第六章 实数导学案（5课时学案+课后练习+单元测试 无答案）

课题：6.1.1算术平方根
【【课前测一测】】
1、(-2,1)点关于x轴对称的点坐标为__________；关于y轴对称的点的坐标为__________.
2、已知点A（a，-2）和B（3，b），当满足条件
时，点A和点B关于y轴对称.
3、坐标平面内，点A和B关于x轴对称，若点A到x轴的距离是3cm，则点B的纵坐标是
．
【【学习目标】】
了解算术平方根的概念，懂得使用根号表示非负数的算术平方根
掌握算术平方根的双重非负性
了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根
教学重点：算术平方根的概念，会用平方运算求某些非负数的算术平方根
教学难点：算术平方根的意义
【活动一】动脑思考
动手实践
1、试一试：你能根据等式：=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来.
2、想一想：表示什么意思？你能求出它的值吗？
3、怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
【活动二】归纳总结
得出结论
1、算术平方根：一般地，如果一个
的平方等于a，即=a，那么这个
叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为
，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是
.也就是在等式=a
(x≥0)中，规定x
=.
2、算术平方根的双重非负性：因为在=a
(x≥0)中，所以有a
0，且x
=
0.
（填≥或≤）
3、怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
方法1：课本中的方法，略；
方法2：如图
问题：根据面积和边长的关系，可得这个大正方形的边长应该是
【活动三】知识应用
方法实践
1、（1）当m
时，有意义；
（2）若，则=
；
（3）对于实数，若有，则
【【课堂练习】】
1、非负数的算术平方根表示为
，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____
2、
3、的算术平方根是_____,
的算术平方根____
4、若是49的算术平方根，则=（
）
A、7
B、－7
C、49
D、－49
5、若，则的算术平方根是（
）
A、
49
B.、53
C、7
D、
6、的算术平方根是（
）
A、9
B、－9
C、3
D、－3
7、若，则的值是
【【自我总结】】
1、利用导学案认真阅读课本后，我的收获是：
我的疑惑是：
2、学完这节课后，我的收获是：
我还有疑惑是：
【【布置作业】】
6.1.1算术平方根
练习
【基础巩固】
1、9的算术平方根是（
）
A．3
B.－3
C.
3
D.
81
2、计算下列各式的值:
的算术平方根是
,
的算术平方根是
,
=
，=
，=
.
3、非负数的算术平方根表示为
，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____
4、已知，求
的值.
【能力提高】
5、的算术平方根是（
）
A.2
B.±2
C.±
D.
6、若和都有意义，则的值是（
）
A.
B.
C.
D.
7、因为所以，所以的整数部分是1，的小数部分是，
根据上面的方法，我们可以得：的整数部分是
，的小数部分是
.
8、大于小于的整数是
9、因为所以，依据前面的方法，比较可得（填“>”或“<”）：
11，
0.4
，
.
10、阅读下列材料：设…①，则…②，则由②－①得：，即.所以….根据上述提供的方法把下列两个数化成分数.=
，=
；
11、计算：
（1）
(2)
(3)
(4)
12、已知a、b满足，解关于的方程
【拓展延伸】
13、（1）填空：=
，=
，=
，=
，=
，=
……
由此，我们可得：对于任意数，=
依据这个结论，我们可以完成下列填空：
①
若，则的取值范围是
；
②
若，则的取值范围是
.
（2）
填空：=
，=
，=
，=
，=
，=
……
由此，我们可得：对于任意非负数，=
依据这个结论，我们可以完成下列填空：
①
=
，=
，=
，=
②
若，则的取值范围是
；
③
若，则的取值范围是
.
