(共21张PPT)
19
一次函数
19.1.1
变量与函数
第一课时
常量与变量
课时目标
1.了解变量与常量的意义。
2.在实际问题中，会区分常量与变量，能够建立变量之间的关系式。
情景导入
t（分）
…
1
2
5
10
15
…
S（米）
…
…
问题：
1.在这个行程问题中，我们所研究的对象有几个量？
2.几个所研究的对象中，哪些是变化的量，哪些是固定不变的量？他们之间存在怎样的数量关系？
五一假期，李想和朋友从河中门口出发，骑自行车去润泽湖公园游玩，假设他们匀速行驶，每分钟骑200米骑车的总路程为s米，骑车的时间为t分钟。
填一填：
t/h
1
2
3
4
5
s/km
探究新知
常量与变量
思考下面问题，并填表：
（1）汽车以60
km/h
的速度匀速行驶，行驶路程为
s
km，行驶时间为t
h．
60
120
180
240
300
速度×时间
路程
=____________
探究新知
1．在以上这个过程中，变化的量是_______________．
不变化的量是________________．
2．试用含t的式子表示s．s=_______.
这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间____的变化过程.
时间t、路程s
速度60千米/时
60
t
s
t
探究新知
票房收入
=
单价×售票张数
第一场票房收入
=
10×150
=
1500
（元）
第二场票房收入
=
10×205
=
2050
（元）
第三场票房收入
=
10×310
=
3100
（元）
（2）每张电影票的售价为10
元，第一场售出票150张票，第二场售出205张，第三场售出310张，三场电影票的票房收入各多少元？设一场电影售出
x
张票，票房收入为
y
元，
y
的值随x
的值变化而变化吗
？
1.在以上这个过程中，变化的量是______________________．
不变化的量是___________．
2.试用含x的式子表示y．y=______.
这个问题反映了票房收入____随售票张数____的变化过程．
探究新知
10x
售票张数x、票房收入y
售价10元
y
x
圆面积S与圆的半径R之间的关系式是_________；
其中变化的量是_______；不变化的量是_____.
这个问题反映了____________随_______的变化过程．
探究新知
（3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r
分别为10
cm，20
cm，30
cm
时，圆的面积S
分别为多少？
S
的值随r
的值变化而变化吗
？
S=
πR2
π
S，R
圆的面积S
半径R
探究新知
数值发生
变化的量
数值始终
不变的量
上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？
思考归纳
变量
常量
探究新知
S
=
60t
y
=
10x
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.
请指出上面各个变化过程中的常量、变量.
y
=5–x
S
=πr2
在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词：发生了变化和始终不变.
例1
指出下列事件过程中的常量与变量
(1)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千橘子的总价为m元，其中常量是
，变量是
；
(2)周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是
，变量是
；
(3)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式
中，其中常量是
，变量是
；
探究新知
5
a，m
2，π
C，
r
注意：π是一个确定的数，是常量
S，h
巩固练习
指出下列事件过程中的变量和常量：
（1）汽油的价格是7.4元/升，加油
x
升，车主加油付油费为
y
元；
（2）小明看一本200
页的小说，看完这本小说需要t
天，平均每天所看的页数为
n；
（3）用长为40
cm
的绳子围矩形，围成的矩形一边长为
x
cm，其面积为
S
cm2．
（4）若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β=90－α.
例2
阅读并完成下面一段叙述：
⒈某人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是
,变量是
.
⒉s米的路程不同的人以不同的速度a米／分各需跑的时间为t分，其中常量是
,变量是
.
3.根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的论：
.
探究新知
在不同的条件下，常量与变量是相对的
a
t
，s
s
a
，t
探究新知
区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.
探究新知
怎样用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度
L(cm)?
例3
弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表：
解：由题意可知m每增加1，L增加0.5，所以L=10+0.5m.
重物的质量(kg)
1
2
3
4
5
弹簧长度(cm)
10.5
11
11.5
12
12.5
确定两个变量之间的关系
探究新知
如果弹簧原长为12cm，每1kg重物使弹簧压缩0.5cm，则用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度
L(cm)为
.
L=12-0.5m
巩固练习
1.若球体体积为V，半径为R，则V=
其中变量是
、
，常量是
.
2.计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n(个)
与单价
a（元）的关系式是
，其中变量是
，常量是
.
V
R
a
，n
50
巩固练习
3.汽车开始行使时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q(升)与行使时间t(小时)的关系是
，其中的常量是
，变量是
.
Q=40-5t
40，5
Q，t
巩固练习
4.表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x（单位：m）落下时弹跳高度y（单位：m）与下落高的关系，据表可以写出的一个关系式是??????????
