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点到直线的距离、两平行线间的距离
班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是( )
A．3
B．
C．1
D．
解析：选B 点P(1，－1)到直线l的距离d＝＝，选B．
2．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝( )
A．0
B．
C．3
D．0或
解析：选D 点M到直线l的距离d＝＝，所以＝3，解得m＝0或m＝，选D．
3．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选C 设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝
＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5.
4．已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为( )
A．(1,2)或(2，－1)
B．(3，－4)
C．(2，－1)
D．(1,2)
解析：选A 设点P的坐标为(a,5－3a)，由题意，得＝，解得a＝1或2，∴点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．
5．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1，l2间的距离是( )
A.
B．
C．4
D．2
解析：选B ∵l1∥l2，∴解得a＝－1.∴l1的方程为x－y＋6＝0，l2的方程为－3x＋3y－2＝0，即x－y＋＝0，∴l1，l2间的距离是＝.
6．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．
解析：直线8x－6y＋5＝0化简为4x－3y＋＝0，则由两平行线间的距离公式得＝.
答案：
7．倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为________．
解析：因为直线斜率为tan
60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得＝5?|b|＝10.所以b＝±10，所以所求直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.
答案：x－y＋10＝0或
x－y－10＝0
8．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0间的距离相等，则直线l的方程是________．
解析：由题意可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，于是有＝，即|c－3|＝|c＋1|.∴c＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
9．求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程．
解：法一：∵点A(1,1)与B(－3,1)到y轴的距离不相等，∴直线l的斜率存在，设为k.
又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.
由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l的距离相等，
得＝，解得k＝0或k＝1.
∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.
法二：当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等．
∵AB的中点是(－1,1)，又直线l过点P(0,2)，
∴直线l的方程是x－y＋2＝0；
当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等．
∵直线AB的斜率为0，
∴直线l的斜率为0，∴直线l的方程为y＝2.
综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.
10．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．
解：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
∴|AD|＝，|BC|＝B．
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝(b>1)，
由梯形的面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3.
又b>1，∴b＝3.
从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.
层级二 应试能力达标
1．已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4
B．
C.
D．
解析：选D ∵3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，∴m＝2.直线6x＋2y＋1＝0可以化为3x＋y＋＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝，选D．
2．已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( )
A．(0，＋∞)
B．[0,5]
C．(0,5]
D．[0，]
解析：选C 当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝＝5，∴0＜d≤5.
3．已知A(－2，－4)，B(1,5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( )
A．－3
B．3
C．－3或3
D．1或3
解析：选C 由题意得＝，解得a＝－3或3.
4．已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为( )
A．2
B．
C.
D．2
解析：选B 将(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ变形，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，所以l是经过两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q，由得交点Q(1,1)，所以直线l恒过定点Q(1,1)，于是点P到直线l的距离d≤|PQ|＝，即点P到直线l的距离的最大值为.
5．已知5x＋12y＝60，则
的最小值是________．
解析：
表示直线5x＋12y＝60上的点到原点的距离，在所有这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x＋12y＝60的垂线段的长最小，故最小值为d＝＝.
答案：
6．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有________条．
解析：由题可知所求直线显然不与y轴平行，
∴可设直线为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.
∴d1＝＝1，d2＝＝2，两式联立，解得b1＝3，b2＝，
∴k1＝0，k2＝－.故所求直线共有两条．
答案：2
7．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
解：由题意知，若截距为0，
可设直线l的方程为y＝kx.
由题意知＝3，解得k＝.
若截距不为0，设所求直线l的方程为x＋y－a＝0.
由题意知＝3，解得a＝1或a＝13.
故所求直线l的方程为y＝x，y＝x，x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.
8．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1,0)，B(0,1)．试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围．
解：由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间的距离公式，设Q(－2，－2)，
又P(a，b)，则|PQ|＝
，
于是问题转化为求|PQ|2的最大值、最小值．
如图所示，当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值，
即＝.
当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0.
则Q点到直线AB的距离d＝＝＝，
∴≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13.
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班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是( )
A．3
B．
C．1
D．
2．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝( )
A．0
B．
C．3
D．0或
3．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于( )
A．3
B．4
C．5
D．6
4．已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为( )
A．(1,2)或(2，－1)
B．(3，－4)
C．(2，－1)
D．(1,2)
5．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1，l2间的距离是( )
A.
B．
C．4
D．2
6．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．
7．倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为________．
8．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0间的距离相等，则直线l的方程是________．
9．求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程．
10．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．
层级二 应试能力达标
1．已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4
B．
C.
D．
2．已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( )
A．(0，＋∞)
B．[0,5]
C．(0,5]
D．[0，]
3．已知A(－2，－4)，B(1,5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( )
A．－3
B．3
C．－3或3
D．1或3
4．已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为( )
A．2
B．
C.
D．2
5．已知5x＋12y＝60，则
的最小值是________．
6．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有________条．
7．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
8．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1,0)，B(0,1)．试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围．
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