轮转过的总齿数是相等的，即转过的总齿数是3、7、2的公倍数，要求最少，就是转过的总齿数是3、7、2的最小公倍数，然后用这三个数的最小公倍数分别除以它们的圈数就是各自的齿数.
【变式训练6】
１、甲、乙、丙三根长绳分别长8米、10米和16米，把它们分别剪成长度相等的短绳(以米为单 位)，问一共最少能剪成多少条短绳
解答
8、10、16的最大公因数是2，所以剪成的绳子长度是2米.
8÷2=4（根）
10÷2=5（根）
16÷=8（根）
4+5+8=17（根）
答：最少能剪成17根短绳.
故答案为：17根
分析：
这是求几个数的最大公因数的题目.要想使剪成的绳子长度相等，就要找出8米、10米、16米这三个数的最大公因数，把绳子截成以最大公因数的长度为短绳的长度.
2、某公共汽车始发站，1路车每5分钟发车一次，2路车每10分钟发车一次，3路车每12分钟发车一次。这三路汽车同时发车后，至少再经过（ ）分钟又同时发车？
解答
10=2×5，12=2×2×3，
所以5、10和12的最小公倍数是：5×2×2×3=60；
所以至少再经过60分钟分钟又同时发车；
答：至少再经过60分钟又同时发车。
分析：
要求这三路汽车同时发车后，至少再经过多少分钟又同时发车，根据题意，也就是求5、
10和12的最小公倍数；对于三个数来说：三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数，由此解决问题即可.
３、小红在操场周围种树，开始时每隔3米种一棵，种到9棵后，发现树苗不够，于是决定重种，改为每隔4米一棵，这时重种时，不必再拔掉的树有多少棵？
解答
3×（9-1）=3×8=24（米）
3和4的公倍数有3×4=12，
12×2=24...，
第一棵、12米距离上的那棵、24米距离上的那棵不必拔掉。
答：有3棵树不必拔掉。
分析：
根据“间隔米数×（棵数-1）=总米数”可求出植树的总米数，重植时，当树在3和4的公倍数米数的位置时就不必拔掉，另外第一棵不必拔掉，求出现在植树的总米数之内的3和4的公倍数，看有几个再加一，就是不必拔掉的树的棵数.
例７一次数学竞赛，结果学生中1/7获得一等奖，1/3获得二等奖，1/2获得三等奖，其余获纪念奖。已知参加这次竞赛的学生不满50人，问获纪念奖的有多少人？
【规律方法】解答本题的关键是明确：学生中获得一等奖，获得二等奖，获得三等奖，也就是说学生总人数应该是7，3，2的公倍数且小于50人．
解答
3和7的最小公倍数是2×3×7=42，
因为在50以内的7、3和2的公倍数只有1个42，
所以参加这次竞赛的学生有42个，纪念奖有：
42×（1---）=42=1（人）
答：获纪念奖的有1人．
故答案为：1．
【变式训练7】
1、一块长方形铁皮，长96厘米，宽80厘米，要把它剪成同样大小的正方形且没有剩余，这种正方形的边长最大是多少？被剪成几块？
解答
80=2×2×2×2×5，
96=2×2×2×2×2×3
80和96的最大公因数是：
2×2×2×2=16；
（96÷16）×（80÷16），=6×5，=30（块）；
答：这种正方形的边长最长是16厘米，被剪成30块。
分析：
找到96、80的最大公约数，即为正方形的边长；依此分别求出长边，宽边正方形的个数，相乘即可求出可以剪正方形的块数.
2、一种长方形的地砖，长24厘米，宽16厘米，用这种砖铺一个正方形，至少需多少块砖？
解答
24=2×2×2×3
16=2×2×2×2，
所以24和16的最小公倍数是：2×2×2×2×3=48，
（48÷24）×（48：16）=2×3=6（块）；
答：至少需6块砖。
分析：
先求出正方形的边长最小是多少厘米，即求24和16的最小公倍数；然后根据求出的正方形的边长进行分析：看能放几排，几列，然后相乘即可.
３、已知某小学六年级学生超过100人，而不足140人。将他们按每组12人分组，多3人；按每组8人分，也多3人。这个学校六年级学生多少？
解答
12=2×2×3，
8=2×2×2，
则12和8的最小公倍数是：
2×2×2×3=24，
则100~140之间的24的倍数是120，
120+3=123（人）；
答：这个学校六年级学生123人。
分析：
1、本题主要考查公倍数的求法。回忆一下，公倍数的概念及求法。
2、根据题意可知，先求在100~140之间12和8的公倍数。
（四）找数的规律
例8在括号里填上合适的数
（1） 、、 、（ ）、（ ）……
（2） 、、、、、（ ）、（ ）……
（3） 、、、、（ ）、（ ）、（ ）……
（4）△○□○△○□○△○□○……
像上面这样排列下去，第20个图形是（ ）。
【规律方法】找到每一题中已给的几个数的之间的规律，或者是分母是某个数的平方，或者是某个数的倍数，注意（4）题是△○□○4个一个周期，运用周期问题的方法解决即可。
解答
（1）
(2)
(3)
（4）20÷4=5，正好20能被4整除，所以第20个图形它跟第一个排列周期的最后一个图形相同.
