专题15
函数综合
图像判断问题
（2019?深圳）已知的图象如图，则和的图象为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据二次函数的图象，
可得，，，
过一、二、四象限，
双曲线在二、四象限，
是正确的．
故选：．
巩固练习
已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx与反比例函数y在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴ab＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
对于一次函数y＝cx，c＜0，图象经过第二、四象限；0，图象与y轴的交点在x轴上方；
对于反比例函数y，ab＜0，图象分布在第二、四象限
故选：A．
反比例函数y的图象如图所示，则抛物线y＝kx2﹣2x+k2的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵双曲线y的两个分支在第二、四象限内，即k＜0，
∴抛物线开口向下，
对称轴x0，对称轴在y轴的左边．
故选：A．
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝ax+bc与反比例函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，
∴a＞0，
∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，
∴a、b异号，即b＜0
∵与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴一次函数y＝ax+bc的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数的图象分布在第二、四象限，
故选：C．
二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y与正比例函数y＝cx在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由二次函数的图象得a＜0，c＞0，
所以反比例函数y分布在第二、四象限，正比例函数y＝cx经过第一、三象限，
所以C选项正确．
故选：C．
二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．则函数y＝bx+b2﹣4ac和y的图象应为下图的（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵二次函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x，
∴b＝﹣a＜0，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，
∴﹣b﹣b+c＞0，
解得c﹣2b＞0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象经过第一三象限．
故选：B．[来源:学科网]
若函数y与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知k＜0，
根据二次函数的图象确知a＞0，b＜0，
∴函数y＝kx﹣b的大致图象经过一、二、四象限，
故选：B．
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣2b（a≠0）与反比例函数y（c≠0）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）\
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的左侧，函数图象交于y轴的负半轴
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴反比例函数y的图象必在二、四象限；
一次函数y＝ax﹣2b一定经过一三四象限，
∵对称轴为直线x＝﹣1，且与x轴的交点为（﹣3，0），
∴另一个交点为（1，0），
∴1，
∴b＝2a，
把（﹣3，0）代入y＝ax2+2ax+c得，9a﹣6a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
方程ax﹣2b整理得ax2﹣2bx﹣c＝0，即ax2﹣4a+3a＝0，
∴x2﹣4x+3＝0，
∵（﹣4）2﹣4×3＝4＞0，
∴一次函数y＝ax﹣2b（a≠0）与反比例函数y（c≠0）的图象有两个交点，
故选：D．
一次函数y＝ax+b和反比例函数y在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象开口向下，对称轴x0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：B．
（2017?广州），函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：当时，函数的图象位于一、三象限，的开口向下，交轴的正半轴，没有符合的选项，
当时，函数的图象位于二、四象限，的开口向上，交轴的负半轴，选项符合；
故选：．
（2018?广州）一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的大致图象是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：图、直线经过第一、二、三象限，
、，
时，，即直线与轴的交点为，
由图、的直线和轴的交点知：，
即，
所以
，
此时双曲线在第一、三象限．
故选项不成立，选项正确．
图、直线经过第二、一、四象限，
，，
此时，双曲线位于第二、四象限，
故选项、均不成立；
故选：．
巩固练习
函数y＝kx+k与y（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：①当k＞0时，y＝kx+k过一、二、三象限；y过一、三象限；
②当k＜0时，y＝kx+k过二、三、四象象限；y过二、四象限．
观察图形可知只有A符合①．
