(共49张PPT)
第一章 集合
§1 集合的含义与表示
指定的某些对象的全体
每个对象
属于
不属于
有理数集
正整数集
N
Z
R
一一列举
确定的条件
无序性
确定性
互异性
不含有任何
有限个
无限集
无限个
集合的含义
集合的表示方法
元素与集合的关系
Thank
you
for
watching
!
答宥
米米米
米
米
集合元素的
元素所具有的
类型1
·●●。●●
规律方法
●●●。·。·
类型2
类型3§1 集合的含义与表示
学
习
目
标
核
心
素
养
1．了解集合的含义，体会元素与集合的从属关系．(重点)2．理解并掌握集合中元素的三个特性．(重点)3．掌握集合的表示方法及几个常见数集的表示符号．(重点、难点)
1．通过集合与元素的概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过元素与集合间的关系的研究，培养数学运算素养.
1．集合与元素的概念
阅读教材P3“一般地”自然段及以上内容，完成下列问题．
(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合．集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．
(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素．常用小写字母a，b，c，d，…表示集合中的元素．
思考1：(1)某班所有的“大个子”能否构成一个集合？
(2)某班身高高于170
cm的所有学生能否构成一个集合？
[提示] (1)不能构成一个集合，因为“大个子”无明确的标准．
(2)能构成一个集合，因为标准确定．
2．元素与集合的关系
阅读教材P3～P4从“给定一个集合A”开始至“π∈R等”之间的内容，完成下列问题．
(1)元素与集合的关系
关系
概念
记作
读作
属于
若a在集合A中，就说a属于集合A
a∈A
a属于A
不属于
若a不在集合A中，就说a不属于集合A
aA
a不属于A
(2)常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋或N
Z
Q
R
3.集合的表示法
阅读教材P4“集合的常用表示法”至P5“一般地”以上内容，回答下列问题．
(1)集合的表示法
①列举法
把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内的方法．符号表示为{，…，}．
②描述法
用确定的条件表示某些对象属于一个集合，并写在大括号内的方法叫作描述法．
描述法的格式
(2)元素的特性
元素的三个特性是指确定性，互异性，无序性．
思考2：(1)构成单词“bee”的所有字母组成的集合有多少个元素？
(2)你会区分数集与点集吗？如集合A＝{x|0[提示] (1)2个．
(2)若一个集合中所有元素均是数，则这个集合称为数集．同样，若一个集合中所有元素均是点，这个集合称为点集，集合A的代表元素是x，x是大于0且小于1的实数，故A是数集；集合B的代表元素是有序实数对(x，y)，(x，y)是一次函数y＝2x－1图像上的点，故B是点集．因此，形如{x|x满足的条件，x∈R}的集合是数集；形如{(x，y)|x，y满足的条件，x，y∈R}的集合是点集．
4．集合的分类
阅读教材P5从“一般地”到“练习”上方的内容，完成下列问题．
集合
1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14
B．－5
C．
D．
[答案] D
2．给出以下三个关系：①＝{0}；②0∈{(0,0)}；③0∈{0}．其中表述正确的是( )
A．①③
B．②③
C．③
D．①②③
[答案] C
3．集合{x∈N
|x2－1＝0}用列举法可表示为________．
{1} [由x2－1＝0，得x＝±1.
又x∈N
，则x＝1.
故集合{x∈N
|x2－1＝0}用列举法可表示为{1}．]
4．若1∈{x，x2}，则x＝________.
－1 [由1∈{x，x2}，得x＝1，或x2＝1，即x＝±1.
当x＝1时，集合{x，x2}中的元素不具有互异性，故舍去．
所以x＝－1.]
集合的含义
【例1】 下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有“帅男”；
(2)不超过20的非负数；
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(4)的近似值的全体．
[解] (1)“帅男”没有明确的标准，因此不能构成集合；(2)任给一个实数x，可以明确地判断是否为“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“的近似值”不能构成集合．
判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.
