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【专题讲义】人教版六年级数学下册
第14讲 平面几何专题精讲（解析版）
知识要点梳理
课程目标 能够灵活运用基本公式，通过分割和组合图形求不规则图形面积
课程重点 灵活运用基本公式求不规则图形面积
课程难点 如何分割和组合图形。
教学方法建议 （讲解，比较，练习。）
1.等底等高的两个三角形其面积相等，可利用这个性质对三角形进行等积变形。
2.两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
3.等腰直角三角形的特征：两直角边相等，两锐角相等，都是45°，斜边上的高是斜边长度的一半，面积＝直角边长度 ÷2，面积＝斜边长度 ÷4。
4.当求一个图形的面积缺少条件时，可以用与它相等的另一个图形的面积来代替；或将两个 图形的面积差替换成另两个图形的面积差。这种思考方法叫作等量替换。
1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形；
2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；
3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系；
4．把图形进行割补（叫做割补法）。
SHAPE \* MERGEFORMAT 例1 如图，已知：D , E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE,AD若S=24cm,求△DEC的面积。
【规律方法】因为D是BC的中点，所以S△ABD=S△ADC=12
因为E是AC的中点，所以S△ADE=S△DEC=6
所以S△DEC=6
答案解析
解：
作高线AM.
S⊿ABC=BC.AM，S⊿ADC=CD.AM
又D是△ABC的边BC的中点，
S△ABC=24cm2，
.S△ACD=S△ABC=12cm2.
同理，S△CDE=；S△ACD=6cm2.
解析
根据三角形的面积公式以及中点的概念即可分析出各部分的面积关系；注意根据三角形的面积公式：在高相等的时候，面积比等于底的比；在底相等的时候，面积比等于高的比.
例2 下图是一个长方形，长为10厘米，宽为5厘米，则阴影部分面积为______平方厘米．
【规律方法】 S阴影=S长÷2=10×5÷2=25
答案解析
25
解：×10×（h1+h2）
=×10×5
=25（平方厘米）.
故答案为：25.
解析
整体考虑阴影部分面积，上层阴影部分面积为×10xh1，下层阴影部分面积为×10xh2总共层阴影部分面积为×10×（h1+h2）=×10×5=25平方厘米.
考查了组合图形的面积.本题整体考虑阴影部分面积，运用乘法分配律解题是难点，有一定的难度。
变式训练1
1．图中，每个小正方形的面积均为1个面积单位，共9个面积单位，则图中阴影部分面积为 个面积单位？
答案解析
解：9-（3÷2×2）-4÷2
=9-3-2
=4（个）
答：图中阴影部分面积为4个面积单位.
·解析
由图可以知道空白部分的面积是规则的三角形的面积，左下角与右上角两空白部分面积和为3个单位，右下为2个单位面积，故阴影：9-3-2=4.
2、图中△AOB的面积为15，线段OB的长度为OD的3倍，则梯形ABCD的面积为______．
答案解析
80平方厘米
解：根据题干可得：BD=B0，
△ABD的面积：×15=20（平方厘米），
AD:BC=OD:OB=1：3，
因为△ABD与△BDC的高相同，所以△ABD与△BDC的面积比为：1：3，
则△BDC的面积为：20×3=60（平方厘米），
20+60=80（平方厘米），
答；这个梯形的面积是80平方米。
故答案为：80平方厘米。
●解析
要求梯形ABCD的面积可以将它分成两部分来求，即：求出△ABD与△BDC的面积.
（1）△ABD的面积：因为线段OB的长度为0D的3倍，，所以BD=BO，所以△4BD的面积=△A0B=×15=20平方厘米。
（2）△BDC的面积梯形中△AOD与△BOC相似,AD:BC=OD：0B=1：3因为△ABD与△BDC的高相同，所以△ABD与△BDC的面积比为1：3，由此可得△BDC的面积为：20×3=60平方厘米。
3、在下左图中ABCD是梯形，AECD是平行四边形，则阴影部分的面积是______平方厘米（图中单位：厘米）．
解答
解：由图可知，
S阴=S平-S=12×10-12×10÷2，
=120-60，
=60（平方厘米）；
故答案为：60.
·解析
通过观察图可知，梯形的高就是平行四边形的高，已知平行四边形底和高，所以面积可求；阴
影部分的面积等于平行四边形的面积减去平行四边形中不涂颜色部分的三角形面积.
此题考查了等底等高的梯形和平行四边行，以及学生的观察图形的能力.