故选：A．
函数y和一次函数y＝﹣ax+1（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵函数y和一次函数y＝﹣ax+1（a≠0），
∴当a＞0时，函数y在第一、三象限，一次函数y＝﹣ax+1经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项C正确；
当a＜0时，函数y在第二、四象限，一次函数y＝﹣ax+1经过一、二、三象限，故选项D错误；
故选：C．
函数与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
故选：B．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
函数y＝ax2﹣a与y（a≠0）在同一直坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：A、二次y＝ax2﹣a的图象开口方向向上，与y轴交于负半轴，则a＞0，则反比例函数y的图象应该经过第二、四象限，故本选项正确．
B、二次y＝ax2﹣a的图象开口方向向上，与y轴交于负半轴，则a＞0，则反比例函数y的图象应该经过第二、四象限，故本选项错误．
C、二次y＝ax2﹣a的图象开口方向向下，则a＜与y轴交于负半轴，则﹣a＜0，即a＞0，相矛盾，故本选项错误．
D、二次y＝ax2﹣a的图象开口方向向下，与y轴交于正半轴，则a＜0，则反比例函数y的图象应该经过第一、三象限，故本选项错误．
故选：A．
下图中反比例函数y与一次函数y＝kx﹣k在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：（1）当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k
经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：
（2）当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：
故选：B．
函数y＝ax2+1与函数y（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：a＞0时，y＝ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1），
y位于第一、三象限，没有选项图象符合，
a＜0时，y＝ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1），
y位于第二、四象限，D选项图象符合．
故选：D．
二次函数多结论
（2018?深圳）二次函数的图象如图所示，下列结论正确是
A．
B．
C．
D．有两个不相等的实数根
【解答】解：抛物线开口方向得，由抛物线对称轴为直线，得到，由抛物线与轴的交点位置得到，
、，错误；
、，错误；
、把时代入，结合图象可以得出，即，，，，
，应当时，，，所以正确；
、由图可知，抛物线
与直线有一个交点，而有一个的实数根，错误；
故选：．
巩固练习
抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；其中正确的个数有（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【解答】解：由图象可知a＞0，c＜0，
∵对称轴为x＝﹣1，
∴b＝2a，
∴b＞0，[来源:学
科
网]
∴abc＜0，
∴①错误；[来源:学科网]
∵图象与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0；
∴②正确；
∵图象与x轴的一个交点是（1，0），
∴与x轴的另一个交点是（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∴③正确；
∵（﹣2，y2）到对称轴x＝﹣1的距离是1，（﹣0.5，y1）到对称轴x＝﹣1的距离是0.5，
∴y1＞y2；
∴④正确；
∴②③④正确，
故选：B．
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0），下列四个结论：①如果点（，y1）和（2，y2）都在抛物线上，那么y1＜y2；②b2﹣4ac＞0；③m（am+b）＜a+b（m≠1的实数）；④3；其中正确的有
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，
∴1，
∴b＝﹣2a，
∵经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴y＝ax2+bx+c＝a（x2﹣2x﹣3），
由图象可知，a＜0；
①将点（，y1）和（2，y2）分别代入抛物线解析式可得y1a，y2＝﹣3a，
∴y1＜y2；
②由图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0；
③由图象可知，当x＝1时，函数有最大值1，
∴对任意m，则有am2+bm+c＜a+b+c，
∴m（am+b）＜a+b；
④3；
∴①②③④正确，
故选：A．
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：①c＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③a+b+c＜0；④b2﹣4ac＞0；⑤已知图象上点A（4，y1），B（1，y2），则y1＞y2．其中，正确结论的个数有（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【解答】解：由图象可知，当x＝0时，y＜0，
∴c＜0，
∴①不正确；
∵对称轴为x＝﹣1，0＜x1＜1，
∴﹣3＜x2＜﹣2，
∴②正确；
当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴③不正确；
∵函数与x轴有两个交点，
∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，
∴④正确；
由点A（4，y1），B（1，y2）可知，点A、B在对称轴的右侧，
∴y随x值的增大而增大，