1．下列各组对象可以组成集合的是( )
A．数学必修1课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内坐标轴上的一些点
D．所有小的正数
B [A中的“难题”，C中的“一些点”，D中的“小的正数”都没有明确的标准，因此，都不能组成集合，而B中小于8的素数是明确的，故选B.]
集合的表示方法
【例2】 用适当的方法表示下列集合：
(1)所有正奇数组成的集合；
(2)方程x2－2＝0的解集；
(3)在自然数集中，小于100的偶数组成的集合；
(4)在平面直角坐标系内，所有第二象限的点组成的集合．
[解] (1){x|x＝2n＋1，n∈N}；
(2){－，}；
(3){x|x＝2n，n<50，且n∈N}；
(4){(x，y)|x<0，且y>0}．
1．用列举法表示集合的适用条件：
(1)集合中的元素较少，能够一一列举出来时，适合用列举法；
(2)集合中的元素较多，但呈现一定的规律性时，可通过列举部分元素作为代表，其他元素用省略号表示．
2．用描述法表示集合应注意：
(1)弄清元素的形式，比如是数，还是点；
(2)元素具有怎样的属性．
2．用适当的方法表示下列集合：
(1)小于20的所有质数组成的集合；
(2)大于－3且小于1的所有有理数组成的集合；
(3)方程(x－1)(x2－1)＝0的解集；
(4)二次函数y＝x2－9图像上的所有点组成的集合．
[解] (1){2,3,5,7,11,13,17,19}；
(2){x∈Q|－3元素与集合的关系
[探究问题]
1．－3∈{x|x＝2n－1，n∈Z}吗？
提示：由2n－1＝－3，得n＝－1，故－3∈{x|x＝2n－1，n∈Z}．
2．当3∈{x|2x－1>a}时，求a的取值范围；当3{x|2x－1>a}时，a的取值范围又是什么呢？
提示：当3∈{x|2x－1>a}时，a<2×3－1，所以a<5；
当3{x|2x－1>a}时，a≥2×3－1，所以a≥5.
【例3】 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
[思路探究] 从元素与集合的关系入手，求出a的值后，要注意验证集合的元素是否满足互异性．
－1 [若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a＝－1.]
1．(变条件)若去掉本例中的条件“1∈A”，则实数a的取值范围是什么？
[解] 因为集合A中含有两个元素a和a2，
所以a≠a2，即a≠0且a≠1.
2．(变条件)若将本例中的“1∈A”改为“2∈A”，则a为何值？
[解] 因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，
即a＝2或a＝±.
3．(变条件)若由a和a2构成的集合只有一个元素，则a为何值？
[解] 因为由a和a2构成的集合只有一个元素，
所以a＝a2，即a＝0或a＝1.
由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
1．列举法表示集合时应关注的五点
(1)用列举法表示集合时首先要注意元素是数、点，还是其他的对象，即确定性．
(2)元素之间用“，”隔开而非“；”．
(3)元素不能重复且无遗漏．
(4)“{ }”本身带有“所有的…”或“…的全体(全部)”的意思，因此在大括号内表示内容时，应把“所有”“全部”或“全体”等词语删去．
(5)表示有特殊规律的无限集时，必须把元素间的规律表示清楚后才可以用省略号．
2．描述法表示集合应关注的五点
(1)写清楚集合中代表元素的符号，如实数或有序实数对(点)，注意集合中对代表元素符号的范围进行限制，若没有注明范围，一般是在实数范围内考虑问题．
(2)说明该集合中元素具有的性质，如方程、不等式、函数或几何图形等．
(3)描述部分若出现元素符号以外的字母时，要对新字母说明其含义并指出其取值范围．
(4)所有描述的内容都要写在大括号内，用于描述的语句力求简明、确切．
(5)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，并且所有描述的内容都要写在集合符号内．
3．集合中元素的三个特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，即按照明确的判断标准判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一．
(2)互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都是不同的．若A是一个集合，a，b是集合A的任意两个元素，则一定有a≠b.
