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【专题讲义】人教版六年级数学下册
第15讲 立体几何专题精讲（学生版）
知识要点梳理
课程目标 1、比较回顾掌握四种例题图形的特征，理解并掌握相关公式的计算2、能灵活运用立体图形的相关公式来解决实际的问题3、通过公式推导，熟悉立体图形之间的共同点，提高发现并运用规律的能力
课程重点 灵活运用基本公式求表面积和体积
课程难点 灵活运用基本公式求表面积和体积
教学方法建议 （讲解，比较，练习。）
四种立体图形的特征
长方体和正方体都是由平面围成的图形，圆柱和圆锥是由平面和曲面一起围成的图形
长方体与正方体
相同点：都有_____个顶点，_____条棱，_____个面，长方体相对的面完全相同，相对的棱长度相等，正方体6个面完全相同，12条棱长度相等。 不同点：面的形状，面的面积，棱长与棱长和，长方体与正方体的关系
圆柱与圆锥
圆柱底面是两个完全相同的圆，侧面是曲面，侧面展开图是长方形或正方形，
有无数条高；圆锥底面是一个圆，侧面是曲面，侧面展开图是扇形，有一条高（顶点到底面圆心）
长方体与正方体的棱长和、表面积与体积
欧拉公式：点＋面－棱＝2，棱长和，表面积，侧面积，体积，容积
圆柱与圆锥的表面积（侧面积）与体积（容积）等底等高的圆柱和圆锥体积比为3:1
立体图形表面积与体积的计算公式总结
总结：长方体、正方体和圆柱的体积都可以表示为V＝S h
例1 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？
【规律方法】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10106600．
例2、在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？
【规律方法】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：5050615000(平方厘米)．
变式训练1
1．右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米 （图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）
例3一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？
【规律方法】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数2增加的面数．原正方体表面积：1166(平方米)，一共锯了(21)(31)(41)6次，
6112618(平方米)．
例4如图，用高都是米，底面半径分别为米、米和米的个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(取)
【规律方法】从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为(立方米)，侧面积为(立方米)，所以该物体的表面积是(立方米)
变式训练2
有一个圆柱体的零件，高厘米，底面直径是厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是厘米，孔深厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？
例5如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．()
【规律方法】圆的直径为：(米)，而油桶的高为2个直径长，即为：，故体积为立方米．
变式训练3
有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？()
例6一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(取)
【规律方法】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水构成高为厘米的圆柱，空气部分构成高为厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶子的容积为：(立方厘米)．
变式训练4
一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？
1.一个酒瓶里面深，底面内直径是，瓶里酒深．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深．酒瓶的容积是多少？
2.如下图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？
3.个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大，则这个圆柱体木棒的侧面积是________．(取)
4.如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水 升．
1.一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少平方厘米．求这个
圆柱体的表面积是多少？
2.如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相
同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？
3.一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？()
4.如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米
【资料介绍】该资料结合立体几何的知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
模块一
知识讲解
模块二
方法归纳
模块三
课堂精讲
模块四
讲练结合题
模块五
课后自测练习
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【专题讲义】人教版六年级数学下册
第15讲 立体几何专题精讲（解析版）
知识要点梳理
课程目标 1、比较回顾掌握四种例题图形的特征，理解并掌握相关公式的计算2、能灵活运用立体图形的相关公式来解决实际的问题3、通过公式推导，熟悉立体图形之间的共同点，提高发现并运用规律的能力
课程重点 灵活运用基本公式求表面积和体积
课程难点 灵活运用基本公式求表面积和体积
教学方法建议 （讲解，比较，练习。）
四种立体图形的特征
长方体和正方体都是由平面围成的图形，圆柱和圆锥是由平面和曲面一起围成的图形
长方体与正方体
相同点：都有_____个顶点，_____条棱，_____个面，长方体相对的面完全相同，相对的棱长度相等，正方体6个面完全相同，12条棱长度相等。 不同点：面的形状，面的面积，棱长与棱长和，长方体与正方体的关系
圆柱与圆锥
圆柱底面是两个完全相同的圆，侧面是曲面，侧面展开图是长方形或正方形，
有无数条高；圆锥底面是一个圆，侧面是曲面，侧面展开图是扇形，有一条高（顶点到底面圆心）
长方体与正方体的棱长和、表面积与体积
欧拉公式：点＋面－棱＝2，棱长和，表面积，侧面积，体积，容积
圆柱与圆锥的表面积（侧面积）与体积（容积）等底等高的圆柱和圆锥体积比为3:1
立体图形表面积与体积的计算公式总结
总结：长方体、正方体和圆柱的体积都可以表示为V＝S h
例1 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？
【规律方法】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10106600．
答案解析
解：10×10×6
=100×6
=600
答：新的几何体的表面积是600.
故答案为：600·
解析
从一个正方体中挖掉一个长方体，其表面积不变，根据求正方体表面积的方法即可求出这个几何体的表面积.