答案为：
分析：
（1）分子都是1，分母都是2、3、4、5的平方数；
（2）分子都是1，分母都是相邻两个自然数的乘积；
（3）分子都是1，分母都是3的1、2、3、
4..的倍数；
（4）这组图形的排列规律是：四个图形一个排列周期，即按照：△o口o的顺序依次排列的，因为20÷4=5，正好20能被4整除，所以第20个图形是一个排列周期的最后一个图形.
（一）填空
1、如果用代表同一个非0自然数，下列算式中，得数最大的是（ ）
解答
设是1
B的得数最大
故答案为：B
2、5米增加米是( )米，( )米增加是5米。
解析
5、
解：①5+=5（米）；
②5÷（1+）
=5÷
=（米）；
故答案为：5、
解析
①根据题意，可用5米加上米即可得到答案；
②将原来的米数看作单位“1”，那么增加后5米就是原来米数的（1+），可用现在的5米除以（1+）即可得到答案。
解答此题的关键是①分清分数后面带单位与不带单位的区别；②找准单位“1”，然后再列式计算.
3、2007年5月，太湖蓝藻爆发影响自来水水质，无锡市实行“引江济太”工程，将长江水引入太湖。调水时，流量由原来的每秒160立方米提高到每秒240立方米，流量提高了。
答案解析
解：在本题中，流量由原来的160m3/每秒提高到240m3/每秒，流量增加了240-160，所以流量提高了：
故答案为：
这是求一个数是另一个数的几分之几的问题，只要找对关系量，弄清楚求的谁是谁的几分之几就可以了，在本题中，须要求的是增加的量是原来的量的多少
·解析
这是求一个数是另一个数的几分之几的问题，在本题中，流量由原来的160m3/每秒提高到
240m3/每秒，流量增加了240一160，算出增加的量是原来的量的几分之几就行了.
4、在股票交易中，买进必须按成交额的0.3％交纳印花税、0.15％交纳佣金，小李以每股10元买进1000股科技股，需要交纳印花税( )元、佣金( )元。
答案解析
30、15
解：10×1000×0.3%=30（元），
10×1000×0.15%=15（元），
答：需要交纳印花税30元、佣金15元.
故答案为：30，15.
解析
先求出小李的成交额，然后分别乘0.3%、0.15%
求交印花税、佣金的数额.
此题主要考查存款利息与纳税相关的问题，注意乘相应的百分率.
5、今年植树节，花园路小学种植了185棵树苗，其中15棵未成活，后来又补种了15棵，全部成活。今年花园路小学种植树苗的成活率是( )。
解答
答案：92.5%。
（185-15+15）÷（185+15）×100%
=185÷200×100%
=92.5%
故今年花园路小学种树苗的成活率是92.5%。
分析：
【考点提示】
不同考查了百分率的应用，理解百分率的意义可解答问题；
【解题方法提示】
根据成活率=树的成活棵数种树的总棵数×100%求解；
种树的棵数减去未成活的棵数再加上补种成活的棵数就是成活的总棵数；种树的棵数加上补种的棵数就是种树的总棵数，据此列式计算即可。
6、在3、5、12、49、108五个数中，质数有( )，合数有( )，12能被这五个数中的
( )整除。
解答
在3、5、12、49、108五个数中，质数有（3、5），合数有（12、49、108），12能被五个数中的（3、12）数整除.
故答案为：
3、5；12、49、108；3、12.
分析：
一个数的因数除了1和它本身之外，再也没有其它的因数，这样的数叫质数；一个数的因数除了1和它本身之外，还有其它的数，这样的数叫合数，据此解答即可.
7、把30分解质因数是：30=( )。如果数a=3×3×5，那么30和a的最大公约数是( )，最小公倍数是( )。
解答
【答案】2×3×5，15，90
【解析】
（1）30=2×3×5；
（2）a=3×3×5，30=2×3×5
36和60的最大公因数是：3×5=15，
（3）36和60的最小公倍数是：3×5×3×2=90；
故答案为：2×3×5，15，90。
【思路】
（1）分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解；（2）求两个数的最大公因数，先把这两个数分解质因数，公有质因数的积是它们的最大公因数；
（3）求两个数的最小公倍数，先把这两个数分解质因数，公有质因数和各自独有质因数的连乘积是它们的最小公倍数。
8、有一箱苹果，3个3个地数多1个，4个4个地数也多1个，5个5个地数还多1个，这箱苹果至少有( )个。
解答
3、4、5三个数两两互质，它们的最小公倍数是它们的乘积，即3×4×5=60；所以这箱苹果至少有；60+1=61（个）；
故答案为：61.
