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阶段质量检测（三）
直线与方程
(时间120分钟 满分150分)
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．经过A(2,0)，B(5,3)两点的直线的倾斜角为( )
A．45°
B．135°
C．90°
D．60°
解析：选A ∵A(2,0)，B(5,3)，
∴直线AB的斜率k＝＝1.
设直线AB的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)，
则tan
θ＝1，∴θ＝45°.故选A.
2．已知过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则|MN|＝( )
A．10
B．180
C．6
D．6
解析：选D 由kMN＝＝－，解得a＝10，即M(－2,10)，N(10,4)，所以|MN|＝＝6，故选D．
3．若直线(m2－1)x－y－2m＋1＝0不经过第一象限，则实数m的取值范围是( )
A.
B．
C.
D．
解析：选D 若直线(m2－1)x－y－2m＋1＝0不经过第一象限，则直线经过第二、四象限或第三、四象限或第二、三、四象限，所以直线的斜率和截距均小于等于0.直线方程变形为y＝(m2－1)x－2m＋1，则解得≤m≤1.
4．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则( )
A．m＝－，n＝1
B．m＝－，n＝－3
C．m＝，n＝－3
D．m＝，n＝1
解析：选D 依题意得：直线x－y＝3的斜率为，∴其倾斜角为60°.
∴－＝－3，－＝tan
120°＝－，得m＝，n＝1.
5．已知直线l1：(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5＝0的斜率与直线l2：x－y＋1＝0的斜率相同，则实数m等于( )
A．2或3
B．2
C．3
D．－3
解析：选C 直线l1的斜率为，直线l2的斜率为1，则＝1，即2m2－5m＋2＝m2－4，整理得m2－5m＋6＝0，解得m＝2或3.当m＝2时，2m2－5m＋2＝0，－(m2－4)＝0，不符合题意，故m＝3.
6．已知两点A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy( )
A．无最小值且无最大值
B．无最小值但有最大值
C．有最小值但无最大值
D．有最小值且有最大值
解析：选D 线段AB的方程为＋＝1(0≤x≤3)，于是y＝4(0≤x≤3)，从而xy＝4x＝－2＋3，显然当x＝∈[0,3]时，xy取最大值为3；当x＝0或3时，xy取最小值0.
7．已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是，则m＋n＝( )
A．0
B．1
C．－1
D．2
解析：选A 由题意，所给两条直线平行，∴n＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，∴m＋n＝0.
8．直线l过点(－3,0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为( )
A．y＝－(x－3)
B．y＝－(x＋3)
C．y＝(x－3)
D．y＝(x＋3)
解析：选B 因为直线y＝2x－3的斜率为2，所以直线l的斜率为－.又直线l过点
(－3,0)，故所求直线的方程为y＝－(x＋3)，选B．
9．已知直线nx－y＝n－1和直线ny－x＝2n的交点在第二象限，则实数n的取值范围是( )
A．(0,1)
B．∪(1，＋∞)
C．
D．
解析：选C 由题意，知当n＝1时，两直线平行，当n＝－1时，两直线重合，故n≠±1.解方程组得x＝，y＝.∴＜0且＞0，解得0＜n＜.
10．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为( )
A．3x－y－13＝0
B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0
D．3x＋y＋13＝0
解析：选C 由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，
∵kAB＝＝，∴kl＝－3，
由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.
11．直线l1与直线l2：3x＋2y－12＝0的交点在x轴上，且l1⊥l2，则直线l1在y轴上的截距是( )
A．－4
B．4
C．－
D．
解析：选C 设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则k2＝－.
∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴k1＝－＝－＝.
设直线l1的方程为y＝x＋b，直线l2与x轴的交点为(4,0)．
将点(4,0)代入l1方程，得b＝－.
12．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线在直线y＝x＋1上，则直线AC的方程是( )
A．2x－y＋1＝0
B．x－2y－14＝0
C．3x＋y＋1＝0
D．x－2y－1＝0
解析：选D 设点B关于直线y＝x＋1的对称点为B′(x1，y1)，则得即B′(1,0)，故直线AC的方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
解析：∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，
∴×＝－1，
∴m＝1.
答案：1
14．若x＋ky＝0,2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0三条直线交于一点，则k＝________.
解析：∵直线x＋ky＝0,2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0三条直线交于一点，
解方程组得
∴直线x＋ky＝0过点(－1，－2)，解得k＝－.
答案：－
15．若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________．
解析：k＝＝<0，得－2
答案：(－2,1)
16．在△ABC中，已知C(2,5)，角A的平分线所在的直线方程是y＝x，BC边上的高所在的直线方程是y＝2x－1，则顶点B的坐标为________．
解析：依题意，由解得则A(1,1)．
因为角A的平分线所在的直线方程是y＝x，
所以点C(2,5)关于直线y＝x的对称点C′(5,2)在边AB所在的直线上，
所以边AB所在的直线方程为y－1＝(x－1)，整理得x－4y＋3＝0.
又边BC上的高所在的直线方程是y＝2x－1，
所以边BC所在的直线的斜率为－，
所以边BC所在的直线方程是y－5＝－(x－2)，整理得x＋2y－12＝0.