∴y1＞y2，
故⑤正确；
故选：C．
已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（﹣1，0）．下列结论：①a+c＝1；②b2﹣4ac≥0；③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴为x．其中结论正确的个数有（ ）
A．4
个
B．3
个
C．2
个
D．1
个
【解答】解：①∵经过点（1，1）和（﹣1，0），
∴a+b+c＝1，a﹣b+c＝0，
∴b，a+c；
②∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴△＝b2﹣4ac≥0；
③∵a＜0，抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），又经过点（1，1），
∴抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；
④对称轴为x；
∴②③④都正确，
故选：B．
已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．abc＞0
B．a﹣b+c＝2
C．4ac﹣b2＜0
D．当x＞﹣1时，y随x增大而增大
【解答】解：根据抛物线y＝ax2+bx+c的图象可知：
A、a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，
所以A选项错误；
B、当x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
所以B选项错误；
C、因为抛物线与x轴有两个交点，
所以△＞0，即b2﹣4ac＞0，
所以4ac﹣b2＜0，
所以C选项正确；
D、当x＞﹣1时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，
所以D选项错误．
故选：C．
如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（ ）
①对称轴为直线x＝﹣1；
②b2﹣4ac＞0；
③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1；
④不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0
A．4
B．3
C．2
D．1
【解答】解：∵抛物线经过点（﹣3，0），（1，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵x＝﹣3时，y＝0；x＝1时，y＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，所以③正确；
∵点（0，3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，0），
∴当﹣2＜x＜0时，y＞3，
即不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0，所以④正确．
故选：A．
反比例函数
题型一：反比例函数多结论
（2018?深圳）如图，、是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是
①；②；③若，则平分；④若，则
A．①③
B．②③
C．②④
D．③④
【解答】解：点是动点，
与不一定相等，
与不一定全等，故①不正确；
设，
轴，
，
，
轴，
，，
，
，
，故②正确；
如图，过点作于，于，
，，
，
，
，
，
，，
是的平分线，故③正确；
如图1，延长交轴于，延长交轴于，
轴，轴，
四边形是矩形，
点，在双曲线上，
，
，
，
，
，
，
，，
，故④错误；
正确的有②③，
故选：．
巩固练习
如图，矩形的一个顶点与左边原点重合，两邻边OA、CO分别在x、y轴上，另一顶点B位于第一象限，反比例函数y（x＞0，y＞0）的图象经过对角线OB、AC的交点D，与矩形的AB、BC边分别交于点M、N，连接OM、ON，与AC分别交于点E、F，连接MN，与OB交于点G，以下结论中，正确的结论有几个？（ ）
（1）△NCF≌△EAM；（2）MN∥AC；（3）3CF＝2DE；（4）△OFC～△ODE；（5）若S△OMN＝15，则k＝8
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【解答】解：设点B（a，b），
∵四边形ABCO是矩形，
∴AB＝CO＝b，AO＝BC＝a，OD＝BD，AD＝CD，
∴点D（，），
∴k，
∴反比例函数解析式为：y，
当x＝a，则y，
当y＝b，则x，
∴点N（，b），点M（a，）
∴CNa，AMb，
∴，且∠ABC＝∠MBN＝90°，
∴△ABC∽△MBN，
∴∠BNM＝∠BCA
∴MN∥AC，故②正确，
∵BC∥OA，
∴
∴CFAF，
∴CFAC，
∵AB∥OC，
∴，
∴AMAC，
∴AM＝CFAC，且AD＝CDAC，
∴DEAC，
∵3CFAC，2DE＝2ACAC，
∴3CF＝2DE，故③正确，
∵S△OMN＝S矩形ABCO﹣S△CNO﹣S△AMO﹣S△BMN＝15，
∴abba15，
∴ab＝32，
∴k8，
故⑤正确，
∵AB≠BC，
∴∠BAC≠∠BCA，
∵AE＝CF，且∠BAC≠∠ACB，∠MEA＞∠CAO＝∠BCA，
∴△NCF与△EAM不全等，故①错误，
题目缺乏条件证明△OFC～△ODE；
故④错误．
故选：B．
如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为（5，0），对角线OB、AC相交于点D，双曲线y（x＞0）经过AB的中点F，交BC于点E，且OB?AC＝40，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为y（x＞0）；②直线OE的解析式为yx；③tan∠CAO；④AC+OB＝6；其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解答】解：如图，过F作FG⊥x轴于点G，过B作BM⊥x轴于点M，
∵A（5，0），
∴OA＝5，
∴S菱形OABC＝OA?BMAC?OB40＝20，即5BM＝20，
∴BM＝4，