分析：
3个3个数多1个，4个4个数也多1个，5个5个数还多1个，据此可知这箱苹果的数量减去1个就是3、4、5的公倍数，要求至少就是用3、4、5的最小公倍数加上1即可.
（二）、选择题
1、 一个自然数有三个约数，这个自然数一定是( )。
A.奇数 B.质数 C.偶数 D.合数
解答
一个自然数有三个因数，即这个数除了1和它本身这两个因数外，还有别的因数，根据质数与合数的定义可知，这个数一定是合数.
故选：D.
分析：
自然数，除了1之外和它本身之外没有别的因数的数为质数，除了1之外还有别的因数的数为合数.一个自然数有三个因数，即这个数除了1和它本身这两个因数外，还有别的因数，所以这个数一定是合数.
2、 1、3、5都是15的( )。
A、质因数 B.公约数(公因数) C.约数(因数) D.奇数
解答
1、3、5都是15的约数
故答案为：C
3、用10以内的质数能组成互质数( )。
A.4组 B.5组 C.6组
解答
根据质数的定义可知，10以内质数有：2，3，5，7.
根据互质数的定义可知，这四个数两两互质，
因此可组成互质数的组数有：4×3÷2=6（组）；
故选：C.
分析：
①除了1和它本身外没有别的因数的叫质数；
②只有公因数1的两个数为互质数.
根据以上两个定义即确定10以内的质数及用10以内的质数能组成互质数的组数.
4、把70分解质因数是( )。
A.70=2×35 B.70=2×5×7 C.70=1×2×5×7 D. 2×5×7=70
解答：70=2×5×7
故答案为：B
5、当n表示1、2、3、4、5……时，2n表示( )。
A.奇数 B.偶数 C.质数 D.合数
解答
当n表示所有的正整数1，2，3，4，5，…时，
2n的值依次为：2，4，6，8，10，..
故选：B.
6、下列关系式不成立的是( )。
A.奇数＋奇数=偶数 B.偶数＋偶数=偶数
C.质数×质数=合数 D.合数＋合数=合数
解答
奇数：3、5
3+5=8，所以奇数+奇数=偶数，说法正确；
偶数2、4
2+4=6，所以偶数+偶数=偶数，说法正确；
质数：3、5、
3×5=15，15的因数有1、3、5、15，所以15是合数
质数×质数=合数，说法正确；
合数：8、9
8+9=17，17是质数
所以：合数+合数=合数，说法错误。
故选：D.
7、能同时被2、3、5整除的最大三位数是( )。
A.900 B.995 C.990 D.999
解答
能同时被2、3、5整除的最大三位数是990.
故选：C.
分析：
能同时被2、3、5整除的数要满足个位上是0，而且各个数位上的数的和是3的倍数；据此写出最大的三位数即可.
8、用0、1、3、5这四个数字组成能被5整除的四位数共有( )个。
A.4个 B.6个 C.10个 D.12个
解答
答案：C。
能写出的被5整除的四位数有：
1035，1305，1350，1530；3015，3105，3150，3510；5130，5310。
一共有10个。
故选C。
分析：
【考点提示】
本题是一道关于5的倍数的题目，熟练掌握5的倍数的特征是解答本题的关键；
【解题方法提示】
解答本题时需明确：个位数字是0或5的数是5的倍数；然后把个位是0的四位数写出来，再把个位是5的四位数写出来，数一数其个数，即可解答。
9、把一道减法算式里的被减数、减数、差相加，结果是36，被减数是( )。
A.18 B.26 C.无法确定
解答
答案是：A
解析：被减数=减数+差
被减数+减数+差=2（减数+差）=36
减数+差=18
被减数=18
故选A
（一）填空
1、1至9的九个数中，相邻两个数都是质数的是（ ）和（ ），相邻两个数都是合数的是（ ）和（ ）。
解答
最小的质数是2，那么相邻的两个数都是质数的是2和3；
相邻的两个数都是合数的是8和9；
故答案为：2和3，8和9.
分析：
根据质数与合数的定义，及自然数的排列规律，最小的质数是2，最小的合数是4，由此解答.
2、两个自然数的最大公因数是12，最小公倍数是144，则这两个数分别是（ ）和（ ）。
解答
因为144：12=12，12=1×12=3×4，
所以这两个数有两种情况：
即12×1=12、12×12
=144或12×3
=36、12×4
=48，
所以两个数各是12，144和36，48.
故答案为：12，144和36，48.
分析：
首先要知道最大公因数和最小公倍数是如何求得的，最大公因数是两个数的公有质因数的乘积，最小公倍数是两个数的公有质因数和各自独有质因数的乘积，所以用最小公倍数除以最大公因数就得到了两个数的独有质因数的乘积，进而组合成要求的数即可.
