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阶段质量检测（一）
空间几何体
(时间120分钟 满分150分)
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是( )
A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥
B．棱锥的高线可能在几何体之外
C．仅有一组对面平行的六面体是棱台
D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
解析：选B 由五个平面围成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故A不正确；根据棱锥的定义，棱锥的高线可能在几何体之外，故B正确；仅有一组对面平行的六面体可能是四棱台，也可能是四棱柱，故C不正确；因为棱锥的定义中要求这些三角形必须有公共的顶点，故D不正确．故选B．
2．棱锥的侧面和底面可以都是( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
解析：选A 三棱锥的侧面和底面均是三角形．故选A.
3.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．三棱锥
B．三棱柱
C．四棱锥
D．四棱柱
解析：选B 由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B．
4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )
A．a，b
B．a，c
C．c，b
D．b，d
解析：选A 正视图和侧视图完全相同时，牟合方盖相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，而俯视图为一个正方形，且有两条实线的对角线．故选A.
5.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )
解析：选B 先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图．由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧视图为图②.
6．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )
A．30
B．60
C．30＋135
D．135
解析：选A 由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为
＝，则这个直棱柱的侧面积为4××5＝30.
7．已知圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
A．120°
B．150°
C．180°
D．240°
解析：选C 设圆锥的底面半径为R，母线长为L.由题意，πR2＋πRL＝3πR2，∴L＝2R，圆锥的底面圆周长l＝2πR.展开成扇形后，设扇形圆心角为n，则扇形的弧长l＝＝，∴2πR＝，∴n＝180°，即展开后扇形的圆心角为180°.
8.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′.已知点O′是斜边B′C′
的中点，且A′O′＝1，则△ABC的边BC上的高为( )
A．1
B．2
C.
D．2
解析：选D ∵△ABC的直观图是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C′＝90°，A′O′＝1，∴A′C′＝.根据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半，∴△ABC的高为AC＝2A′C′＝2.故选D．
9．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )
A.
B．4π
C．2π
D．
解析：选D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝＝1，所以V球＝×13＝.故选D．
10．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )
A.
cm3
B．
cm3
C.
cm3
D．7
cm3
解析：选A 根据三视图可知几何体是棱长为2
cm的正方体截去三棱锥A?BCD，其中B，D分别为所在棱的中点，则BC＝CD＝1
cm，且AC⊥平面BCD，所以几何体的体积V＝2×2×2－××1×1×2＝(cm3)，故选A.
11.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为
V1＝××1×1×1＝，
剩余部分的体积V2＝13－＝.
所以＝＝，故选D．
12．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.
B．
C.
D．2π
解析：选C 过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r1，r2，且满足2l＝r1＋r2，其侧面积为8π，则l＝________.
解析：S圆台侧＝π(r1＋r2)l＝2πl2＝8π，所以l＝2.
答案：2
14．三棱锥P?ABC中，D，E分别为PB，PC的中点．记三棱锥D?ABE的体积为V1，P?ABC的体积为V2，则＝________.
解析：如图，设点C到平面PAB的距离为h，
则点E到平面PAD的距离为h.
∵S△DAB＝S△PAB，
∴＝＝＝.
答案：
15.我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等．如图所示，扇形的半径为3，圆心角为90°，若扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为________．
解析：扇形AOB绕直线OB旋转一周，阴影部分旋转后所得几何体的体积为半个球的体积减去一个圆锥的体积．
因为球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为3.
所以所求体积为××π×33－×π×32×3＝18π－9π＝9π.
答案：9π
16．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O?ABC的体积的最大值为，则球O的表面积为________．
解析：如图所示，当点C位于垂直于平面AOB的直径的端点时，三棱锥O?ABC的体积最大．设球O的半径为R，∴VO?ABC＝VC?AOB＝××R2×R＝＝，解得R＝3，则球O的表面积S＝4πR2＝36π.
答案：36π
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某五面体的三视图如图所示，其正视图、俯视图均是等腰直角三角形，侧视图是直角梯形，部分长度已标出，试画出该几何体，并求出此几何体各棱的长．
解：借助正方体(棱长为1)及题目所给的三视图，该几何体可看作是从正方体中截出来的(如图①所示)，然后将所得图形从正方体中分离出来，即可得到该几何体(如图②所示)，易知该几何体为四棱锥A?BMC1C.
结合给定的三视图的长度关系，可知在四棱锥A?BMC1C中，AB＝1，BC＝1，AC＝，BM＝，AM＝，CC1＝1，AC1＝，MC1＝.
18.(本小题满分12分)如图所示，在多面体FE?ABCD中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积V.
解：如图所示，分别过A，B作EF的垂线A
G，BH，垂足分别为G，H.连接DG，CH，
容易求得EG＝HF＝.
