专题12
找规律
找规律
题型一：循环规律型
（2018?广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动．其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，，第次移动到．则△的面积是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意知，
，
，
，
则△的面积是，
故选：．
巩固练习
如图，在平面直角坐标系中，点．．．．．的坐标依次为，，，，，，按此规律排列，则点的坐标是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：，，，，，，，
，
所以点的坐标为，
则点的坐标是．
故选：．
如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线作正方形，，依此规律，则点的坐标是
A．
B．
C．，
D．
【解答】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，
从到经过了3次变化，
，．
点所在的正方形的边长为，点位置在第四象限．
点的坐标是；可得出：点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，点坐标为，
，，，
故选：．
如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点的坐标是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：分析图象可以发现，点的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．
，
当第504循环结束时，点位置在，在此基础之上运动三次到，
故选：．
如图，的两边，分别在轴、轴上，点与原点重合，点，点，，将沿轴向右翻滚，依次得到△，△，△，，则△的直角顶点的坐标为
A．
B．，
C．，
D．
【解答】解：．[
△的形状如同△
△的直角顶点的纵坐标为0
而
△的直角顶点的横坐标为
故选：．
如图，在单位为1的方格纸上，△，△，△，，都是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形，若△的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：观察图形可以看出；；每4个为一组，
在轴负半轴上，纵坐标为0，
、、的横坐标分别为0，，，
的横坐标为．
的坐标为．
故选：．
如图，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，过原点O作OA1垂直于直线AB交AB于点A1，过点A1作A1B1
垂直于x轴交x轴于点B1，过点B1作B1A2垂直于直线AB交AB于点A2，过点A2作A2B2
垂直于x轴交x轴于点B2…，依此规律作下去，则点A5的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：过A1、A2、A3、…分别作A1C⊥BO，A2D⊥A1B1，A3E⊥A2B2，…垂足分别为C、D、E、…，
∵一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y轴交于A（﹣4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∵OA1⊥AB，
∴∠A1OB＝∠OBA＝∠OAB＝45°，
∴OC＝A1C＝BCOB＝2，
可得四边形A1B1OC是正方形，
同理可得四边形A2B2B1D，四边形A3B3B2E也是正方形，
∴点A1（﹣2，2），即，A1（﹣21，2），
可求A2D＝A2B2A1B1＝1，
∴点A2（﹣2﹣1，1），即，A2（﹣21﹣20，20），
同理A3（﹣2﹣1，），即，A3（﹣21﹣20﹣2﹣1，2﹣1），
……
A5（﹣2﹣1，），即，A5（﹣21﹣20﹣2﹣1﹣2﹣2﹣2﹣3，2﹣3），也就是（，），
故选：D．
题型二：图形规律型
（2019?广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图拼出来的图形的总长度是
（结果用含，代数式表示）．
【解答】解：由图可得，拼出来的图形的总长度．
故答案为：．
巩固练习
将大小相同的正三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有6个小三角形和1个正六边形；第②个图案中有10个小三角形和2个正六边形；第③个图案中有14个小三角形和3个正六边形；；按此规律排列下去，已知一个小三角形的面积为，一个正六边形的面积为，则第⑧个图案中所有的小三角形和正六边形的面积之和为 ．（结果用含、的代数式表示）
【解答】解：第①个图案中有6个小三角形和1个正六边形；
第②个图案中有个小三角形和2个正六边形；
第③个图案中有个小三角形和3个正六边形；
，
第个图案中有个小三角形和个正六边形；
第⑧个图案中有个小三角形和8个正六边形，
一个小三角形的面积为，一个正六边形的面积为，
第⑧个图案中所有的小三角形和正六边形的面积之和为：；
故答案为：．
如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍），，得到△，再分别倍长，，得到△．按此规律，倍长次后得到的△的面积为 ．
【解答】解：连接、、，根据等底等高的三角形面积相等，
△、△、△、△、、△、的面积都相等，
所以，，
同理，，
依此类推，，
的面积为1，
．
故答案为：．
如图，在菱形中，边长为1，，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去，，则四边形的面积是
．
【解答】解：连接、．则，
菱形中，边长为1，，
，
顺次连结菱形各边中点，可得四边形，
四边形是矩形，
矩形的面积，
菱形的面积矩形的面积，，
则四边形的面积，
故答案为：．
如图，，点在边上，，过点作交于点，以为边在外侧作等边三角形，再过点作，分别交、于点、，再以为边在的外侧作等边三角形按此规律进行下去，则第3个等边三角形的周长为
，第个等边三角形的周长为
．（用含的代数式表示）
【解答】解：，，
，
，
，
．
同理：，，
三角形的周长为．
，，，，，
，
第个等边三角形的周长为．
故答案为：；．
如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作交于点，交于点，得到四边形，它的面积记做，取边中点，作交于点，交于点，得到四边形，它的面积记做．照此规律作下去，则
．
【解答】解：是边长为1的等边三角形，
的高，
、是的中位线，
，
；
同理可得，；
；
．
故答案为：．
题型三：函数规律型
（2018?广东）如图，已知等边△，顶点在双曲线上，点的坐标为．过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第二个等边△；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边△；以此类推，，则点的坐标为
．
【解答】解：如图，作轴于点，设，则，
，．
点在双曲线上，