．
y=0.5x
x
50
80
100
150
y
25
40
50
75
巩固练习
5.瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式.
x
1
2
3
…
n
y
…
1
1+2
1+2+3
1+2+3+
…+n
完成表格，并写出瓶子总数y
与层数x之间的关系式
课堂小结
常量与变量
常量与变量的概念
列出变量之间的关系式
常量：数值始终不变的量
变量：数值发生变化的量(共26张PPT)
19
一次函数
19.1.1
变量与函数
第二课时
函数
课时目标
1.了解函数的相关概念，会判断两个变量是否具有函数关系。
2.能根据简单的实际问题写出函数解析式，并确定自变量的取值范围。
3.会根据函数解析式求函数值。
情景导入
想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
探究新知
下图反映了摩天轮上的一点的高度h
(m)与旋转时间t(min)
之间的关系.
t/min
0
1
2
3
4
5
…
h/m
…
(1)根据左图填表：
11
37
45
37
3
10
(2)对于给定的时间t
，相应的高度h能确定吗？
探究新知
瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
层数
n
1
2
3
4
5
…
物体总数y
…
1
3
6
10
15
对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定吗？有几个y值和它对应？
唯一一个y值
函数的相关概念
探究新知
(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？
230K、246K
、273K、291K
解：当t=-43时，
T=-43+273
=230（K）
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273，T≥0.
探究新知
(2)给定任一个大于-273
℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？
唯一一个T值
思考：上面的三个问题中，各变量之间有什么共同特点？
①时间
t
、相应的高度
h
；
②层数n、物体总数y；
③摄氏温度t
、热力学温度T.
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
探究新知
知识要点
一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
探究新知
知识拓展
函数一语，起用于公元1692
年，最早见自德国数学家莱布尼兹的著作.
他是德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。
（1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？
（2）y是x的函数吗？为什么？
巩固练习
x
1
4
9
16
y=+2x
2和－2
8和－8
18和－18
32和－32
不是
答：不是，因为y的值不是唯一的.
关键词：两个变量，给一个x，得一个y.
易错点：顺序不要反.
填表并回答问题：
探究新知
例1
下列关于变量x
，y
的关系式：?y
=2x+3；?y
=x2+3；?y
=2|x|；④
；⑤y2-3x=10，其中表示y
是x
的函数关系的是
．
一个x值有两个y
值与它对应
判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应.
①②③
巩固练习
下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量.
（1）改变正方形的边长
x，正方形的面积
S
随之变化；
（2）秀水村的耕地面积是106
m2，这个村人均占有耕
地面积
y
（单位：m2）随这个村人数
n
的变化而变化；
（3）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为
x，
它对应的实数为
y，y
随
x
的变化而变化．
例如，到原点的距离为1的点对应实数1或-1,
探究新知
解：（1）S
是x的函数，其中x是自变量.
（2）y
是n的函数，其中n是自变量.
（3）y
不是x的函数.
解：（1）当x=2时，y=
;
当x=3时，y=
;
当x=-3时，y=7.
（2）令
解得x=
即当x=
时，y=0.
探究新知
例2
已知函数
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
把自变量x的值带入关系式中，即可求出函数的值.
探究新知
确定自变量的取值范围
问题：请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：
（1）汽车以60
km/h
的速度匀速行驶，行驶的时间为
t（单位：h），行驶的路程为
s（单位：km）；
（2）多边形的边数为
n，内角和的度数为
y．
问题（1）中，t
取-2
有实际意义吗？
问题（2）中，n
取2
有意义吗？
探究新知
根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？
在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围．
探究新知
例3
汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子.
解:(1)
函数关系式为:
y
=
50－0.1x
0.1x表示的意义是什么？
叫做函数的解析式
探究新知
（2）指出自变量x的取值范围；
(2)
由x≥0及50－0.1x
≥0
得 0
≤
x
≤
500
∴自变量的取值范围是
0
≤
x
≤
500
汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
探究新知
（3）汽车行驶200
km时，油箱中还有多少油？
(3)当
x
=
200时,函数
y
的值为y=50－0.1×200=30.
因此,当汽车行驶200
km时,油箱中还有油30L.
探究新知
想一想：
下列函数中自变量x的取值范围是什么？
-2
x取全体实数
使函数解析式有意义的自变量的全体.
0
-1
-2
巩固练习
1.下列说法中，不正确的是（
）
A.函数不是数，而是一种关系
B.多边形的内角和是边数的函数
C.一天中时间是温度的函数
D.一天中温度是时间的函数
2.下列各表达式不是表示y是x的函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
C
C
巩固练习
3.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=60时，路程和时间的关系式为
，这个关系式中，
是常量，
是变量，
是
的函数.
60
s=60t
t和s
s
t
4.油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出，1h流完，则油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是
，自变量t的取值范围是
.
巩固练习
5.求下列函数中自变量x的取值范围：
x取全体实数
1
0
-1
巩固练习
6.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）.
（1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；
解：（1）当0＜x≤3时，y=8；
当x＞3时，y=8＋1.8（x－3）=1.8x＋2.6.
当x=2时，y=8；x=6时，y=1.8×6＋2.6=13.4.
巩固练习
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？
解：当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.
课堂小结
函数
概念：函数在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么x是自变量，y是x的函数.
函数值
自变量的取值范围
1.使函数解析式有意义
2.符合实际意义