课题：6.1.2平方根
【【课前测一测】】
1、如果非负数a满足式子，则a=
2、
，
，
3、下列各式中没意义的是（
）
A、
B、
C、
D、
【【学习目标】】
1、理解平方根的概念，能用平方运算求某些非负数的平方根
2、明确平方根和算术平方根之间的联系和区别
3、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系
教学重点：平方根的概念和平方根的表示
教学难点：平方根和算术平方根的联系与区别
【【新知导学及疑难解答】】
完成下列问题：
【活动一】动脑思考
动手实践
1、如果一个数的平方等于100，这个数是多少？
2、如果，x可以是，除了外，还有没有别的数的平方也等于5呢？
3、4的平方根用符号怎么表示？
4、负数有平方根吗？0有几个平方根？正数有几个平方根？非负数的平方根与算术平方根的联系和区别是什么？
【活动二】归纳总结
得出结论
1、平方根概念：如果
的平方等于a，那么这个数就叫做a的
．即：如果，那么
叫做a的平方根或二次方根．求一个数的
的运算，叫做开平方．
例如：的平方等于9，9的平方根是，所以平方与
互为逆运算．
2、平方根性质：
有两个平方根，即正数进行开平方运算有
个结果，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的
.
没有平方根，即负数不能进行开平方运算.
符号：正数a的算术平方根可用表示；正数a的负的平方根可用-表示．0的平方根是0.非负数a的平方根用符号表示为
.
3、平方根和算术平方根两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有
个，而它的算术平方根只有
个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的
，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根，0的平方根和算术平方根均为0.
【活动三】知识应用
方法实践
1、求下列各数的平方根：
（1）121
（2）0.49
（3）
2、
学习课本74页例5，求下列各式的值.
（1）
（2）－
（3）
（4）
（5）
【【课堂练习】】
1、如果非负数a的平方根等于a，则a=
2、81的平方根是
，25的平方根是
的平方根是
，的平方根是
，
的平方根是
，的平方根是
3、=_______,
-=_______.±=______,=________.
4、求满足下列各式的值:
?
(1)
(2)
(3)?
【【自我总结】】
1、利用导学案认真阅读课本后，我的收获是：
我的疑惑是：
2、学完这节课后，我的收获是：
我还有疑惑是：
【【布置作业】】
6.1.2
平方根
练习
【基础巩固】
1、9的平方根是（
）
A．3
B.－3
C.
3
D.
81
2、计算下列各式的值:
的平方根是
,
的平方根是
,
±=
，±=
，
±=
.
3、求下列各数的平方根和算术平方根：
（1）
1
(2)0.0004
(3)
256
(4)
4、计算：
（1）
(2)
(3)
(4)
【能力提高】
5、下列等式正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
6、的平方根是（
）
A.2
B.±2
C.±
D.
7、如果一个数的平方根等于它的算术平方根，则这个数是（
）
A.1
B.－1
C.±1
D.0
8、的平方根是（
）.
A.－0.7
B.±0.7
C.0.7
D.0.49
9、若，，则a＋b＝﹙
﹚.
A．－8
B．±8
C．±2
D．±8或±2
10、下列说法错误的是（
）
A、的平方根是-4
B、0的平方根是0
C、
是2的平方根
D、-3是的平方根
11、的平方根是
；3的平方根是
；的平方根是
12、如果一个正数的平方根是和，则这个数为
13、求的值：
（1）
（2）
（3）
14、已知x、y互为倒数，c、d互为相反数，a的绝对值为5，z的平方根是±5，求：4（c+d）+6xy+
的值.
【拓展延伸】
15、已知x、y都是实数，且，求的平方根.
课题：6.2立方根
【【课前测一测】】
1、的平方根是
，25的算术平方根是
；
2、的平方根是
，如果的平方根是±3，则a=
3、如果一个数的平方根是和，则这个数为
【【学习目标】】
1、了解立方根的概念，能够用符号表示一个数的立方根.
2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根
3、掌握立方根的惟一性，分清互为相反数的立方根的联系与区别
教学重点：立方根的概念和求法
教学难点：互为相反数的立方根联系与区别
【【新知导学及疑难解答】】
认真阅读课本，思考并完成下列问题：
【活动一】动脑思考
动手实践
1、类比平方根的概念你能说说什么是立方根吗？
2、怎么用符号表示8的立方根？
平方根与立方根的符号有什么区别？
3、思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？
4、思考：求立方运算时，当底数互为相反数时，其立方值有什么关系？互为相反数的立方根有什么关系？
【活动二】归纳总结
得出结论
1、立方根的概念：如果一个数的
等于a，这个数叫做a的
（也叫做三次方根），即如果，那么x叫做a的立方根.