例2、在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？
【规律方法】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：5050615000(平方厘米)．
答案解析
15000平方厘米
解：5050615000(平方厘米)．
答：剩下的立体图形的表面积是15000平方厘米。
故答案为：15000平方厘米。
·解析
将原正方体的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体后，减少的表面积正好被新增加的表面积所补充，因此新的立体图形的表面积就等于原正方体的表面积，根据正方体的表面积公式即可求解.
解答此题的关键是明确新立体图形的表面积就等于原正方体的表面积.
变式训练1
1．右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米 （图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）
答案解析
4×4×6+1×1×6×4=96+24=120（平方厘米）
答：它的表面积是120平方厘米。
解析
本题考查立体图形的表面积；正方体表面积=6×棱长×棱长正方形面积=边长×边长
经分析，挖出小正方体后，大正方体的表面积增加了加上6个边长为1厘米的小正方体的4个侧面的面积，用大正方体的表面积加上这几个小正方体的侧面积，由此列式：
4×4×6+1×1×6×4，计算可得它的表面积是120平方厘米。
例3一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？
【规律方法】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数2增加的面数．原正方体表面积：1166(平方米)，一共锯了(21)(31)(41)6次，
6112618(平方米)．
答案解析
解
立方体每个面的面积=1×1=1m2立方体表面积=6×1×1=6m2下面我们来看，锯的时候分别增加了多少个面沿着水平方向将它锯成2片，这样会多出1×2=2个底面
每片又锯成3长条.这样会多出2×2=4个正面
每条又锯成4小块.这样会多出3×2=6个
侧面所以这24块长方体的表面积之和=立方体的表面积+2个底面面积+4个正面面积+
6个侧面面积
=6+2+4+6
=18m2
解析
设想出所有的可能性，进行一—列举即可。
例4如图，用高都是米，底面半径分别为米、米和米的个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(取)
【规律方法】从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为(立方米)，侧面积为(立方米)，所以该物体的表面积是(立方米)
答案解析
3.14×1.52×2+2×3.14×1.5×1
=3.14×4.5+3.14×3
=23.55（m2）
2×3.14×1
=6.28×1
=6.28（m2）
2×3.14×0.5
=3.14×1
=3.14（m2）
23.55+6.28+3.14
=29.83+3.14
=32.97（m2）
答：这个物体的表面积是32.97m2。
解析
本题考查圆柱的表面积计算；观察可以发现，三个向上的底面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。圆柱底面积=3.14×半径2，圆柱的侧面积=2×3.14×半径×高，这三个物体高都是1m，底面半径分别为1.5m，1m和0.5m，代入即可求得这个物体的表面积是
3.14×1.52×2+2×3.14×1.5×1=23.55（m2），
2×3.14×1=6.28（m2）
2×3.14×0.5=3.14（m2）
23.55+6.28+3.14=32.97（m2）
变式训练2
有一个圆柱体的零件，高厘米，底面直径是厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是厘米，孔深厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？
答案解析
大圆柱的侧面积：3.14×6×10=188.4（平方厘米）
大圆柱的上、下底面积：
3.14×（6÷2）2×2
=3.14×9×2
=56.52（平方厘米）
圆柱形圆孔的侧面积：3.14×2×3=18.84（平方厘米）
188.4+56.52+18.84=263.76（平方厘米）
答：一共要涂263.76平方厘米。
解析
本题考查圆柱体的表面积的实际应用；圆柱的侧面积=2xrxh圆柱的表面积=2××r2+2xrxh：根据题意，零件的上底面虽然是一个环形，但是圆柱形圆孔的底面是需要涂防锈漆的，把上端圆孔的底面向上平移后零件的上底就按一个整圆来计算；
因此涂防锈漆的面积就是大圆柱体的表面积加上圆柱形圆孔的侧面积；由题意得，圆柱形的零件高10厘米，底面直径是6厘米，所以大圆柱的侧面积为3.14×6×10=188.4平方厘米；
大圆柱的上、下底面积为3.14×（6÷2）2×2=56.52平方厘米；
圆孔的直径是厘米，孔深厘米，所以圆柱形圆孔的侧面积：3.14×2×3=18.84平方厘米；因此，一共要涂188.4+56.52+18.84=263.76平方厘米。
例5如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．()
【规律方法】圆的直径为：(米)，而油桶的高为2个直径长，即为：，故体积为立方米．
答案解析
解：设圆柱的半径为r，则：
2×3.14×r+2×r=15.56
6.28r+2r=16.56
8.28r=16.56
r=2
高为4r，即：4×2=8（分米）
3.14×22×8=3.14×4×8=12.56×8=100.48≈100（立方分米）
答：这个油桶的容积为100立方分米。
解析
本题考查圆柱体积的计算；由图意可知，长方形的宽等于圆的半径的4倍，油桶的高等于长方形的宽，设圆柱的半径为r，且：
圆的直径十底面周长=铁皮的长，
底面周长=2r，直径=2r，即列方程：
2×3.14×r+2×r=15.56，
解得r=2，
高为：4×2=8（分米），
根据
圆柱的体积=底面积×高，所以列出油桶的容积算式3.14×22×（4×2），求出油桶的体积约为100立方分米。
变式训练3
有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？()
解答
2×π×10=62.8（厘米）
10×4+62.8=102.8（厘米）
10×2=20（厘米）;
102.8×20=2056（平方厘米）
答：原来长方形铁皮的面积是2056平方厘米。
解析
圆柱体底面圆的周长=2×π×底面半径，先算出圆柱体底面圆的周长为：2×π×10=62.8（厘米），再算出原来的长方形的长为10×4+62.8=102.8（厘米），原来的长方形的宽为10×2=20（厘米），长方形的面积一长*宽，因此长方形铁皮的面积为：102.8×20=2056（平方厘米）。
例6一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(取)
【规律方法】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水构成高为厘米的圆柱，空气部分构成高为厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶子的容积为：(立方厘米)．
解答
3.14×2×（6+10-8）=3.14×4×8=100(立方厘米）；
答：瓶子的容积是100.48立方厘米，
故答案为：100.48.