由解得则B.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P(1,1)．
(1)求直线l的方程；
(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标．
解：(1)∵k＝tan
135°＝－1，
∴l：y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)设A′(a，b)，
则解得a＝－2，b＝－1，
∴A′的坐标为(－2，－1)．
18．(本小题满分12分)已知直线l经过点P(－2,1)，且与直线x＋y＝0垂直．
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程．
解：(1)由题意得直线l的斜率为1，
故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.
(2)由直线m与直线l平行，
可设直线m的方程为x－y＋c＝0，
由点到直线的距离公式得＝，
即|c－3|＝2，解得c＝1或c＝5.
故直线m的方程为x－y＋1＝0或x－y＋5＝0.
19．(本小题满分12分)已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点．
(2)当－3解：(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．
由直线方程的点斜式可知直线恒过定点(－2,1)．
(2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图)．
若当－3则需满足
即解得－≤k≤1.
所以实数k的取值范围是.
20．(本小题满分12分)等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x－y＝0，一条直角边所在的直线l的斜率为，且经过点(4，－2)，若此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标．
解：设直角顶点为C，点C到直线y＝3x的距离为d，
则d·2d＝10，∴d＝.
∵直线l的斜率为，且经过点(4，－2)，
∴直线l的方程为y＋2＝(x－4)．
即x－2y－8＝0.
设直线l′是与直线y＝3x平行且距离为的直线，
则直线l′与l的交点就是C点，
设直线l′的方程是3x－y＋m＝0，
∴＝，∴m＝±10，
∴直线l′的方程是3x－y±10＝0.
由方程组或
得点C的坐标是或.
21．(本小题满分12分)已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点O的距离为2的直线的方程；
(2)求过点P且与原点O的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；
(3)是否存在过点P且与原点O的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x＝2符合题意．
②当直线的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为
y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
根据题意，得＝2，解得k＝.
则直线方程为3x－4y－10＝0.
故符合题意的直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.
(2)过点P且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线．
则其斜率k＝2，所以其方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.最大距离为.
(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为，而6>，故不存在这样的直线．
22．(本小题满分12分)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值．
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.
若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
解：(1)直线l2的方程等价于2x－y－＝0，
所以两条平行线l1与l2间的距离d＝＝，
即＝.又因为a＞0，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)，若点P满足条件②，
则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，且＝·，
解得c＝或，
所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
得＝·，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
若点P满足条件①，则3x0＋2＝0不合适．
解方程组得
不符合点P在第一象限，舍去．
解方程组得符合条件①.
所以存在点P同时满足三个条件．
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直线与方程
(时间120分钟 满分150分)
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．经过A(2,0)，B(5,3)两点的直线的倾斜角为( )
A．45°
B．135°
C．90°
D．60°
2．已知过点M(－2，a)，N(a,4)的直线的斜率为－，则|MN|＝( )
A．10
B．180
C．6
D．6
3．若直线(m2－1)x－y－2m＋1＝0不经过第一象限，则实数m的取值范围是( )
A.
B．
C.
D．
4．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则( )
A．m＝－，n＝1
B．m＝－，n＝－3
C．m＝，n＝－3
D．m＝，n＝1
5．已知直线l1：(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5＝0的斜率与直线l2：x－y＋1＝0的斜率相同，则实数m等于( )
A．2或3
B．2
C．3
D．－3
6．已知两点A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy( )
A．无最小值且无最大值
B．无最小值但有最大值
C．有最小值但无最大值
D．有最小值且有最大值
7．已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是，则m＋n＝( )
A．0
B．1
C．－1
D．2
8．直线l过点(－3,0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为( )
A．y＝－(x－3)
B．y＝－(x＋3)
C．y＝(x－3)
D．y＝(x＋3)
9．已知直线nx－y＝n－1和直线ny－x＝2n的交点在第二象限，则实数n的取值范围是( )
A．(0,1)
B．∪(1，＋∞)
C．
D．
10．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为( )
A．3x－y－13＝0
B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0
D．3x＋y＋13＝0
11．直线l1与直线l2：3x＋2y－12＝0的交点在x轴上，且l1⊥l2，则直线l1在y轴上的截距是( )
A．－4
B．4
C．－
D．
12．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线在直线y＝x＋1上，则直线AC的方程是( )
A．2x－y＋1＝0
B．x－2y－14＝0
C．3x＋y＋1＝0
D．x－2y－1＝0
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
14．若x＋ky＝0,2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0三条直线交于一点，则k＝________.
15．若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________．
16．在△ABC中，已知C(2,5)，角A的平分线所在的直线方程是y＝x，BC边上的高所在的直线方程是y＝2x－1，则顶点B的坐标为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P(1,1)．
(1)求直线l的方程；
(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标．
18．(本小题满分12分)已知直线l经过点P(－2,1)，且与直线x＋y＝0垂直．
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程．
19．(本小题满分12分)已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点．
(2)当－320．(本小题满分12分)等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x－y＝0，一条直角边所在的直线l的斜率为，且经过点(4，－2)，若此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标．
21．(本小题满分12分)已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点O的距离为2的直线的方程；
(2)求过点P且与原点O的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；
(3)是否存在过点P且与原点O的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
22．(本小题满分12分)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值．
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.
若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
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