3、从0,5,4,2这四张数字卡片中任意挑3张排成同时是2、3、5的倍数的三位数，这样的三位数有（ ）个。
解答
2，3，5的倍数就是他们的公倍数是30
该数必须是30的倍数
即各位之后可以被3整除，且个位数字为0
百位和十位数字之和能被三整除
只能是5和4，2和4
这样的三位数有540，450，240，420
4、一个三角形3个内角度数比是5：3：1，这个三角形中最大的一个内角是（ ）度，这是一个（ ）三角形。
解答
5+3+1=9，
180×=100（度），
因为三角形的最大角是100度，是钝角，所以是钝角三角形；
故答案为：100，钝角。
分析：
根据题意可知：三角形的最大角占三角形的内角度数和的，根据一个数乘分数的意义，用乘法求出最大内角的度数，进而根据三角形的分类进行解答即可。
（二）选择题
1、已知M÷N=0.1（M、N为自然数），M和N的最大公因数是（ ）。
A.M B.N C.10 D.以上答案都不对。
解答
因为“M÷N=0.1（M、N为自然数），”
所以N÷M=10，由此说明N是M的10倍，
所以M、N的最大公因数是M.
故选：A.
分析：
因为“M÷N=0.1（M、N为自然数），”所以N÷M=10，由此说明N是M的10倍，求两个数为倍数关系时的最大公因数为较小的数；由此解答问题即可.
2、两个自然数a、b是互质数，已知a×b=c,a和b的最小公倍数是（ ）
A．a B. b C. c D.以上答案都不对
解答
两个互质数的乘积就是他们的最小公倍数。axb=c，所以c为a和b的最小公倍数。
故答案为：C.
3、下面各组数中，第一个数能整除第二个数的是（ ）
（1）0.2和0.24 （2）35和5 （3）5和25
解答
A、因为0.24÷0.2=1.2中的被除数、除数和商都是小数，所以0.24÷0.2=1.2不是整除算式，所以不能说0.2能整除0.24，只能说0.2能除尽0.24；
B、因为5÷35=中的商是分数，所以5÷35=不是整除算式，所以不能说35能整除5；
C、因为25÷5=5中的被除数、除数和商都是整数，所以25÷5=5是整除算式，所以能说5能整除25；
故选：C.
分析：
整除：是指一个整数除以另一个不是0的整数，得到的商是整数，而没有余数，我们就说第一个整数能被第二个整数整除，第二个整数能整除第一个整数；根据整除的意义，逐项分析后再选择.
4、下面各组数，一定不能成为互质数的一组是（ ）
（1）质数与合数 （2）奇数与偶数
（3）质数与质数 （4）偶数与偶数
解答
A.3是质数，4是合数，3和4是互质数，所以质数和合数可以组成互质数，答案A排除；
B.3是奇数，4是偶数，3和4是互质数，所以奇数和偶数可以组成互质数，答案B排除；
C.根据质数的意义，质数和质数只含有公因数1，所以质数和质数一定能成为互质数，答案C排除；
D.因为偶数是2的倍数，所以偶数含有因数2，偶数与偶数一定含有1、它本身、2，至少3个因数，所以偶数与偶数一定不能成为互质数；
故选：D.
分析：
互质数是公因数只有1的两个数，据此使用排除法分析解答，可以举例分析判断。
5、如果a、b都是自然数，并且a÷b=4,那么数a和数b的最大公约数是（ ）。
（1）4 （2）a （3）b
解答
因为a、b都是自然数，并且a÷b=4，所以那么数a和数b的最大公约数是：b.
故选：C.
分析：
因为a、b都是自然数，并且a÷b=4，a和b是倍数关系，当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最最大公因数.
（四）文字题：
（1）与的和除以它们的差，商是多少？
解答
答：商是
分析：
根据题意，列出综合算式计算即可.
（2）125减少它的12%再乘以，积是多少？
解答
答：积是30.
分析：
先把125看成单位“1"，用乘法求出它的（1-12%），然后再乘上即可.
（3）某数的加上2.5与它的相等,求某数。
解答
2.5÷
=2.5×12
=30
答：某数是30.
分析：
根据题意，2.5占这个数的，那么，这个数是2.5÷，解决问题.
（4）0.21除以的商加上2.4乘的积，和是多少？
解答
0.21÷+2.4×
=0.21×+0.6，
=0.35+0.6
=0.95；
答：和是0.95.
分析：
求和，就要知道两个加数分别是多少.根据题意，一个是0.21÷，另一个数是2.4×，由此列式解答.
（5）甲数比乙数多25%，甲数是乙数的百分之几？乙数比甲数少百分之几？乙数是甲数的百分之几？
解答
（1）1+25%=125%
（2）25%÷125%=20%
（3）1÷（1+25%）=80%
答：甲数是乙数的125%，乙数比甲数少20%，乙数是甲数的80%.
