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倾斜角与斜率
班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．直线x＝1的倾斜角和斜率分别是( )
A．45°，1
B．135°，－1
C．90°，不存在
D．180°，不存在
2．给出下列说法：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．若直线l经过点M(2,3)，N(4,3)，则直线l的倾斜角为( )
A．0°
B．30°
C．60°
D．90°
4．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝( )
A．－
B．
C．－1
D．1
5．已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．(－1,0]
B．[0,1]
C．[1,2]
D．[0,2]
6.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B．l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．
7．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.
8．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．
9．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．
10．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
层级二 应试能力达标
1．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0，则AC，AB边所在直线的斜率之和为( )
A．－2
B．0
C．
D．2
2．已知a，b，c是两两不等的实数，则经过点P(b，b＋c)和点Q(a，c＋a)
的直线的倾斜角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．135°
3.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
4．若点P(x，y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是( )
A.
B．
C.
D．
5．若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋的值为________．
6．若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________．
7．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点．求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0.
8．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值．
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倾斜角与斜率
班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．直线x＝1的倾斜角和斜率分别是( )
A．45°，1
B．135°，－1
C．90°，不存在
D．180°，不存在
解析：选C 作出图象，故C正确．
2．给出下列说法：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C 显然①②③正确，④错误．
3．若直线l经过点M(2,3)，N(4,3)，则直线l的倾斜角为( )
A．0°
B．30°
C．60°
D．90°
解析：选A 因为l平行于x轴，所以直线l倾斜角为0°.
4．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝( )
A．－
B．
C．－1
D．1
解析：选C tan
45°＝kAB＝，即＝1，所以y＝－1.
5．已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．(－1,0]
B．[0,1]
C．[1,2]
D．[0,2]
解析：选D 由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D．
6.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B．l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．
解析：因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，
所以l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°.
答案：30°
7．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.
解析：由题意知kAB＝kBC，
则＝，整理得a3－2a2－a＝0，
又a>0，故有a2－2a－1＝0，
解得a＝1＋或a＝1－(舍去)．
答案：1＋
8．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．
解析：设x轴上点P(m,0)或y轴上点P(0，n)．由kPA＝1，得＝＝1，得m＝3，n＝－3.故点P的坐标为(3,0)或(0，－3)．
答案：(3,0)或(0，－3)
9．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．
解：由题意直线AC的斜率存在，即m≠－1.
∴kAC＝，kBC＝.
∴＝3·.
整理得：－m－1＝(m－5)(m＋1)，
即(m＋1)(m－4)＝0，
∴m＝4或m＝－1(舍去)．∴m＝4.
10．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
解：∵直线l与线段AB有公共点，∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间．当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA.
∵kPA＝＝－1，kPB＝＝3，
∴直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
层级二 应试能力达标
1．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0，则AC，AB边所在直线的斜率之和为( )
A．－2
B．0
C．
D．2
解析：选B 由BC边所在直线的斜率是0，知直线BC与x轴平行，所以直线AC，AB的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC，AB的斜率之和为0.故选B．
2．已知a，b，c是两两不等的实数，则经过点P(b，b＋c)和点Q(a，c＋a)
的直线的倾斜角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．135°
解析：选B 显然，经过点P和点Q的直线的斜率存在，由直线的斜率公式，得kPQ＝＝1.又tan
45°＝1，所以直线PQ的倾斜角为45°.故选B．
3.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
解析：选D 直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.
4．若点P(x，y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是( )
A.
B．
C.
D．
解析：选D 根据已知的条件，可知点P(x，y)是点A，B，C围成的△ABC内一动点，那么所求的几何意义是过动点P(x，y)与定点M(1,2)的直线的斜率．由已知，得kAM＝，kBM＝1，kCM＝.利用图象，可得的取值范围是.故选D．
5．若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋的值为________．
解析：∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即＝.
∴2(a＋b)＝ab，∴＝，∴＋＝.
答案：
6．若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________．
解析：kAB＝＝，kAC＝＝＝0.
要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，
即kAB≠kAC，∴≠0.∴k≠1.
答案(－∞，1)∪(1，＋∞)
7．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点．求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0.
证明：∵A，B，C是三个不同的点，
∴x1，x2，x3互不相等．
∵A，B，C三点共线，
∴kAB＝kAC，即＝，
∴＝，
整理，得x＋x1x2＋x＝x＋x1x3＋x，
即(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0.
∵x2≠x3，∴x1＋x2＋x3＝0.
8．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值．
解：如图，可知表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k.
由已知条件，可得A(1,1)，B(－1,5)．
易知kPA≤k≤kPB．
由斜率公式得kPA＝，kPB＝8，
所以≤k≤8.
故的最大值是8，最小值是.
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