在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝4，由勾股定理可得AM＝3，
∵F为AB中点，
∴FG是△ABM的中位线，
∴FGBM＝2，MGAM
∴F（，2）
∵双曲线过点F，
∴k＝xy2＝7，
∴双曲线解析式为y（x＞0），
故①正确；
②由①知，BM＝4，故设E（x，4）．
将其代入双曲线y（x＞0），得4，
∴x
∴E（，4）．
易得直线OE解析式为：yx，
故②正确；
③过C作CH⊥x轴于点H，
可知四边形CHMB为矩形，
∴HM＝BC＝5，
∵AM＝3，
∴OM＝5﹣3＝2，
∴OH＝5﹣OM＝3，
∴AH＝5+3＝8
且CH＝BM＝4，
∴tan∠CAO，
故③正确；
④在直角△OBM中，OM＝2，BM＝4，由勾股定理得到：OB2．
∵OB?AC＝40，
∴AC4，
∴AC+OB＝6，
故④正确．
综上所述，正确的结论由4个，
故选：D．
已知反比例函数y上有两点A、B，其中AP∥x轴，BP∥y轴，交于点P，连接OA、OB、OP，则下列说法正确的是（ ）
①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若AO＝BO，则OP是∠AOB的平分线；④若S△BOP＝4，则S△ABP＝
A．①③
B．②③
C．②④
D．③④
【解答】解：①∵OA不一定等于OB，
∴△AOP与△BOP不一定全等，故①错误；
设点P坐标为（m，n），
∵AP∥x轴，BP∥y轴，
∴B（m，），A（，n），
∴AP＝|m|，BP＝|n|，
②∴S△BOPBP×m|12﹣mn|，S△AOPAP×n|12﹣mn|，
∴S△BOP＝S△AOP，故②正确；
③如图，过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，
∴S△BOPOB×PM，S△AOPOA×PN
由②知，S△BOP＝S△AOP，
∴OB×PMOA×PN，
∵OA＝OB，
∴PM＝PN，
∵PM⊥OB，PN⊥OA，
∴OP是∠AOB的角平分线，故③正确；
④由②知，S△BOPBP×m|12﹣mn|，
∵S△BOP＝4，
∴|12﹣mn|＝4，
∴mn＝4或mn＝20，
∵AP＝|m|，BP＝|n|，
∴S△ABPAP×BP|m|?|n||12﹣12+mn||mn﹣24|＝9或1.6，故④错误，
即：正确的是②③，
故选：B．
如图，已知函数y1＝﹣x+3的图象与x轴交于点B，与函数的图象交于C、D两点，以OC、OD为邻边作平行四边形OCED．下列结论中：
①OC＝OD；②若k＝2，则当1＜x＜2时，y1＞y2；③若k＝2，则平行四边形OCED的面积为3；④若∠COD＝45°，则k＝其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解答】解：①∵函数y1＝﹣x+3的图象与函数的图象交于C、D两点，
解得和，
∴C（，），D（，），
根据勾股定理求得OD＝OC，故①正确；
②若k＝2，解得或，
∴C（1，2），D（2，1），
根据图象，当1＜x＜2时，y1＞y2，故②正确；
③∵平行四边形OCED中，OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形，
若k＝2，则C（1，2），D（2，1），
∴E（3，3），
根据勾股定理求得CD，OE＝3，
∴四边形OCED的面积为：OE3，故③正确：
④若∠COD＝45°，根据菱形的性质∠COE＝22.5°，
∵E（3，3），
∴OE平分∠AOB，
∴∠AOE＝45°，
∴必须有∠AOC＝∠COE＝22.5°，
由③可知，若k＝2，则CD，
那么PC，
而C（2，1），PC≠CQ，
∴若∠COD＝45°，则k＝2不成立，故④错误；
故选：C．
如图，已知直线yx与双曲线y（k＞0）交于A、B两点，A点的横坐标为3，则下列结论：①k＝6；②A点与B点关于原点O中心对称；③关于x的不等式0的解集为x＜﹣3或0＜x＜3；④若双曲线y（k＞0）上有一点C的纵坐标为6，则△AOC的面积为8，其中正确结论的个数（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【解答】解：①∵直线yx与双曲线y（k＞0）交于A、B两点，A点的横坐标为3，
∴点A的纵坐标为：y3＝2，
∴点A（3，2），
∴k＝3×2＝6，故①正确；
②∵直线yx与双曲线y（k＞0）是中心对称图形，
∴A点与B点关于原点O中心对称，故②正确；
③∵直线yx与双曲线y（k＞0）交于A、B两点，
∴B（﹣3，﹣2），
∴关于x的不等式0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3，故③正确；
④过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点C的纵坐标为6，
∴把y＝6代入y得：x＝1，
∴点C（1，6），
∴S△AOC＝S△OCD+S梯形AEDC﹣S△AOE＝S梯形AEDC（2+6）×（3﹣1）＝8，故④正确；
故选：A．
如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣8，6），则△AOC的面积为（ ）
A．20
B．18
C．16
D．12
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣8，6），O点坐标为（0，0），
∴斜边OA的中点D的坐标为（﹣4，3），
把D（﹣4，3）代入y得k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为y，
∵AB⊥x轴，
∴C点和横坐标为点A相同，都为﹣8，
把x＝﹣8代入y得y，
∴C点坐标为（﹣8，），
∴AC＝6，
∴△AOC的面积AC?OB8＝
故选：B．
题型二：求k值
（2016?深圳）如图，四边形是平行四边形，，，点在轴的负半轴上，将绕点逆时针旋转得到，经过点，点恰好落在轴的正半轴上，若点在反比例函数的图象上，则的值为
．
【解答】解：如图所示：过点作轴于点，
由题意可得：，，，
则，
故，
，
，，
，
．
故答案为：．
（2019?深圳）如图，在中，，，，点在反比例函数图象上，且轴平分，求
．
【解答】解：过作轴，垂足为，
，
，
，
，
，
；