分析：
1、本题是关于百分数的实际应用的问题。共三个问题，要—一解答。
2、甲数比乙数多25%.是把乙数看作单位1，甲数是1+25%.求甲数是乙数的百分之几，用甲数除以乙数，即（1+25%）÷1得到甲数是乙数的百分之几。
3、求乙数比甲数少百分之几，是把甲数看作单位一，即25%÷（1+25%）得到。乙数是甲数的百分之几，用乙数除以甲数，1÷（1+25%）
即可。
点评
本题的难点是确定单位一，特别注意不同的问题，单位一也不相同。
（四）解答题：
1、有一堆糖果，2颗2颗地分少1颗，3颗3颗地分多2颗，7颗7颗地分多6颗，这堆糖果至少有多少颗？
解答
2颗2颗地分少1颗：
2-1=1，2×2-1=3，2×3-1=5
由此可知：2颗2颗地分少1颗可能是：1，3，5，7，9，11，13……
3颗3颗地分多2颗：
1×3+2=5，2×3+2=8，3×3+2=11……
由此可知：3颗3颗地分多2颗：
5，8，11，14，17，20……
7颗7颗地分多6颗
1×7+6=13，2×7+6=20
由此可知：7颗7颗地分多6颗：
13，20，27，34，…
既符合7颗7颗地分多6颗，又符合3颗3颗地分多2颗，最小的数是20，要使这个数符合2颗2颗地分少1颗，这数的末尾一定是奇数。
所以7×3×2-1=41.
答：这堆糖果至少有41颗.
2、有两根铁丝，一根长48厘米，另一根长60厘米，要截成同样长的小段，不许有剩余，每段最长为多少厘米？一共可以截成几段？
解答
48和60的最大公因数是12
每段最长是12厘米
48÷12+60÷12=4+5=9段.
答：每段最长为12厘米，一共可以截9段.
分析：
题目中说要截成同样长的小段，而且不许有剩余，也就是截成的段数是48和60的最大公因数，由此可以得出每段长12厘米。
3、一行小树共36棵。原来每隔2米栽一棵树，现在由于小树长大了，必须改为每隔5米栽一棵树，一共有几棵树不必移动？
解答
（36-1）×2
=35×2
=70（米）
2和5的公倍数且不大于70的有：
10，20，30，40，50，60，70所以，有7棵小树不必移动。
答：一共应有7棵小树不必移动。
【资料介绍】该资料结合数和数的运算（二）的知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
模块一
知识讲解
加法
乘法
模块二
方法归纳
模块三
课堂精讲
模块四
讲练结合题
模块五
课后自测练习
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【专题讲义】人教版六年级数学下册
第10讲 数和数的运算（二）专题精讲（学生版）
知识要点梳理
课程目标 1、掌握四则运算混合运算的运算顺序。2、掌握基本运算律，灵活运用运算律进行简便运算。3、掌握质数合数的概念，掌握最大公因数、最小公倍数的求法及应用。
课程重点 观察算式特点，灵活运用运算律。
课程难点 最大公因数、最小公倍数的实际应用；
教学方法建议 1.让学生理解简便运算的基础上，简便运算与加减乘除混合运算的区别与联系。2.通过练习归纳出常见的方法。
（一）数的整除
1. 数的整除
整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是（ ）而没有（ ）数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。
例如：35÷7=5, 因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。
【练习】判断：1.因为42÷7=6，所以42能整除7。 （ ）
2、一个数的倍数一定比这个数的约数大。 （ ）
3、因为6÷1.2＝5，所以6能被1.2整除。 （ ）
4.因为16÷0.8＝20，所以16能被0.8整除。 ( )
2. 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是（ ），最大的约数是（ ）。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是（ ），（ ）最大的倍数。
3. 被2.3.5整除的数的特征：
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
【练习】下面各数能同时被2、3、5整除的数是（ ）
A . 215 B .30 C . 75 D . 94
4.偶数和奇数：
能被2整除的数叫做（ ）。 不能被2整除的数叫做（ ）。
0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
5.质数和合数：
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做（ ）（ ）。
100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做（ ），例如 4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。
【练习】在所有的质数中，偶数的个数有( )。
A、一个也没有 B、有一个 C、有两个 D、有无数个
6.质因数和分解质因数：
每个合数都可以写成几个（ ）相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的（素因数）数，叫做这个合数的质因数。
例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如把28分解质因数
２８＝
７.最大公约数：
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。
８.互质数：
公约数只有1的两个数，叫做（互质数）。
成互质关系的两个数，有下列几种情况：
（１）1和任何自然数互质。 如：１和２,１和１０等；
（２）相邻的两个自然数互质。如：８和９ ，９和１０等
（３）两个不同的质数互质。 如；３和７，（ ）和（ ）
（４）当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。 如：（ ）和（ ）
（５）两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。 如；（ ）和（ ），（ ）和（ ）
如果较小数是较大数的约数，那么较（ ）数就是这两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是（ ）。
【练习】判断：任意两个相邻的自然数（0除外）都是互质数；（ ）
９.最小公倍数：
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……
3的倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。
如果较大数是较小数的倍数，那么较（ ）数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是（ ）的，而几个数的公倍数的个数是（只有一个）的。
10.数的整除