所以AG＝GD＝BH＝HC＝，
S△AGD＝S△BHC＝××1＝，
V＝VE?ADG＋VF?BHC＋VAGD?BHC＝×2＋×1＝.
19．(本小题满分12分)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)．
(1)该几何体是由哪些简单几何体组成的；
(2)求该几何体的表面积和体积．
解：(1)从三视图中可以看出，该几何体是组合体，上面的几何体是圆锥，下面的几何体是长方体，且圆锥底面圆和长方体上底的一组对边相切．
(2)易得圆锥的母线长为＝，
则表面积S＝S圆锥侧＋S长方体－S圆锥底＝π×1×＋2(2×3＋1×3＋1×2)－π×12＝(－1)π＋22，
体积V＝2×3×1＋×π×12×3＝6＋π，
故所求几何体的表面积是(－1)π＋22(m2)，体积是6＋π(m3)．
20.(本小题满分12分)如图所示，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是A1A，CC1的中点，求四棱锥C1?B1EDF的体积．
解：连接EF，B1D1.
设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2.
∵正方体ABCD
?A1B1C1D1的棱长为a，E，F分
别是A1A，CC1的中点，
∴h1＋h2＝B1D1＝a.
又S△C1EF＝C1F·EF＝××a＝a2，
∴VC1?B1EDF＝VB1?C1EF＋VD?C1EF＝·S△C1EF·(h1＋h2)＝×a2×a＝a3.
21．(本小题满分12分)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
解：由题意知圆锥的轴截面为正三角形，如图为圆锥的轴截面．
根据题意知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3.
而将球取出后，设容器内水的深度为h，
则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是
V′＝π·2·h＝πh3.
由V＝V′，得h＝r，
即容器中水的深度为r.
22．(本小题满分12分)已知圆柱OO1的底面半径为2，高为4.
(1)求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长；
(2)若平行于轴OO1的截面ABCD将底面圆周截去四分之一，求截面面积；
(3)在(2)的条件下，设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ，较大部分为Ⅱ，求VⅠ∶VⅡ(体积之比)．
解：(1)将侧面沿某条母线剪开铺平得到一个矩形，邻边长分别是4π和4，则从下底面出发环绕侧面一周到达上底面的最短路径长即为此矩形的对角线长4.
(2)连接OA，OB，∵截面ABCD将底面圆周截去，∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝2，∴AB＝2，
而截面ABCD是矩形且AD＝4，
∴S截面ABCD＝2×4＝8.
(3)依题知V圆柱＝Sh＝16π，
三棱柱AOB?DO1C的体积是8，
则VⅠ＋8＝V圆柱＝4π，∴VⅠ＝4π－8，
而VⅡ＝V圆柱－VⅠ＝12π＋8，
于是VⅠ∶VⅡ＝.
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(时间120分钟 满分150分)
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一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是( )
A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥
B．棱锥的高线可能在几何体之外
C．仅有一组对面平行的六面体是棱台
D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
2．棱锥的侧面和底面可以都是( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
3.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．三棱锥
B．三棱柱
C．四棱锥
D．四棱柱
4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )
A．a，b
B．a，c
C．c，b
D．b，d
5.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )
6．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )
A．30
B．60
C．30＋135
D．135
7．已知圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
A．120°
B．150°
C．180°
D．240°
8.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′.已知点O′是斜边B′C′
的中点，且A′O′＝1，则△ABC的边BC上的高为( )
A．1
B．2
C.
D．2
9．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )
A.
B．4π
C．2π
D．
10．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )
A.
cm3
B．
cm3
C.
cm3
D．7
cm3
11.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A.
B．
C.
D．
12．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.
B．
C.
D．2π
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r1，r2，且满足2l＝r1＋r2，其侧面积为8π，则l＝________.
14．三棱锥P?ABC中，D，E分别为PB，PC的中点．记三棱锥D?ABE的体积为V1，P?ABC的体积为V2，则＝________.
15.我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等．如图所示，扇形的半径为3，圆心角为90°，若扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为________．
16．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O?ABC的体积的最大值为，则球O的表面积为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某五面体的三视图如图所示，其正视图、俯视图均是等腰直角三角形，侧视图是直角梯形，部分长度已标出，试画出该几何体，并求出此几何体各棱的长．
18.(本小题满分12分)如图所示，在多面体FE?ABCD中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积V.
19．(本小题满分12分)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)．
(1)该几何体是由哪些简单几何体组成的；
(2)求该几何体的表面积和体积．
20.(本小题满分12分)如图所示，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是A1A，CC1的中点，求四棱锥C1?B1EDF的体积．
21．(本小题满分12分)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
22．(本小题满分12分)已知圆柱OO1的底面半径为2，高为4.
(1)求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长；
(2)若平行于轴OO1的截面ABCD将底面圆周截去四分之一，求截面面积；
(3)在(2)的条件下，设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ，较大部分为Ⅱ，求VⅠ∶VⅡ(体积之比)．
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