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阶段质量检测（二）
点、直线、平面之间的位置关系
(时间120分钟 满分150分)
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线l与平面α不平行，则( )
A．l与α相交
B．l?α
C．l与α相交或l?α
D．以上结论都不对
解析：选C 直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．因为直线l与平面α不平行，所以l与α相交或l?α.
2．分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．垂直
解析：选B 因为两平行平面没有公共点，所以两直线没有公共点，所以两直线不可能相交．
3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β
B．若m∥n，m?α，n?β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
D．若m∥n，m∥α，则n∥α
解析：选C 对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m?α，n?β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.
4．设BD1是正方体ABCD?A1B1C1D1的一条对角线，则这个正方体中面对角线与BD1异面的有( )
A．0条
B．4条
C．6条
D．12条
解析：选C 每个面中各有一条对角线与BD1异面，它们是：AC，A1C1，B1C，A1D，AB1，DC1.
5．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )
A．A1E⊥DC1
B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1
D．A1E⊥AC
解析：选C 法一：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，
所以BC1⊥平面A1B1CD．
又A1E?平面A1B1CD，
所以A1E⊥BC1.
法二：∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B、D错；
∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，
∴A1E⊥BC1，故C正确；
(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，
又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.
又A1E?平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1.)
∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，
而D1E不与DC1垂直，故A错．
6．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角的度数为( )
A．90°
B．45°
C．60°
D．30°
解析：选D 取BC的中点G，连接EG，FG，则EG＝1，FG＝2，EF⊥EG，
则EF与CD所成的角等于∠EFG，为30°.
7.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，AB＝BC＝CA＝CF＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是( )
A．设平面ADF与平面BEC1的交线为l，则直线EC1与l相交
B．在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥N?ADF的体积为
C．设点M在BB1上，当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF
D．在棱A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF
解析：选C 连接CE交AD于点O，则O为△ABC的重心，连接OF.由已知得OF∥EC1，则EC1∥l，故A错；若在A1C1上存在点N，则VN?ADF＝VD?AFN，当N与C1重合时，VD?AFN取最小值为，故B错；当BM＝1时，可证得△CBM≌△FCD，则∠BCM＋∠CDF＝90°，即CM⊥DF.又∵AD⊥平面CBB1C1，CM?平面CBB1C1，∴AD⊥CM.∵DF∩AD＝D，∴CM⊥平面ADF.∵CM?平面CAM，∴平面CAM⊥平面ADF，故C正确；过C1作C1G∥FA交AA1于点G.若在A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF，则C1P⊥C1G.又∵C1P⊥GA1，C1G∩GA1＝G，∴C1P⊥平面A1C1G.∵A1C1?平面A1GC1，∴C1P⊥A1C1，矛盾，故D错．故选C.
8．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
解析：选D 由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D．
9.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α，β所成的角分别为45°和30°，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，若AB＝12，则A′B′等于( )
A．4
B．6
C．8
D．9
解析：选B 连接AB′，BA′，则∠BAB′＝45°，∠ABA′＝30°.
在Rt△ABB′中，AB＝12，可得BB′＝6.
在Rt△ABA′中，可得BA′＝6.
故在Rt△BA′B′中，可得A′B′＝6.
10.
如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C 显然OM∥PD，又PD?平面PCD，PD?平面PDA.∴OM∥平面PCD，OM∥平面PDA.
∴①②③正确．
11．已知三棱锥S?ABC的三视图如图所示，则在原三棱锥中下列命题正确的是( )
①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.
A．①
B．②
C．①③
D．①②
解析：选A 由三视图可知，三棱锥S?ABC中侧棱SA垂直于底面ABC，底面ABC是一个直角三角形，且AC⊥BC，从而只有①是正确的．故选A.
12．在正四棱锥P?ABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
解析：选C 连接AC，BD交于点O，连接OE，OP，BE.
因为E为PC的中点，
所以OE∥PA，
所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．
因为四棱锥P?ABCD为正四棱锥，
所以PO⊥平面ABCD，
所以AO为PA在平面ABCD内的射影，所以∠PAO即为PA与平面ABCD所成的角，即∠PAO＝60°.
因为PA＝2，所以OA＝OB＝1，OE＝1.
所以在Rt△EOB中∠OEB＝45°，即异面直线PA与BE所成的角为45°.故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有一点E，F，且B1E＝C1F，则直线EF与平面ABCD的位置关系是________．
解析：过点E作EG∥AB，交BB1于点G，连接GF，则＝.
∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴＝，∴FG∥B1C1∥BC.
又EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD．
又EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD．
答案：平行
14．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面．
①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，则α⊥β；
②若a?α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；
③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，
则a⊥b；④若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.
上述命题中，正确命题的序号是________．
解析：对①可举反例，如图，需b⊥β才能推出α⊥β；对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可知a，b不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确．
答案：②④
15．设正三角形ABC的边长为a，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则A到平面PBC的距离为________．
解析：如图所示，取BC中点E，连接AE，PE，则AE⊥BC，又BC⊥PA，
∴BC⊥平面PAE.
∴平面PAE⊥平面PBC.
在平面PAE内过A作AF⊥PE，垂足为F，
则AF⊥平面PBC.
则AF＝＝a.
答案：a
16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A?BD?C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________．
解析：如图所示，①取BD中点E，连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，又AC?平面AEC，故AC⊥BD，故①正确；
②设正方形的边长为a，
则AE＝CE＝a.
由①知∠AEC是直二面角A?BD?C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，
∴△ACD是等边三角形，故②正确；
③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，故③不正确；
④分别取BC，AC的中点为M，N，连接ME，NE，MN.
则MN∥AB，且MN＝AB＝a，
ME∥CD，且ME＝CD＝a，∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．
在Rt△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a，
∴NE＝AC＝a.
∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正确．
答案：①②④
三、简答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且＝＝.求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)三条直线EF，GH，AC交于一点．
证明：(1)在△ABD中，E，H分别是AB和AD的中点，
∴EH綊BD．
在△CBD中，＝＝，∴FG綊BD．
∴EH∥FG.
∴E，F，G，H四点共面．
(2)由(1)可知，EH∥FG，且EH≠FG，所以它们的延长线必相交于一点，设为点P.
∵AC是平面ABC和平面ADC的交线，EF?平面ABC，GH?平面ADC，平面ABC∩平面ADC＝P，∴由公理3知P∈AC.
∴三条直线EF，GH，AC交于一点．
18．(本小题满分12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
证明：(1)设AC与BD交于点O，连接EO，
∵EF∥AC，且EF＝1，AO＝AC＝1，
∴四边形AOEF为平行四边形，∴AF∥OE.
∵OE?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE.
(2)连接FO，
∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1，
∴四边形CEFO为菱形，
∴CF⊥EO.
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC.
又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD．
又BD∩EO＝O，∴CF⊥平面BDE.
19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A?BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，
所以EF∥AB．
又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC?平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD．
因为AD?平面ABD，
所以BC⊥AD．
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC?平面ABC，
所以AD⊥AC.
20．(本小题满分12分)如图，已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD．
(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出详细证明；
(2)求三棱锥E?ABC的体积．
解：(1)取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，EN，EM，则直线MN即为所求．
取BC的中点H，连接AH，
∵△ABC为腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，
∴AH⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH?平面ABC，
∴AH⊥平面BCD，
同理，可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH.
∵EN?平面ABC，AH?平面ABC，
∴EN∥平面ABC.
又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC.
∵MN?平面ABC，BC?平面ABC，
∴MN∥平面ABC.
又MN∩EN＝N，MN?平面EMN，EN?平面EMN，
∴平面EMN∥平面ABC.
又EF?平面EMN，∴EF∥平面ABC.
(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，NG＝DH，
由(1)可知，EN∥平面ABC，
∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等．
又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH?平面BCD，
∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC.
又DH＝，∴NG＝.
又AC＝AB＝3，BC＝2，∴AH＝2，
∴S△ABC＝·BC·AH＝2，
∴VE?ABC＝VN?ABC＝·S△ABC·NG＝.
21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥S
?ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．四边形ABCD为正方形，且点P为AD的中点，点Q为SB的中点．
(1)求证：CD⊥平面SAD．
(2)求证：PQ∥平面SCD．
(3)若SA＝SD，点M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，
所以CD⊥AD．
又因为平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，
所以CD⊥平面SAD．
(2)证明：如图，取SC的中点R，连接QR，DR.
由题意知PD∥BC且PD＝BC.
在△SBC中，点Q为SB的中点，点R为SC的中点，
所以QR∥
BC且QR＝BC，
所以PD∥QR，且PD＝QR，
所以四边形PDRQ为平行四边形，
所以PQ∥DR.
又因为PQ?平面SCD，DR?平面SCD，
所以PQ∥平面SCD．
(3)存在点N为SC的中点，使得平面DMN⊥平面ABCD．
证明如下：
如图，连接PC，DM交于点O，
连接DN，PM，SP，NM，NO，
因为PD∥CM，且PD＝CM，
所以四边形PMCD为平行四边形，
所以PO＝CO.