分析：
由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水构成高为6厘米的圆柱，空气部分构成高为10-8厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，再根据圆柱的体积公式，即可求出瓶子的容积.
变式训练4
一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？
解答
26.4（6+2）
=26.4÷8
=3.3（平方厘米）
3.3×6=19.8m（立方厘米）
19.8立方厘米=0.0198升
答：瓶内酒精的体积是19.8立方厘米，合0.0198π升
分析：
根据题意知道液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的（6÷2）倍，那么液体体积是酒精瓶容积的。，由此即可求出瓶内酒精的体积.
1.一个酒瓶里面深，底面内直径是，瓶里酒深．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深．酒瓶的容积是多少？
解答
30-25=5（厘米）15+5=20（厘米）
3.14×（10÷2）2×20=78.5×2=1570（毫升）
答：酒瓶容积是1570毫升。
分析：
由于瓶中空气的体积不变，所以图一中空气的体积就等于图二中高为30-25=5厘米，底面直径是10厘米的空气柱的体积，因此油瓶容积就相当于高为15+5=20厘米，底面直径是10厘米的圆柱的体积，求容积根据“底面积x高”列式为：3.14x（10÷2）2×20，据此解答.
2.如下图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？
解答
1×1×4+2×2×4+4×4×5=4+16+80=100（平方米）
答：模型涂刷油漆的面积是100平方米。
分析：
刷油漆的面积：小正方体5个面的面积+（中正方体5个面的面积-小正方体1个面的面积）+（大正方体5个面的面积-中正方体1个面的面积），也就是小正方体的4个面的面积与中正方体的4个面的面积和大正方体的5个面的面积和，将数据代入即可求解.
3.个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大，则这个圆柱体木棒的侧面积是________．(取)
解答
因为半圆弧的长度是直径长度的。所以，整个圆柱的侧面积等于两个切面面积之和的1.57倍，2008×1.57=3152.56（cm2），
答：这个圆柱体木棒的侧面积是3152.56cm2
故答案为：3152.56.
分析：
因为半圆弧的长度是直径长度的，切开之后多了两个切面，每个切面是以圆柱形的底面直径和高为长和宽的长方形，所以每个半圆柱的曲侧面的面积也是切面的面积的倍，那么整个圆柱的侧面积等于两个切面面积之和的1.57倍，由此解答即可.
4.如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水 升．
解答
圆锥的体积=r2h；
水的体积
=
所以圆锥的体积：水的体积=8：1；
则这个容器最多装水：50×8=400（升）；
答：这个容器最多能装水400升。
分析：
先依据圆锥的体积计算公式，分别表示出水的体积与圆锥的体积，进而求出它们的体积比；再利用已知的水的体积求出这个容器的容积.
1.一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少平方厘米．求这个
圆柱体的表面积是多少？
解答
圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短厘米，表面积就减少平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是平方厘米，
所以底面周长是(厘米)，
侧面积是：(平方厘米)，
两个底面积是：(平方厘米)．
所以表面积为：(平方厘米)．
答：这个圆柱体的表面积是182.8736平方厘米
2.如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相
同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？
解答
大立方体的表面积是202062400平方厘米．
在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；
在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；
在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．
所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，
可以计算出每个面的面积：(24542400)69平方厘米，
说明小正方体的棱长是3厘米．
答：挖掉的小立方体的边长是3厘米
3.一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？()
解答
设圆锥的高为厘米．由于两次放置瓶中空气部分的体积不变，有：
，解得，
所以容器的容积为：(立方厘米)．
答：这个容器的容积是1620立方厘米。
4.如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米
解答
我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．
现在一共切了(31)(41)(51)9刀，
而原正方体一个面的面积1l1(平方米)，所以表面积增加了92118(平方米)．
原来正方体的表面积为616(平方米)
所以现在的这些小长方体的表积之和为618=24(平方米)．
答：这60块长方体表面积的和是24平方米.
【资料介绍】该资料结合立体几何的知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
模块一
知识讲解
模块二
方法归纳
模块三
课堂精讲
模块四
讲练结合题
模块五
课后自测练习
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