注意：一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示算术平方根
2、立方根的性质：一个正数有
个
（填正或负）的立方根；0有一个立方根，是它本身；一个负数有
个
（填正或负）的立方根；任何数都有唯一的立方根
3、利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即
4、通过计算、们可以得到如下的结论：，
【活动三】知识应用
方法实践
1、用立方根的义求值：
=
，=
，=
，=
；……
（1）由上面的计算，你能发现什么规律？
（2）已知≈4.642，利用上面发现的规律填空（结果保留4位有效数字）：
≈
，≈
，≈
【【课堂练习】】
1、a
的立方根是
，-a
的立方根是
；若x3=a
,
则x=
=
；=
；-=
；=
2、2的立方等于
，8的立方根是
；
=
，-27的立方根是
3、0.064的立方根是
；
的立方根是-4；
的立方根是
4、求下列各数的立方根：
(1)
27；　　
(2)－38；　　
(3)1；　　
(4)
0
5、求下列各式的值：
(1)
　（2）
(3)
（4）　　
【【自我总结】】
1、利用导学案认真阅读课本后，我的收获是：
我的疑惑是：
2、学完这节课后，我的收获是：
我还有疑惑是：
【【布置作业】】
6.2
立方根
练习
【基础巩固】
1、27的立方根是（
）
A．3
B.－3
C.
3
D.
9
2、计算下列各式的值:
的立方根是
,
的立方根是
,
-125的立方根是=
，=
，
=
.
3、计算：
（1）
(2)
(3)
-
(4)
（5）
【能力提高】
4、下列说法正确的是（
）
A.
的立方根是4
B.
的平方根是
C.
2的立方根是
D.
0.1的立方根是0.001
5、下列式子中，正确的是（
）
A．
B.
C.
D.
6、如果一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是（
）
A.1
B.－1
C.±1
D.0和1
7、已知，，则（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
9、的立方根是
；-的立方根是
，4的立方根是
10、当m
时，有意义，当m
时，有意义
11、若，则x＋y=
，=
12、求的值：
（1）3
=
-81
（2）
（3）
13、小明买了一箱苹果，装苹果的纸箱的尺寸为50×40×30（长度单位为厘米），现小明要将这箱苹果分装在两个大小一样的正方体纸箱内，问这两个正方体纸箱的棱长为多少厘米？
【拓展延伸】
14、如果A=为的算数平方根，B=为的立方根，求A+B的平方根.
课题：6.3.1实数(1)
【【课前测一测】】
1、如果一个数的平方根和它的立方根相等，那么这个数是
2、下面说法正确的是（　　）
A、一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B、负数没有立方根
C、如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D、一个数的立方根与被开方数同号
3、将边长为2cm和3cm的两个正方体制成一个大正方体铝块，这个大正方体的边长为
cm
【【学习目标】】
1、了解无理数和实数的概念，能对实数按要求进行分类
2、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数
3、能根据无理数在数轴上的位置估算无理数的大小
教学重点：理解实数的概念
教学难点：对无理数的理解
【【新知导学及疑难解答】】
认真阅读课本思考并完成下列问题：
【活动一】动脑思考
动手实践
1、我们已经知道整数和分数统称为有理数，我们把有理数（如）写成小数时，可以写成哪些形式的小数？
2、什么是无理数？常见的无理数有哪些？
3、什么是实数？实数可以怎样分类？
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点有什么关系？
【活动二】归纳总结
得出结论
1、任何一个有理数都可以写成_______小数或
小数的形式.反过来，任何______小数或____________小数都是有理数
2、很多数的_____根和_____根都是
小数，
____________小数又叫无理数，
也是无理数.常见的无理数有：
（1）圆周率及一些含有的数
例如：、、
（2）开不尽方的数及一些含有开不尽方的数
例如：、、
注意：带根号的数不一定是无理数（如）
（3）有一定的规律，但不循环的无限小数
例如：0.1010010001…〔两个1之间依次多1个0〕
-168.3232232223…〔两个3之间依次多1个2〕
0.12345678910111213
…〔小数部分由相继的正整数组成〕
3、
和
统称为实数
4、（1）每一个无理数都可以用数轴上的__________表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示__________，有些表示__________，当数从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都表示一个实数
(2)与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数______
【【课堂练习】】
1、在数轴上离原点距离是的点表示的数是
2、下列说法错误的是(
)
A、无理数没有平方根；
B、一个正数有两个平方根；
C、0的平方根是0；
D、互为相反数的两个数的立方根也互为相反数
3、-、-、-、-四个数中,最大的数是(
)
A、-
B、-
C、-
D、-
4、若无理数a满足：1，
5、大于-而小于的所有整数的和为
6、把下列各数分别填在相应的集合中:
-,,-,0,-,
.,,3.14
有理数集合
无理数集合
【【自我总结】】
1、利用导学案认真阅读课本后，我的收获是：
我的疑惑是：
2、学完这节课后，我的收获是：
我还有疑惑是：
【【布置作业】】
6.3.1实数(1)
练习
【基础巩固】
1、下列各数中，不是无理数的是（　　
）
A.