1. 把一个合数分解质因数，通常用（ ）法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是（ ）数为止，再把除数和商写成连乘的形式。
如：126＝
2. 求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数 。
3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
11.奇偶性：
偶数±偶数＝偶数 奇数±奇数＝偶数 奇数±偶数＝奇数
偶数个偶数相加是偶数，奇数个奇数相加是奇数。
偶数×偶数＝偶数 奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数
（二）数的运算
1、四则运算的意义
数的分类运算名称 整数 小数 分数
加法 把两个数合并成一个数的运算。
减法 已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。
乘法 求几个相同加数的和的简便运算。 小数乘整数与整数乘法意义相同。 分数乘整数与整数乘法意义相同。
一个数乘小数，就是求这个数的十分之几，百分之几…是多少。 一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少。
除法 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
2、四则运算的法则
整数 小数 分数
加减 相同数位对齐，从低位算起加法：满十就向前一位进一减法：不够减就从前一位退，退一当十 小数点对齐，从低位算起，按整数加减法进行计算，结果中的小数点和加减的数的小数点对齐。 1、同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。2、异分母分数相加减，先通分，然后再按同分母分数相加减的方法计算。3、结果能约分的要约分。
乘法 1、从个位乘起，依次用第二个因数每一位上的数去乘第一个因数。2、用第二个因数哪一位上的数去乘，得数的末位就和第二个因数的哪一位对齐。3、再把几次乘得的数加起来。 1、按整数乘法法则算出积。2、看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 1、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。2、有整数的把整数看作分母是1的假分数。3、有带分数的，通常先把带分数化成假分数。
除法 除数是整数：从被除数的高位除起，除数是几位就先看被除数的前几位，如果不够除，就要多看一位，除到哪一位就要把商写在哪一位的上面。商的小数点和被除数的小数点对齐。 除数是小数：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补0），然后按照除数是整数的除法进行计算。 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。
3、四则运算各部分的关系：
加数+加数=和 被减数—减数=差
一个加数=和—另一个加数 减法 被减数=减数+差
减数=被减数—差
因数×因数=积 被除数÷除数=商
一个因数=积÷另一个因数 除法 被除数=商×除数
除数=被除数÷商
4、运算定律和运算性质
加法交换律 : a+b=b+a
加法结合律 : (a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律 : a×b=b×a
乘法结合律 : （a×b）×c=a×(b×c)
乘法分配律 : (a+b)×c=a×c+b×c
减法的运算性质: a-b-c=a-(b+c)
除法的运算性质: a÷(b×c)=a÷b÷c
5、四则运算的顺序：
在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算。
有括号的算式里，要先算括号里的，再算括号外的。
1. 一个数被整除的判断方法：
被2整除：个位是0、2、4、6、8的，则这个数能被2整除。
被3（或9）整除：数字之和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。
被4（或25）整除：末两位能被4或25整除，则这个数能被4或25整除。
被5整除：若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
2. 判断互质数的技巧：
①和其它的自然数。例：1和99、1和46
②两个连续的或相邻的自然数一定是互质数。例：3和4、9和10
③两个连续的奇数或相邻的奇数是互质数。例：7和9、13和15
④两个质数是互质数。例：5和7、11和17
3. 判断最大公因数的技巧：
①如果两个数是互质数关系，那么最大公因数是1。例：7和11
②如果两个数是倍数关系，那么最大公因数是较小数。例：7和21
4. 判断最小公倍数的技巧：
①如果两个数是互质数关系，那么最小公倍数是它们的乘积。例：5和7
②如果两个数是倍数关系，那么最小公倍数是较大数。例：7和14
（一）最大公因数和最小公倍数
例１（1）甲数=2×3×5×7，乙数=2×3×11，甲乙两数的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
（2）把自然数a与b分解质因数，得到a=2×5×7×m，b=3×5×m ，如果a与b的最小公倍数是2730，那么m = （ ）。
【规律方法】掌握两数的最大公因数和最小公倍数的求法。两数的最大公因数是这两数中的相同质因数的积，最小公倍数是两数中相同的质因数和不同质因数的乘积。
【变式训练1】
１、A=2×3×5，B=2×3×7，A和B的最大公约数是( )，最小公倍数是( )。
2、A=2×3×7，B=2×5×7，A和B的最大公约数是( )，最小公倍数是（ ）。
３、如果A=60，B=42，那么A、B的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）；
４、A=2×3×a B= 2×a×7，已知A、B的最大公约数是6，则 a=( ); A、B的最小公倍数是（ ）。
（二）数的整除
例２（1）有9、7、2、1、0五个数字，用其中的四个数字，组成能同时被2、3、5整除的最小的四位数是（ ）。
（2）一个三位数既能被2整除，又能被3整除，而且个位、十位上相同，这个三位数最大是（ ）。
（3）在6、3、5、0、8、7这六个数中选中五个数组成一个能同时被2、3、5整除的最小五位数( )。
【规律方法】掌握同时被2,3,5整除的数的特征。
【变式训练2】
１、 四个数字0、2、5、8组成的四位数中，能同时被3和5整除的最大的数是（ ），最小的数是（ ）。
２、一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数是奇数又是合数，它的百位上的数不是质数也不是合数，它十位上的数是最小的质数，个位上的数是（ ）。
3、一个三位数，百位上既不是质数也不是合数，十位上是最大的奇数，这个数又是2和3的倍数，这个三位数是（ ）或（ ）。
例３（１）a与b是互质数，它们的最小公倍数是最大公约数的m倍，则m是( ).