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，集合与其中元素的排列次序无关．如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．
1．思考辨析
(1)著名的数学家能构成一个集合．
( )
(2)－1∈N.
( )
(3){x∈R|2x－3>0}是不等式2x－3>0的解集，它是一个无限集．( )
[解析] (1)×，因为“著名”无明确标准．
(2)×，因为－1不是自然数．
(3)√.
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；②Q；③0∈N
；④|－4|N
.
A．1 B．2 C．3 D．4
B [只有①②正确，故选B.]
3．若4∈{3，x＋1}，则实数x＝________.
3 [由4∈{3，x＋1}，得x＋1＝4，解得x＝3.]
4．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集中，小于1
000的奇数构成的集合．
[解] (1)因为方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，所以解集为{0，－1}．
(2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1
000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n<500，n∈N}．
PAGE
-
1
-课时分层作业(一) 集合的含义与表示
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．下列选项中的对象能构成集合的是( )
A．一切很大的数
B．聪明人
C．全体正三角形
D．高一教材中的所有难题
C [只有“正三角形”的标准是明确的，故选C.]
2．已知M＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则有( )
A．1M
B．0∈M
C．2∈M
D．－1∈M
D [由n∈Z，得x是奇数，故选D.]
3．由“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C [因为集合中的元素具有互异性，所以选C.]
4．下列集合中，是空集的是( )
A．{x∈R|x2－1＝0}
B．{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}
C．{x∈R|x2＋1＝0}
D．{y|y＝－x2，x∈R}
C [当x∈R时，x2＋1≥1，所以方程x2＋1＝0无实数解，所以{x∈R|x2＋1＝0}＝.]
5．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
D [由于集合中的元素具有互异性，所以选D.]
二、填空题
6．若2{x|x－a>0}，则实数a的取值范围是________．
a≥2 [由2{x|x－a>0}，得2－a≤0，解得a≥2.]
7．用列举法表示集合{x|x2－6x＋9＝0}，其表示结果为________．
{3} [解方程x2－6x＋9＝0得x1＝x2＝3，故可用列举法表示为{3}．]
8．用描述法表示被3除余2的所有整数组成的集合，其表示结果为________．
[答案] {x|x＝3n＋2，n∈Z}
三、解答题
9．已知－3∈{a－3,2a－1，a2－1}，求实数a的值．
[解] ∵a2－1≥－1，
∴a－3＝－3，或2a－1＝－3，
当a－3＝－3时，a＝0，此时，2a－1＝－1＝a2－1，舍去；
当2a－1＝－3时，a＝－1，符合题意．
∴a的值为－1.
10．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1)若A有且只有一个元素，求a的值；
(2)若A恰有两个元素，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝0时，A＝；当a≠0时，Δ＝9－8a＝0，a＝.综上得，a＝0或.
(2)依题意，解得a<且a≠0.
1．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{x＋y|x，y∈A}，则集合B中的所有元素之和为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
D [
由上表知，B＝{0,1,2,3,4}，故其元素之和为10.]
2．已知集合A＝{2,4,6}，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( )
A．2
B．2或4
C．4
D．0
B [当a＝2时，6－a＝4∈A；当a＝4时，6－a＝2∈A；当a＝6时，6－a＝0A.
所以，a为2或4.]
3．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B＝________.
{1,0} [t＝－1时，x＝1；t＝0时，x＝0；t＝1时，x＝1.
所以，B＝{1,0}．]
4．方程组的解集用列举法可表示为________．
{(2，－1)} [解方程组得故该方程组的解集为故用列举法表示为{(2，－1)}．]
5．设集合A＝.
(1)试判断元素1和2与集合A的关系；
(2)用列举法表示集合A.
[解] (1)当x＝1时，＝＝2∈N；
当x＝2时，＝＝N；所以1∈A,2A.
(2)由x∈N，得2＋x∈N，且2＋x≥2.
又∈N，则2＋x是6的正约数．
所以2＋x＝2，或3，或6，即x＝0，或1，或4，所以A＝{0,1,4}．
PAGE
-
1
-