又因为点N为SC的中点，
所以NO∥SP.
易知SP⊥AD，
又因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，
所以SP⊥平面ABCD，
所以NO⊥平面ABCD．
又因为NO?平面DMN，
所以平面DMN⊥平面ABCD．
22.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，AB＝2A1A＝4，以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A1D，DC1.
(1)求证：DC1∥平面A1ABB1；
(2)若二面角A1?DC?A为45°.
①求证：平面A1C1D⊥平面A1AD；
②求直线AB1与平面A1AD所成角的正切值．
解：(1)证明：连接AB1，∵AD∥BC∥B1C1且AD＝BC＝B1C1，
∴四边形ADC1B1为平行四边形，
∴AB1∥DC1，
又∵AB1?平面A1ABB1，DC1?平面A1ABB1，
∴DC1∥平面A1ABB1.
(2)①证明：取DC的中点M，连接A1M，AM.
易知Rt△A1AD≌Rt△A1AC，
∴A1D＝A1C，∴A1M⊥DC，
又AM⊥DC，∴∠A1MA为二面角A1?DC?A的平面角，
∴∠A1MA＝45°.
∴在Rt△A1AM中，AA1＝AM＝2，∴AD＝AC＝2，
∴AC2＋AD2＝DC2，∴AC⊥AD，
又∵AC⊥AA1，AD∩AA1＝A，
∴AC⊥平面A1AD，
又∵AC∥A1C1，∴A1C1⊥平面A1AD．
∵A1C1?平面A1C1D，
∴平面A1C1D⊥平面A1AD．
②∵AB1∥C1D，
∴C1D与平面A1AD所成角与AB1与平面A1AD所成角相等
由①知C1A1⊥平面A1AD，
∴A1D为C1D在平面A1AD内的射影，
故∠A1DC1为直线DC1与平面A1AD所成角，
在Rt△A1DC1中，tan∠A1DC1＝＝，
∴直线AB1与平面A1AD所成角的正切值为.
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点、直线、平面之间的位置关系
(时间120分钟 满分150分)
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线l与平面α不平行，则( )
A．l与α相交
B．l?α
C．l与α相交或l?α
D．以上结论都不对
2．分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．垂直
3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β
B．若m∥n，m?α，n?β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
D．若m∥n，m∥α，则n∥α
4．设BD1是正方体ABCD?A1B1C1D1的一条对角线，则这个正方体中面对角线与BD1异面的有( )
A．0条
B．4条
C．6条
D．12条
5．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )
A．A1E⊥DC1
B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1
D．A1E⊥AC
6．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角的度数为( )
A．90°
B．45°
C．60°
D．30°
7.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，AB＝BC＝CA＝CF＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是( )
A．设平面ADF与平面BEC1的交线为l，则直线EC1与l相交
B．在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥N?ADF的体积为
C．设点M在BB1上，当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF
D．在棱A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF
8．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
9.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α，β所成的角分别为45°和30°，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，若AB＝12，则A′B′等于( )
A．4
B．6
C．8
D．9
10.
如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
11．已知三棱锥S?ABC的三视图如图所示，则在原三棱锥中下列命题正确的是( )
①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.
A．①
B．②
C．①③
D．①②
12．在正四棱锥P?ABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有一点E，F，且B1E＝C1F，则直线EF与平面ABCD的位置关系是________．
14．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面．
①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，则α⊥β；
②若a?α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；
③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，
则a⊥b；④若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.
上述命题中，正确命题的序号是________．
15．设正三角形ABC的边长为a，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则A到平面PBC的距离为________．
16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A?BD?C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________．
三、简答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且＝＝.求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)三条直线EF，GH，AC交于一点．
18．(本小题满分12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A?BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
20．(本小题满分12分)如图，已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD．
(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出详细证明；
(2)求三棱锥E?ABC的体积．
21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥S
?ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．四边形ABCD为正方形，且点P为AD的中点，点Q为SB的中点．
(1)求证：CD⊥平面SAD．
(2)求证：PQ∥平面SCD．
(3)若SA＝SD，点M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
22.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，AB＝2A1A＝4，以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A1D，DC1.
(1)求证：DC1∥平面A1ABB1；
(2)若二面角A1?DC?A为45°.
①求证：平面A1C1D⊥平面A1AD；
②求直线AB1与平面A1AD所成角的正切值．
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