① ab ② a ③ b ④ 1
（２）如果自然数a除以自然数b商是17，那么a与b的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
【变式训练3】
1、自然数a是自然数b的3倍，那么a与b的最小公倍数是( )
A、ab B、3 C、a D、b
2、自然数m和n，n= m+1，m和n的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
３、m、n是非零自然数，m÷n=1……1，那么m和n的最大公因数是（ ）。
A、1 B、mn C、m D、n
４、a与b是相邻的两个非零自然数，它们的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
（三）数的整除的实际应用
例４把46块水果糖和38块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖剩1块，巧克力剩3块。你知道这个组最多有几位同学吗？
【规律方法】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数．根据题意可知：如果糖有46-1=45块，巧克力有38-3=35块，正好平均分完，求这个组最多有几名同学，即求45和35的最大公因数，把45和35进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数；由此解答即可．
【变式训练4】
１、被2、3、5除，结果都余1的最小整数是（ ），最小三位整数是（ ）。
２、一筐苹果4个4个拿，6个6个拿，或者8个8个拿都正好拿完，这筐苹果最少有（ ）个。
3、一个两位数除以5余3，除以7余5，这个两位数最大是（ ）
（A）72 （B）37 （C）33 （D）68
4、五1班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人。问上体育课的同学最少多少名？
例５一个大厅里共有200盏彩灯。每两盏灯与一个拉线开关相连 (同时亮或同时熄)。现在，所有开关按序号1～100安装在同一个控制箱内，所有的灯都处于“熄”的状态。李明先将序号是3的倍数的开关拉一遍，接着刘强又将序号是5的倍数的开关拉了一遍。这时，大厅里共有 ( )盏灯亮着。
【规律方法】本题主要考查数的整除特征考点．解答此题应结合题意，根据数的整除特征，依次进行分析，进而得出结论．李明将序号是3的倍数的开关拉一遍后，有33个开关开着（100÷3取整得33），接着刘强又将序号是5的倍数的开关拉一遍后，有100÷5=20个开关动过，其中有6个是由开变关，（100÷（3×5）取整得6），实质上是有20-6=14个开关被打开了，两轮以后，一共有33-6+14=41个开关开着，有41×2=82盏灯亮着．
【变式训练5】
下图是A/B/C三个互相咬合的齿轮，若A齿轮转3圈，B齿轮转7圈，C齿轮转2圈，那么这三个齿轮最少是A齿轮（ ）齿，B轮（ ）齿，C轮（ ）齿。
【变式训练6】
１、甲、乙、丙三根长绳分别长8米、10米和16米，把它们分别剪成长度相等的短绳(以米为单 位)，问一共最少能剪成多少条短绳
2、某公共汽车始发站，1路车每5分钟发车一次，2路车每10分钟发车一次，3路车每12分钟发车一次。这三路汽车同时发车后，至少再经过（ ）分钟又同时发车？
３、小红在操场周围种树，开始时每隔3米种一棵，种到9棵后，发现树苗不够，于是决定重种，改为每隔4米一棵，这时重种时，不必再拔掉的树有多少棵？
例７一次数学竞赛，结果学生中1/7获得一等奖，1/3获得二等奖，1/2获得三等奖，其余获纪念奖。已知参加这次竞赛的学生不满50人，问获纪念奖的有多少人？
【规律方法】解答本题的关键是明确：学生中获得一等奖，获得二等奖，获得三等奖，也就是说学生总人数应该是7，3，2的公倍数且小于50人．
【变式训练7】
1、一块长方形铁皮，长96厘米，宽80厘米，要把它剪成同样大小的正方形且没有剩余，这种正方形的边长最大是多少？被剪成几块？
2、一种长方形的地砖，长24厘米，宽16厘米，用这种砖铺一个正方形，至少需多少块砖？
３、已知某小学六年级学生超过100人，而不足140人。将他们按每组12人分组，多3人；按每组8人分，也多3人。这个学校六年级学生多少？
（四）找数的规律
例8在括号里填上合适的数
（1） 、、 、（ ）、（ ）……
（2） 、、、、、（ ）、（ ）……
（3） 、、、、（ ）、（ ）、（ ）……