B.
0.5
C.
2　
D.
0.151151115…〔两个5之间依次多1个1〕
2、下列说法正确的是（
）
A.
有理数只是有限小数
B.
无理数是无限不循环小数
C.
无限小数是无理数
D.
带根号的数都是无理数
3、和数轴上的点一
一对应的是（　
　）
A　整数　　　B　有理数　
　C　无理数　　　D　实数
4、将下列各数填入相应的集合内：
－7，，0.32,
，，0，
0.1010001000001…〔两个1之间依次多2个0〕
①有理数集合｛
…
｝
②无理数集合｛
…
｝
③负实数集合｛
…
｝
【能力提高】
5、比较大小(填“＞”或“＜”)：-______-，
2.3
6、在数轴上表示的点离原点的距离是____________
7、大于小于的整数是
8、若，都是无理数，且，则，的值可以是
.（填一组）
9、有如下命题：①无理数就是开方开不尽的数；②一个实数的立方根不是正数就是负数；
③无理数包括正无理数，0，负无理数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么
这个数是1或0.其中错误的个数是（　　　）
　A．1
B．2
C．3
D．4
10、已知如图数轴上表示2，的对应点分别为C,B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（
）
A．-
B．2
-
C．4
-
D．-
2
11、观察：，即；
，即.
猜想=
12、将下列各数填在相应的集合里：
，
，
3.14，
－0.45，
，
3.030030003…，
，
0，
，
－，
，
有理数集合：{
…}；
无理数集合：{
…}；
正实数集合：{
…}；
整数集合：
{
…}.
13、已知长方体的棱长分别为x,2,x，体积为14，根据长方体体积公式，写出关于x的方程，并指出x是有理数还是无理数.
【拓展延
14、已知实数,在数轴上的位置如图所示，
化简：.
课题：6.3.2实数(2)
【【课前测一测】】
1、在下列各数中是无理数的有(
)
-0.333…,
,
,
,
3,
3.1415,
2.010101…(相邻两个1之间有1个0)
76.0123456…(小数部分由相继的正整数组成).
A、3个
B、4个
C、5个
D、6个
2、下列说法正确的是(
)
A、有理数只是有限小数
B、无理数是无限小数
C、无限小数是无理数
D、
是分数
3、下列说法正确的是(
)
A、无限小数都是无理数
B、带根号的数都是无理数
C、开方开不尽的数是无理数
D、是无理数,
故无理数也可能是有限小数
【【学习目标】】
1、了解实数范围内相反数和绝对值的意义
2、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算
3、学会比较两个实数的大小
【【新知导学及疑难解答】】
认真阅读课本思考并完成下列问题：
【活动一】动脑思考
动手实践
1、什么是绝对值？什么是相反数？在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义一样吗？
有理数混合运算的顺序是什么？有理数满足哪些运算律？有理数的运算法则及运算性质在实数范围内是否适用？
3、利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大．这个结论在实数范围内也成立吗？我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗？
【活动二】归纳总结
得出结论
在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样.
