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两直线的交点坐标、两点间的距离
班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是( )
A．(4,1)
B．(1,4)
C．
D．
解析：选C 由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是.
2．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6
B．
C．2
D．不能确定
解析：选B 由kAB＝1，得＝1，∴b－a＝1.
∴|AB|＝
＝＝.
3．若非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，且直线＋＝1恒过一定点，则定点坐标为( )
A．
B．(1,3)
C．(－3，－2)
D．
解析：选A ∵非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，
∴＝＋.
∵＋＝1，∴＋·y＝1，
∴6x＋(a＋1)y＝3a，∴(6x＋y)＋a(y－3)＝0.
令y－3＝0，且6x＋y＝0，得x＝－，y＝3，
∴定点坐标为.
4．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．2
B．4
C．5
D．
解析：选D 根据中点坐标公式得到＝1且＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝.
5．已知平面上两点A(x，－x)，B，则|AB|的最小值为( )
A．3
B．
C．2
D．
解析：选D ∵|AB|＝＝≥，当且仅当x＝时等号成立，∴|AB|min＝.
6．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________．
解析：设对称点坐标是(a，b)，则解得a＝－4，b＝－1，即所求对称点坐标是(－4，－1)．
答案：(－4，－1)
7．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为________．
解析：由方程组得
又所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，故k＝，
∴直线方程为y＋＝，
即5x－15y－18＝0.
答案：5x－15y－18＝0
8．在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________．
解析：设P点的坐标是(a，a＋4)，
由题意可知|PM|＝|PN|，
即＝，
解得a＝－，故P点的坐标是.
答案：
9．光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．
解：作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.
故BC所在的直线方程为＝，
即10x－3y＋8＝0.
10．已知在平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(7,1)，D(4,6)，点M是边AB的中点，CM与BD交于点P.
(1)求直线CM的方程；
(2)求点P的坐标．
解：(1)设点C的坐标为(x，y)，
因为在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，
所以线段AB，DC所在直线的斜率相等，线段AD，BC所在直线的斜率相等，
则解得即C(10,6)．
又点M是边AB的中点，
所以M(4,1)，
所以直线CM的方程为＝，即5x－6y－14＝0.
(2)因为B(7,1)，D(4,6)，
所以直线BD的方程为＝，
即5x＋3y－38＝0.
由解得即点P的坐标为.
层级二 应试能力达标
1．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的△ABC的形状是( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰非等边三角形
D．等腰直角三角形
解析：选C 根据两点间的距离公式，得|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝3，所以|AB|＝|AC|≠|BC|，且|AB|2＋|AC|2≠|BC|2，故△ABC是等腰非等边三角形．
2．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为( )
A．(1,3)
B．(－1,3)
C．(3,1)
D．(3，－1)
解析：选D 直线方程可化为(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，此直线过直线2x＋y－5＝0和直线x－y－4＝0的交点．由解得因此所求定点为(3，－1)．故选D．
3．设直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A，P，Q分别为l1，l2上的任意一点，点M为PQ的中点，若|AM|＝|PQ|，则m的值为( )
A．2
B．－2
C．3
D．－3
解析：选A 根据题意画出图形，如图所示．
直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A，
M为PQ的中点，
若|AM|＝|PQ|，
则PA⊥QA，即l1⊥l2，
∴1×m＋(－2)×1＝0，
解得m＝2.
4．已知点A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则P点坐标是( )
A．(1，－1)
B．(－1,1)
C.
D．(－2,2)
解析：选C 点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，直线A′B的方程为y＝x－，与x＋y＝0联立方程组并解得所以点P.
5．设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为________．
解析：法一：联立得
所以两直线的交点坐标为(14,10)．
由题意可得所求直线的斜率为1或－1，
所以所求直线的方程为y－10＝x－14或y－10＝－(x－14)，
即x－y－4＝0或x＋y－24＝0.
法二：设所求的直线方程为(2x－3y＋2)＋λ(3x－4y－2)＝0，整理得(2＋3λ)x－(4λ＋3)y－2λ＋2＝0，由题意，得＝±1，解得λ＝－1或λ＝－，所以所求的直线方程为x－y－4＝0或x＋y－24＝0.
答案：x－y－4＝0或x＋y－24＝0
6．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则k的取值范围是________．
解析：法一：由题意知直线l过定点P(0，－)，
直线2x＋3y－6＝0与x，y轴的交点分别为A(3,0)，B(0,2)，
如图所示，要使两直线的交点在第一象限，
则直线l在直线AP与BP之间，
而kAP＝＝，∴k>.
法二：解方程组得
由题意知x＝>0且y＝>0.
由>0可得3k＋2>0，
∴6k－2>0，解得k>.
答案：
7．若点P(m,0)到点A(－3,2)及B(2,8)的距离之和最小，求实数m的值．
解：点A(－3,2)关于x轴的对称点为A′(－3，－2)．
因为点P(m,0)在x轴上，由对称性可知|PA|＝|PA′|，
所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|，
所以当A′，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|最小．
因为kA′B＝＝2，
所以直线A′B的方程为y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4.
令y＝0，得x＝－2，
即A′，P，B三点共线时，点P的坐标为(－2,0)，
所以所求实数m的值为－2.
8．已知两直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4(0
解：两直线l1：a(x－2)＝2(y－2)，l2：2(x－2)＝－a2·(y－2)，都过点(2,2)，如图：
设两直线l1，l2的交点为C，且它们的斜率分别为k1和k2，
则k1＝∈(0,1)，k2＝－∈.
∵直线l1与y轴的交点A的坐标为(0,2－a)，直线l2与x轴的交点B的坐标为(2＋a2,0)．
∴SOACB＝S△OAC＋S△OCB＝(2－a)·2＋·(2＋a2)·2＝a2－a＋4＝2＋.
∴当a＝时，四边形OACB的面积最小，其值为.
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班级______________
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层级一 学业水平达标
1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是( )
A．(4,1)
B．(1,4)
C．
D．
2．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6
B．
C．2
D．不能确定
3．若非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，且直线＋＝1恒过一定点，则定点坐标为( )
A．
B．(1,3)
C．(－3，－2)
D．
4．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．2
B．4
C．5
D．
5．已知平面上两点A(x，－x)，B，则|AB|的最小值为( )
A．3
B．
C．2
D．
6．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________．
7．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为________．
8．在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________．
9．光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．
10．已知在平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(7,1)，D(4,6)，点M是边AB的中点，CM与BD交于点P.
(1)求直线CM的方程；
(2)求点P的坐标．
层级二 应试能力达标
1．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的△ABC的形状是( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰非等边三角形
D．等腰直角三角形
2．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为( )
A．(1,3)
B．(－1,3)
C．(3,1)
D．(3，－1)
3．设直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A，P，Q分别为l1，l2上的任意一点，点M为PQ的中点，若|AM|＝|PQ|，则m的值为( )
A．2
B．－2
C．3
D．－3
4．已知点A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则P点坐标是( )
A．(1，－1)
B．(－1,1)
C.
D．(－2,2)
5．设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为________．
6．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则k的取值范围是________．
7．若点P(m,0)到点A(－3,2)及B(2,8)的距离之和最小，求实数m的值．
8．已知两直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4(021世纪教育网
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