（4）△○□○△○□○△○□○……
像上面这样排列下去，第20个图形是（ ）。
【规律方法】找到每一题中已给的几个数的之间的规律，或者是分母是某个数的平方，或者是某个数的倍数，注意（4）题是△○□○4个一个周期，运用周期问题的方法解决即可。
（一）填空
1、如果用代表同一个非0自然数，下列算式中，得数最大的是（ ）
2、5米增加米是( )米，( )米增加是5米。
3、2007年5月，太湖蓝藻爆发影响自来水水质，无锡市实行“引江济太”工程，将长江水引入太湖。调水时，流量由原来的每秒160立方米提高到每秒240立方米，流量提高了。
4、在股票交易中，买进必须按成交额的0.3％交纳印花税、0.15％交纳佣金，小李以每股10元买进1000股科技股，需要交纳印花税( )元、佣金( )元。
5、今年植树节，花园路小学种植了185棵树苗，其中15棵未成活，后来又补种了15棵，全部成活。今年花园路小学种植树苗的成活率是( )。
6、在3、5、12、49、108五个数中，质数有( )，合数有( )，12能被这五个数中的
( )整除。
7、把30分解质因数是：30=( )。如果数a=3×3×5，那么30和a的最大公约数是( )，最小公倍数是( )。
8、有一箱苹果，3个3个地数多1个，4个4个地数也多1个，5个5个地数还多1个，这箱苹果至少有( )个。
（二）、选择题
1、 一个自然数有三个约数，这个自然数一定是( )。
A.奇数 B.质数 C.偶数 D.合数
2、 1、3、5都是15的( )。
A、质因数 B.公约数(公因数) C.约数(因数) D.奇数
3、用10以内的质数能组成互质数( )。
A.4组 B.5组 C.6组
5、当n表示1、2、3、4、5……时，2n表示( )。
A.奇数 B.偶数 C.质数 D.合数
6、能同时被2、3、5整除的最大三位数是( )。
A.900 B.995 C.990 D.999
7、用0、1、3、5这四个数字组成能被5整除的四位数共有( )个。
A.4个 B.6个 C.10个 D.12个
8、把一道减法算式里的被减数、减数、差相加，结果是36，被减数是( )。
A.18 B.26 C.无法确定
（一）填空
1、1至9的九个数中，相邻两个数都是质数的是（ ）和（ ），相邻两个数都是合数的是（ ）和（ ）。
2、两个自然数的最大公因数是12，最小公倍数是144，则这两个数分别是（ ）和（ ）。
3、从0,5,4,2这四张数字卡片中任意挑3张排成同时是2、3、5的倍数的三位数，这样的三位数有（ ）个。
4、一个三角形3个内角度数比是5：3：1，这个三角形中最大的一个内角是（ ）度，这是一个（ ）三角形。
（二）选择题
1、已知M÷N=0.1（M、N为自然数），M和N的最大公因数是（ ）。
A.M B.N C.10 D.以上答案都不对。
2、两个自然数a、b是互质数，已知a×b=c,a和b的最小公倍数是（ ）
A．a B. b C. c D.以上答案都不对
3、下面各组数中，第一个数能整除第二个数的是（ ）
（1）0.2和0.24 （2）35和5 （3）5和25
4、下面各组数，一定不能成为互质数的一组是（ ）
（1）质数与合数 （2）奇数与偶数
（3）质数与质数 （4）偶数与偶数
5、如果a、b都是自然数，并且a÷b=4,那么数a和数b的最大公约数是（ ）。
（1）4 （2）a （3）b
（四）文字题：
（1）与的和除以它们的差，商是多少？
（2）125减少它的12%再乘以，积是多少？
（3）某数的加上2.5与它的相等,求某数。
（4）0.21除以的商加上2.4乘的积，和是多少？
（5）甲数比乙数多25%，甲数是乙数的百分之几？乙数比甲数少百分之几？乙数是甲数的百分之几？
（四）解答题：
1、有一堆糖果，2颗2颗地分少1颗，3颗3颗地分多2颗，7颗7颗地分多6颗，这堆糖果至少有多少颗？
2、有两根铁丝，一根长48厘米，另一根长60厘米，要截成同样长的小段，不许有剩余，每段最长为多少厘米？一共可以截成几段？
3、一行小树共36棵。原来每隔2米栽一棵树，现在由于小树长大了，必须改为每隔5米栽一棵树，一共有几棵树不必移动？
【资料介绍】该资料结合数和数的运算（二）的知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
模块一
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加法
乘法
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