又轴平分，，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
．
故答案为：．
巩固练习
如图，将反比例函数y（k＞0）的图象向左平移2个单位长度后记为图象c，c与y轴相交于点A，点P为x轴上一点，点A关于点P的对称点B在图象c上，以线段AB为边作等边△ABC，顶点C恰好在反比例函数y（x＞0）的图象上，则k＝ ．
【解答】解：如图，连接PC，过C作CH⊥x轴于H．
由题意，A（0，），P（﹣2，0），B（﹣4，），
∴△ABC是等边三角形，PA＝PB，
∴PC⊥AB，∠ACP＝∠BCP＝30°，
∴PCPA，
∴∠APC＝∠AOP＝∠PHC＝90°，
∴∠APO+∠CPH＝90°，∠CPH+∠PCH＝90°，
∴∠APO＝∠PCH，
∴△AOP∽△PHC，
∴，
∴PHk，CH＝2，
∴OHk﹣2，
∴C（k﹣2，﹣2），
∵点C在y上，
∴﹣2（k﹣2）＝﹣k，
解得k＝2，
故答案为2．
如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为20，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线y（x＞0）的图象上，边CD交y轴于点E，若CE＝ED，则k的值为
．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为20，
∴AB＝BC＝CD＝DA2，
∴CE＝DE，
∵∠COE＝∠ADE＝90°，∠CEO＝∠AED，
∴△COE∽ADE，
∴，即，，
∴，
∵CE，
∴OE＝1，OC＝2，
过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
∵CE＝DE，
∴OF＝OC＝2，DF＝2OE＝2，
∴D（2，2）代入反比例函数关系式得，k＝2×2＝4，
如图，已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点B在反比例函数y上，若点A在反比例函数y上，则k的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D．
设点B的坐标是（m，n），则BD＝n，OD＝m，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠DBO+∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴，
∵OB＝2OA，
∴OCn，ACm，
因为点B在反比例函数y上，则mn＝2，
∵点A在反比例函数y的图象上，A点的坐标是（n，m），
∴kn?mmn．
故选：B．
如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
【解答】解：∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，
∴A（0，2），
∴C、A两点纵坐标相同，都为2，
∴可设C（x，2）．
∵D为AC中点．[来源:Zxxk.Com]
∴D（x，2）．
∵∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴12+22+（x﹣1）2+22＝x2，
解得x＝5，
∴D（，2）．
∵反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点D，
故选：B．专题15
函数综合
图像判断问题
（2019?深圳）已知的图象如图，则和的图象为
A．
B．
C．
D．
巩固练习
已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx与反比例函数y在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
反比例函数y的图象如图所示，则抛物线y＝kx2﹣2x+k2的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝ax+bc与反比例函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y与正比例函数y＝cx在同一坐标系内的大致图象是（ ）
[来源:学科网ZXXK]
A．
B．
C．
D．
二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．则函数y＝bx+b2﹣4ac和y的图象应为下图的（ ）
A．
B．
C．
D．
若函数y与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣2b（a≠0）与反比例函数y（c≠0）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）\
A．
B．
C．
D．
一次函数y＝ax+b和反比例函数y在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象可能是（ ）
[来源:学+科+网]
A．
B．
C．
D．
（2017?广州），函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是
A．
B．
C．
D．
（2018?广州）一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的大致图象是
A．
B．
C．
D．
巩固练习
函数y＝kx+k与y（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
函数y和一次函数y＝﹣ax+1（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
函数与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
函数y＝ax2﹣a与y（a≠0）在同一直坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
下图中反比例函数y与一次函数y＝kx﹣k在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．