实数a的相反数是
，一个正实数的绝对值是
，即当a
0时，
一个负实数的绝对值是
，即当a
0时，
.0的绝对值是
2、加法交换律：a十b=
加法结合律：(a＋b)＋c＝
乘法交换律：ab=
乘法结合律：(ab)c＝
乘法分配律：a(b＋c)＝
有理数混合运算的顺序：先
，再
，后
,有括号先算括号里面的,同级运算从
.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且
可以进行开平方运算，
可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
3、两个正实数的绝对值较大的值
；两个负实数的绝对值大的值
；正数大于零，负数小于零，正数大于负数.
【【课堂练习】】
1、的相反数是_______,-的相反数是________.
2、|2-|
=________,|3-|=________.
3、设a是最小的自然数,b是最大负整数,c是绝对值最小的实数,则a+b+c=______.
4、比较大小:3______,
7_____6,-______-3,____()3
5、计算下列各式的值：
（1）
（2）
【【自我总结】】
1、利用导学案认真阅读课本后，我的收获是：
我的疑惑是：
2、学完这节课后，我的收获是：
我还有疑惑是：
【【布置作业】】
6.3.2实数(2)
练习
【基础巩固】
1、的相反数是
,
倒数是
,
-的绝对值是
.
2、-（-1）=
，=
3、有下列说法：
（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；
（3）无理数包括正无理数、0、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示.
其中正确的说法的个数是（
）.
A．1
B．2
C．3
D．4
4、化简
①+3—5
②(-)
③||
+
||-
||
【能力提高】
5、下列运算中，正确的是（
）
A.
2+3=5
B.（+）·=·=10
C.
D.
∣∣=
6、若规定误差小于1，那么的估算值为（
）
A．3
B．7
C．8
D．7或8
7、下列各组数中互为相反数的是（
）
A．－2
与
B．－2
与
C．－2
与
D．2与
8、已知：=5，=7，，且，则的值为（
）
A．2或12
B．2或－12
C．－2或12
D．－2或－12
9、绝对值小于的所有整数有
10、已知5+的小数部分为a，5－的小数部分为b，则a+b=
；
a－b=
.
11、如图，两点的坐标分别是，，点的坐标为．
（1）求的面积；
（2）将向下平移个单位，得到，
直接写出的坐标.
【拓展延伸】
12、阅读下列解题过程：，
，请回答下列回题：
（1）观察上面的解答过程，请写出
；
（2）利用上面的解法，请化简：
第6章实数自我测试题
（满分100分，时间60分钟）
测试时间___________
成绩________
一．选择题（每小题4分，共16分）：
1、有下列说法：
（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；
（3）无理数包括正无理数、0、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示.
其中正确的说法的个数是（
）.
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
2、的平方根是（
）.
（A）－0.7
（B）±0.7
（C）0.7
（D）0.49
3、若则a的值是（
）.
（A）
（B）
（C）
（D）
4、若，，则a＋b＝﹙
﹚.
（A）－8
（B）±8
（C）±2
（D）±8或±2
二、填空题（每小题4分，共24分）：
5、在，，，，3.14,
0，，，中，其中_______________
是整数；_____________________无理数；________________________是有理数.
6、的相反数是______________，绝对值是_________________.
7、在数轴上表示的点离原点的距离是____________.
8、若有意义，则＝______________.
9、已知，则________________.
10、若一个数的立方根就是它本身，则这个数是___________________.
三、解答题（共60分）：
11、计算（每小题5分，共20分）：
（1）；
（2）（结果保留一位小数）；
（3）；
（4）（结果保留一位小数）.
12、求下列各式中的x（每小题5分，共10分）：
（1）；
（2）.
13、比较下列各组数的大小（每小题5分，共10分）：
（1）与6；
（2）与
14、写出所有分别适合下列条件的数（每小题5分，共10分）：
（1）大于小于的所有整数；
（2）绝对值小于的所有整数.
15、（5分）化简：.
16、（5分）一个正数x的平方根是与，则是多少？
……
……
O
A
C
B
2