例3 如图，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积
是4，那么三角形ABC的面积是______
【规律方法】连结AE（如图5.57），则三角形AEC的面积是16÷2-4=4。因为△ACF与△AEC等高，且面积相等。所以，CF=CE。同理，△ABE的面积是16÷2-3=5，则BD∶BE=3∶5。即BE=DE=AF。而△BCE与△ACF等高，所以△BCE的面积为4×=2.5。从而，△ABC的面积是16-（3＋4+2.5）=6.5。
答案解析
解：三角形ADE的面积：16÷2=8
三角形ABE的面积：8-3=5
三角形AEC的面积：8-4=4
三角形BEC的面积：5：2=2.5
三角形ABC的面积：16-3-4-2.5=6.5
答：三角形ABC的面积是6.5
变式训练2
下图的长方形中，三角形ADE与四边形DEBF和三角形CDF的面积分别相等，求三角形DEF的面积。
解析
本题考查三角形的面积；
根据所学知识可知，三角形的面积=底×高÷2，根据题意可知，连接AE，观察图形可知，三角形ADE的面积等于长方形面积的一半，即16÷2=8；用8减去3得到三角形ABE的面积为5。同理，三角形AEC的面积为：8-4=4。因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的两倍，三角形BEC的面积：5÷2=2.5，所以三角形ABC的面积为：16-3-4-2.5=6.5。
例4 如图，ABCD是一个梯形，已知三角形ABD的面积是12平方厘米，三角形AOD的面积比三角形BOC的面积少12平方厘米，那么梯形ABCD的面积是______平方厘米。
【规律方法】可设△AOD的面积为S1。则，△BOC的面积为S1＋12。于是有：S△ABO=S△ABD-S△AOD＝12-S1，S△ABC=S△ABO+S△BOC=（12-S1）＋（S1＋12）=24（平方厘米）。 所以，梯形ABCD的面积是24+12=36（平方厘米）。
答案解析
△ADE与四边形DEBF和△CDF的面积分别相等，
因此，它们的面积分别是12×9÷3=36（平方厘米）
所以AE的长是36×2÷12=6（厘米），
CF的长是36×2÷9=8（厘米）
即BE的长是9-6=3（厘米），
BF的长是12-8=4（厘米），
△BEF的面积是3×4÷2=6（平方厘米）
所以，△DEF的面积是36-6=30（平方厘米）
答：三角形DEF的面积是30平方厘米。
·解析
本题考查三角形的面积公式；
S三角形=底×高÷2，
所以底=S三角形×2÷高
高=S三角形×2÷底
根据上面三道式子算出△BEF的面积。最后，S△DEF=SDEBF-S△BEF即可得出答案。
例5 梯形ABCD被两条对角线分成了四个三角形S1、S2、S3、S4。已知S1=2厘米2，S2=6厘米2。求梯形ABCD的面积。
【规律方法】三角形S1和S2都是等高三角形，它们的面积比为2∶6=1∶3；则：DO∶OB=1∶
答案解析
△AOD的面积比△BOC的面积少12平方厘米，
△ABD的面积比△ABC的面积少12平方厘米，
△ABC的面积=12+12=24平方厘米，
又因为S△ACD=SABD，
梯形ABCD的面积
=S△ABC+S△ACD=24+12=36（平方厘米）。
3。△ADB和△ADC是同底等高三角形， 所以，S1=S3=2厘米2。三角形S4和S3也是等高三角形，其底边之比为1∶3，所以S4∶S3=1:3，则S4=cm2. 所以，梯形ABCD的面积为2+6+2+=
解答
△C0D和△C0B分别以OD，OB为底时，同高
=
梯形ABCD.
AD//BC
△A0D~△C0B
△A0B和△C0B分别以0A，OC为底时，同高
S3=2
△AOD~△C0B
S梯形=S1+S2+S3+S4=2+6+2+
.梯形ABCD的面积cm2
例6 如图，是等腰直角三角形，以直角边AB为直径作半圆，与斜边AC交于D，且AB =20厘米，阴影部分的面积是（ ）平方厘米．
【规律方法】20×20÷2÷2，
=400÷2÷2，
=100（平方厘米）；
答：阴影部分的面积是100平方厘米．
解答
阴影部分的面积：
20×20÷2÷2=400÷2÷2=100（平方厘米）；
答：阴影部分的面积是100平方厘米。
分析：
如图所示，连接BD，则图中阴影①和空白②的面积相等，阴影不部分就成了三角形ABC的一半，从而可以求出其面积.