B．
[来源:学|科|网][来源:学科网ZXXK]
C．
D．
函数y＝ax2+1与函数y（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
二次函数多结论
（2018?深圳）二次函数的图象如图所示，下列结论正确是
A．
B．
C．
D．有两个不相等的实数根
巩固练习
抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；其中正确的个数有（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0），下列四个结论：①如果点（，y1）和（2，y2）都在抛物线上，那么y1＜y2；②b2﹣4ac＞0；③m（am+b）＜a+b（m≠1的实数）；④3；其中正确的有
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：①c＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③a+b+c＜0；④b2﹣4ac＞0；⑤已知图象上点A（4，y1），B（1，y2），则y1＞y2．其中，正确结论的个数有（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（﹣1，0）．下列结论：①a+c＝1；②b2﹣4ac≥0；③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴为x．其中结论正确的个数有（ ）
A．4
个
B．3
个
C．2
个
D．1
个
已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．abc＞0
B．a﹣b+c＝2
C．4ac﹣b2＜0
D．当x＞﹣1时，y随x增大而增大
如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（ ）
①对称轴为直线x＝﹣1；
②b2﹣4ac＞0；
③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1；
④不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0
A．4
B．3
C．2
D．1
反比例函数
题型一：反比例函数多结论
（2018?深圳）如图，、是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是
①；②；③若，则平分；④若，则
[来源:Z&xx&k.Com]
A．①③
B．②③
C．②④
D．③④
巩固练习
如图，矩形的一个顶点与左边原点重合，两邻边OA、CO分别在x、y轴上，另一顶点B位于第一象限，反比例函数y（x＞0，y＞0）的图象经过对角线OB、AC的交点D，与矩形的AB、BC边分别交于点M、N，连接OM、ON，与AC分别交于点E、F，连接MN，与OB交于点G，以下结论中，正确的结论有几个？（ ）
（1）△NCF≌△EAM；（2）MN∥AC；（3）3CF＝2DE；（4）△OFC～△ODE；（5）若S△OMN＝15，则k＝8
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为（5，0），对角线OB、AC相交于点D，双曲线y（x＞0）经过AB的中点F，交BC于点E，且OB?AC＝40，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为y（x＞0）；②直线OE的解析式为yx；③tan∠CAO；④AC+OB＝6；其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
已知反比例函数y上有两点A、B，其中AP∥x轴，BP∥y轴，交于点P，连接OA、OB、OP，则下列说法正确的是（ ）
①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若AO＝BO，则OP是∠AOB的平分线；④若S△BOP＝4，则S△ABP＝
A．①③
B．②③
C．②④
D．③④
如图，已知函数y1＝﹣x+3的图象与x轴交于点B，与函数的图象交于C、D两点，以OC、OD为邻边作平行四边形OCED．下列结论中：
①OC＝OD；②若k＝2，则当1＜x＜2时，y1＞y2；③若k＝2，则平行四边形OCED的面积为3；④若∠COD＝45°，则k＝其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
如图，已知直线yx与双曲线y（k＞0）交于A、B两点，A点的横坐标为3，则下列结论：①k＝6；②A点与B点关于原点O中心对称；③关于x的不等式0的解集为x＜﹣3或0＜x＜3；④若双曲线y（k＞0）上有一点C的纵坐标为6，则△AOC的面积为8，其中正确结论的个数（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣8，6），则△AOC的面积为（ ）
A．20
B．18
C．16
D．12
题型二：求k值
（2016?深圳）如图，四边形是平行四边形，，，点在轴的负半轴上，将绕点逆时针旋转得到，经过点，点恰好落在轴的正半轴上，若点在反比例函数的图象上，则的值为
．
（2019?深圳）如图，在中，，，，点在反比例函数图象上，且轴平分，求
．
巩固练习
如图，将反比例函数y（k＞0）的图象向左平移2个单位长度后记为图象c，c与y轴相交于点A，点P为x轴上一点，点A关于点P的对称点B在图象c上，以线段AB为边作等边△ABC，顶点C恰好在反比例函数y（x＞0）的图象上，则k＝ ．
如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为20，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线y（x＞0）的图象上，边CD交y轴于点E，若CE＝ED，则k的值为 4 ．
如图，已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点B在反比例函数y上，若点A在反比例函数y上，则k的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