，
解得，或（舍去），
，
点的坐标为，；
作轴于点，设，则，
，，．
点在双曲线上，
，
解得，或（舍去），
，
点的坐标为，；
同理可得点的坐标为，即；
以此类推，
点的坐标为，，
点的坐标为，．
故答案为，．
巩固练习
如图，△，△，△，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，，，，均在反比例函数的图象上．则的值为
A．
B．6
C．
D．
【解答】解：过、、分别作轴的垂线，垂足分别为、、
则，
三角形是等腰直角三角形，
，
，
，
其斜边的中点在反比例函数，，即，
，
，
设，则
此时，代入得：，
解得：，即：，
同理：，
，
，
故选：．
如图所示，等腰三角形△，△，△，，△为正整数）的一直角边在轴上，双曲线经过所有三角形的斜边中点，，，，，已知斜边，则点的坐标为
．
【解答】解：如图，过、、分别作轴的垂线，垂足分别为、、
则，
等腰直角三角形△，斜边，
，
点是斜边的中点，
，
，
设，则，此时，代入得：，
解得：，
，，
同理：，，，
，，
点的坐标为，，
故答案为：，．
如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；；按此作法继续下去，则点的坐标为
A．
B．
C．，
D．，
【解答】解：直线的解析式为，
与轴的夹角为，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得，
纵坐标为，
，．
故选：．
如图，在平面直角坐标系中，点，，都在轴上，点，，都在直线上，△，△，△，△，△都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是
A．，
B．，
C．，
D．，
【解答】解：，
点的坐标为，
△是等腰直角三角形，
，
，
△是等腰直角三角形，
，，
△为等腰直角三角形，
，
，
同理可得，，，，，，，
点的坐标是，．
故选：．
在平面直角坐标系中，
点，，，和，，，分别在直线和轴上
．△，△，△，都是等腰直角三角形，
如果，，，那么点的纵坐标是
A
．
B
．
C
．
D
．
【解答】解：
把，，代入得，解得，
所以一次函数解析式为，
作轴于，轴于，轴于，如图，
则，，设，
△，△，△，都是等腰直角三角形，
，，，
的坐标为，
把代入得，解得，
即点的纵坐标为，
同理可得点的纵坐标为，
所以点的纵坐标为．
故选：．专题12
找规律
找规律
题型一：循环规律型
（2018?广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动．其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，，第次移动到．则△的面积是
A．
B．
C．
D．
巩固练习
如图，在平面直角坐标系中，点．．．．．的坐标依次为，，，，，，按此规律排列，则点的坐标是
A．
B．
C．
D．
如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线作正方形，，依此规律，则点的坐标是
A．
B．
C．，
D．
如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点的坐标是
A．
B．
C．
D．
如图，的两边，分别在轴、轴上，点与原点重合，点，点，，将沿轴向右翻滚，依次得到△，△，△，，则△的直角顶点的坐标为
A．
B．，
C．，
D．
如图，在单位为1的方格纸上，△，△，△，，都是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形，若△的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为
A．
B．
C．
D．
如图，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，过原点O作OA1垂直于直线AB交AB于点A1，过点A1作A1B1
垂直于x轴交x轴于点B1，过点B1作B1A2垂直于直线AB交AB于点A2，过点A2作A2B2
垂直于x轴交x轴于点B2…，依此规律作下去，则点A5的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：图形规律型
（2019?广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图拼出来的图形的总长度是
（结果用含，代数式表示）．
巩固练习
将大小相同的正三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有6个小三角形和1个正六边形；第②个图案中有10个小三角形和2个正六边形；第③个图案中有14个小三角形和3个正六边形；；按此规律排列下去，已知一个小三角形的面积为，一个正六边形的面积为，则第⑧个图案中所有的小三角形和正六边形的面积之和为 ．（结果用含、的代数式表示）
如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍），，得到△，再分别倍长，，得到△．按此规律，倍长次后得到的△的面积为 ．
如图，在菱形中，边长为1，，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去，，则四边形的面积是
．
如图，，点在边上，，过点作交于点，以为边在外侧作等边三角形，再过点作，分别交、于点、，再以为边在的外侧作等边三角形按此规律进行下去，则第3个等边三角形的周长为
，第个等边三角形的周长为
．（用含的代数式表示）
如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作交于点，交于点，得到四边形，它的面积记做，取边中点，作交于点，交于点，得到四边形，它的面积记做．照此规律作下去，则
．
题型三：函数规律型
（2018?广东）如图，已知等边△，顶点在双曲线上，点的坐标为．过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第二个等边△；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边△；以此类推，，则点的坐标为
．
巩固练习
如图，△，△，△，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，，，，均在反比例函数的图象上．则的值为
A．
B．6
C．
D．
如图所示，等腰三角形△，△，△，，△为正整数）的一直角边在轴上，双曲线经过所有三角形的斜边中点，，，，，已知斜边，则点的坐标为
．
如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；；按此作法继续下去，则点的坐标为
A．
B．
C．，
D．，
如图，在平面直角坐标系中，点，，都在轴上，点，，都在直线上，△，△，△，△，△都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是
A．，
B．，
C．，
D．，
在平面直角坐标系中，
点，，，和，，，分别在直线和轴上
．△，△，△，都是等腰直角三角形，
如果，，，那么点的纵坐标是
A
．
B
．
C
．
D
．