解决问题
1、直角三角形ABC的边分别是5厘米，3厘米和4厘米，将它的直角边AC对折到斜边AB上，使AC和AD重合，如图所示，则图中的阴影部分（未重叠部分）的面积是多少平方厘米？
解答
设CE=DE=X，∠EDB=90°，
（1）AC=3，由题意有
3X÷2×2+（5-3）X÷2=3×4÷2，
4x=6，
X=1.5，
阴影部分（未重叠部分）的面积=1.5×2÷2=1.5（cm2）；
（2）AC=4，由题意有
4X÷2×2+（5-4）X÷2=3×4÷2，
4.5X=6
X=
阴影部分（未重叠部分）的面积=×1÷2=（cm2）.
分析：
可设CE=DE=X，分两种情况：（1）AC=3，根据题意可以列出方程3X÷2×2+（5-3）X÷2=3×4÷2；
（2）AC=4，根据题意可以列出方程4X÷2×2+（5-4）X÷2=3×4÷2；求解即可
2、某列火车主动轮的直径是1.5米，如果每分钟转300圈，这列火车每小时约行多少千米？
解答
1小时=60分，1干米=1000米，
3.14×1.5×300×60=4.71×300×60，
=1413×60
=84780（米）；
84780米=84.78干米。
答：这列火车每小时大约行驶84.78千米。
分析：
首先根据圆的周长公式：c=d，求出主动轮转动一周所行的米数，即主动轮的周长.然后根据每分钟转动的周数求出每分钟行的米数，最后用每分钟行的米数乘60即可.
3、从一块长10分米，宽8分米的铝片上剪下半径为1分米的圆片，可以剪多少个？
解答
1×2=2（分米）
（10÷2）×（8÷2）
=5×4
=20（个）
答：可以剪20个.
4、如图，用32米长的篱笆围成一个梯形菜园，一边靠墙，这个菜园的面积是多少平方米？
解答
（32-12）×12÷2
=20×12÷2
=240÷2
=120（平方米）
答：这个菜园的面积是120平方米。
1、求阴影部分面积
解答
（1）18×12÷2=216÷2=108
答：阴影部分的面积是108.
（2）AE=6-4=2，
因为根据
所以阴影部分的面积是：4×4÷2=16÷2=8
答：阴影部分的面积是8.
分析
（1）根据图示，可得阴影部分三角形的底是18，高是12，然后根据三角形的面积=底×高
÷2，求出阴影部分的面积即可；
（2）首先用AD的长度减去DE的长度，求出AE的长度，然后根据，求出AB的长度，最后根据三角形的面积公式，用DE的长度乘以AB的长度，再除以2，求出阴影部分的面积即可.
2求组合图形面积
1、ABCD是等腰梯形，AD=24厘米，BC=36厘米，AE=20厘米，三角形CDE的面积是多少？
答案解析
解：从D点作DF垂直CE于点F.
BE的长度：（36-24）÷2=6（厘米）
EC的长度：36-6=30（厘米）
所以三角形CDE的面积为：30×20÷2=300（平方厘米）
答：三角形CDE的面积是300平方厘米.
故答案为：300平方厘米
解析
从D点作DF垂直CE于点F.由题意可知：ABCD是等腰梯形，则AE=DF、AD=EF、BE=
CF，再据已知条件，即可求出BE的值，进而求出EC的值，再利用三角形的面积公式即可求
2、梯形ABCD的面积是45平0米，梯形的高是6米，三角形AOD的面积是5平方米，阴影部分的面积是多少？
答案解析
梯形上底：
36×2÷6-8=72÷6-8=12-8=4（m）
三角形AFB的高：
4×2÷4=8÷4=2（m）
阴影部分的面积：
8×（6-2）÷2=8×4÷2=32÷2=16（平方米）
答：阴影部分的面积是16平方米。
3、长方形ABCD中，长是10厘米，宽是8厘米，三角形ADF的面积比三角形BEF的面积大20平方厘米，阴影部分的面积是多少？
解析
本题考查梯形和三角形面积计算；本题中可以通过求解阴影三角形的高来算出阴影部分的面积，阴影三角形的高可以通过算出梯形的高减去三角形AFB的高来求解，要求三角形AFB的高，就需要知道底边的长，底边长就是梯形上底的长，所以根据梯形面积计算公式可以算出梯形上底的长为面积×2÷高一下底，即36×2÷6-8=4（m）
那么根据三角形面积计算公式计算出三角形AFB的高为面积×2÷底，即4×2÷4=2（m），所以阴影三角形的高为6-2=4（m），阴影部分的面积根据三角形面积计算公式底×高÷2为8×4÷2=16（平方米）。
【资料介绍】该资料结合平面几何的知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
模块一
知识讲解
模块二
方法归纳
模块三
课堂精讲
A
B
C
D
模块四
讲练结合题
模块五
课后自测练习
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知识要点梳理
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课程重点 灵活运用基本公式求不规则图形面积
课程难点 如何分割和组合图形。
教学方法建议 （讲解，比较，练习。）
1.等底等高的两个三角形其面积相等，可利用这个性质对三角形进行等积变形。
2.两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
3.等腰直角三角形的特征：两直角边相等，两锐角相等，都是45°，斜边上的高是斜边长度的一半，面积＝直角边长度 ÷2，面积＝斜边长度 ÷4。
4.当求一个图形的面积缺少条件时，可以用与它相等的另一个图形的面积来代替；或将两个 图形的面积差替换成另两个图形的面积差。这种思考方法叫作等量替换。
1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形；
2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；
3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系；
4．把图形进行割补（叫做割补法）。
SHAPE \* MERGEFORMAT 例1 如图，已知：D , E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE,AD若S=24cm,求△DEC的面积。
【规律方法】因为D是BC的中点，所以S△ABD=S△ADC=12
因为E是AC的中点，所以S△ADE=S△DEC=6
所以S△DEC=6
例2 下图是一个长方形，长为10厘米，宽为5厘米，则阴影部分面积为______平方厘米．
【规律方法】 S阴影=S长÷2=10×5÷2=25
变式训练1
1．图中，每个小正方形的面积均为1个面积单位，共9个面积单位，则图中阴影部分面积为 个面积单位？
2、图中△AOB的面积为15，线段OB的长度为OD的3倍，则梯形ABCD的面积为______．
3、在下左图中ABCD是梯形，AECD是平行四边形，则阴影部分的面积是______平方厘米（图中单位：厘米）．
例3 如图，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积
是4，那么三角形ABC的面积是______
【规律方法】连结AE（如图5.57），则三角形AEC的面积是16÷2-4=4。因为△ACF与△AEC等高，且面积相等。所以，CF=CE。同理，△ABE的面积是16÷2-3=5，则BD∶BE=3∶5。即BE=DE=AF。而△BCE与△ACF等高，所以△BCE的面积为4×=2.5。从而，△ABC的面积是16-（3＋4+2.5）=6.5。
变式训练2
下图的长方形中，三角形ADE与四边形DEBF和三角形CDF的面积分别相等，求三角形DEF的面积。
例4 如图，ABCD是一个梯形，已知三角形ABD的面积是12平方厘米，三角形AOD的面积比三角形BOC的面积少12平方厘米，那么梯形ABCD的面积是______平方厘米。
【规律方法】可设△AOD的面积为S1。则，△BOC的面积为S1＋12。于是有：S△ABO=S△ABD-S△AOD＝12-S1，S△ABC=S△ABO+S△BOC=（12-S1）＋（S1＋12）=24（平方厘米）。 所以，梯形ABCD的面积是24+12=36（平方厘米）。
例5 梯形ABCD被两条对角线分成了四个三角形S1、S2、S3、S4。已知S1=2厘米2，S2=6厘米2。求梯形ABCD的面积。
【规律方法】三角形S1和S2都是等高三角形，它们的面积比为2∶6=1∶3；则：DO∶OB=1∶
3。△ADB和△ADC是同底等高三角形， 所以，S1=S3=2厘米2。三角形S4和S3也是等高三角形，其底边之比为1∶3，所以S4∶S3=1:3，则S4=cm2. 所以，梯形ABCD的面积为2+6+2+=
例6 如图，是等腰直角三角形，以直角边AB为直径作半圆，与斜边AC交于D，且AB =20厘米，阴影部分的面积是（ ）平方厘米．
解决问题
1、直角三角形ABC的边分别是5厘米，3厘米和4厘米，将它的直角边AC对折到斜边AB上，使AC和AD重合，如图所示，则图中的阴影部分（未重叠部分）的面积是多少平方厘米？
2、某列火车主动轮的直径是1.5米，如果每分钟转300圈，这列火车每小时约行多少千米？
3、从一块长10分米，宽8分米的铝片上剪下半径为1分米的圆片，可以剪多少个？
4、如图，用32米长的篱笆围成一个梯形菜园，一边靠墙，这个菜园的面积是多少平方米？
1、求阴影部分面积
2求组合图形面积
1、ABCD是等腰梯形，AD=24厘米，BC=36厘米，AE=20厘米，三角形CDE的面积是多少？
2、梯形ABCD的面积是45平0米，梯形的高是6米，三角形AOD的面积是5平方米，阴影部分的面积是多少？
3、长方形ABCD中，长是10厘米，宽是8厘米，三角形ADF的面积比三角形BEF的面积大20平方厘米，阴影部分的面积是多少？
【资料介绍】该资料结合平面几何的知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
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