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阶段质量检测（四）
圆与方程
(时间120分钟 满分150分)
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知圆C以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆C的位置关系是( )
A．在圆内
B．在圆上
C．在圆外
D．无法判断
解析：选B 点M(5，－7)到圆心(2，－3)的距离d＝＝5，故点M在圆C上．
2．已知A(2,0)，B(1，－2)，则以AB为直径的圆的方程为( )
A.2＋(y－1)2＝
B．2＋(y＋1)2＝
C.2＋(y－1)2＝
D．2＋(y＋1)2＝
解析：选D 以AB为直径的圆的方程为(x－2)(x－1)＋(y－0)(y＋2)＝0，化简得x2＋y2－3x＋2y＋2＝0，即2＋(y＋1)2＝，故选D．
3．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于( )
A.
B．2
C．2
D．4
解析：选B 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r＝，弦心距d＝＝，所以所求的弦长为2＝2，选B．
4．若直线l：y＝kx＋1(k＜0)与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：选A 依题意，直线l与圆C相切，则＝，解得k＝±1.又k＜0，所以k＝－1，于是直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2,0)到直线l的距离d＝＝＜，所以直线l与圆D相交，故选A.
5．已知圆M：x2＋y2＝2与圆N：(x－1)2＋(y－2)2＝3，那么两圆的位置关系是( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．外离
解析：选B ∵圆M：x2＋y2＝2的圆心为M(0,0)，半径为r1＝；
圆N：(x－1)2＋(y－2)2＝3的圆心为N(1,2)，半径为r2＝；
|MN|＝
＝，且－＜＜＋，
∴两圆的位置关系是相交．
6．若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( )
A．2x＋y－3＝0
B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0
D．2x－y－1＝0
解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心为A(3,0)．因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.又AP的斜率k＝＝－，所以直线MN的斜率为2，所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
7．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
解析：选D ∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.再由＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
8．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为( )
A.x＋y－5＝0
B．x＋y＋5＝0
C．2x＋y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0
解析：选C ∵M(2,1)在圆上，∴切线与MO垂直．
∵kMO＝，∴切线斜率为－2.又过点M(2,1)，
∴y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
9．在平面直角坐标系中，圆M的方程为x2＋(y－4)2＝4，若直线x＋my＋2＝0上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则m的取值范围是( )
A.
B．
C.
D．
解析：选D 依题意，圆M的圆心为M(0,4)，半径r＝2.若直线x＋my＋2＝0上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则在直线上至少存在一点P，使得|MP|≤2＋2成立，又点M到直线的距离为，则≤4，解得m≤，故选D．
10．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5－4
B．－1
C．6－2
D．
解析：选A 圆C1，C2的图象如图所示．设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连接C1′C2，与x轴交于点P，连接PC1，可知|PC1|＋|PC2|的最小值为|C1′C2|＝＝5，则|PM|＋|PN|的最小值为5－4.
11．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0
B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0
D．4x＋y－3＝0
解析：选A 设点P(3,1)，圆心C(1,0)．已知切点分别为A，B，则P，A，C，B四点共圆，且PC为圆的直径．故四边形PACB的外接圆圆心坐标为，半径长为＝.故此圆的方程为(x－2)2＋2＝.①
圆C的方程为(x－1)2＋y2＝1.②
①－②得2x＋y－3＝0，此即为直线AB的方程．
12．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为( )
A．1 B． C．2 D．2
解析：选A 由题意，得圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r＝2.因为直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率为－1，方程为y－0＝－(x－1)，即为x＋y－1＝0.又圆心(0，－1)到直线l的距离d＝＝，所以弦长|AB|＝2＝2＝2.又坐标原点O到弦AB的距离为＝，所以△OAB的面积为×2×＝1.故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．在平面直角坐标系中，若圆Q：x2＋y2－4ax＋2ay＋5a2－1＝0上所有的点都在第二象限内，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意，圆Q的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝1，圆心为Q(2a，－a)，半径为r＝1.若圆Q上所有的点都在第二象限内，则解得a＜－1.
答案：(－∞，－1)
14．已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为______________．
解析：设B点的坐标为(x，y，z)，则有＝4，＝3，＝1，
解得x＝5，y＝4，z＝1，
故B点的坐标为(5,4,1)．
答案：(5,4,1)
15．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
解析：依题意，知圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于×2＝，于是有＝，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±.
答案：4±
16．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
解析：由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1,1]．
答案：[－1,1]
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知正四棱锥P?ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，G是PD的中点，求|BG|.
解：∵正四棱锥P?ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，
∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB，BC所在的直线分别为y轴、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B，D，P的坐标分别为B(2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,1)．
∴G点的坐标为G
∴|BG|＝＝.
18．(本小题满分12分)已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．
解：设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
19．(本小题满分12分)已知从圆外一点P(4,6)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B．
(1)求以OP为直径的圆的方程；
(2)求直线AB的方程．
解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP的中点(2,3)，
半径为|OP|＝
＝，
∴以OP为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.
(2)∵PA，PB是圆O：x2＋y2＝1的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴A，B两点都在以OP为直径的圆上．
由得直线AB的方程为4x＋6y－1＝0.
20．(本小题满分12分)已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．
(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
解：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即以线段AB的中点(0,1)为圆心，r＝|AB|＝为半径．
则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)法一：直线AB的斜率k＝＝－3，
则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，
即x－3y＋3＝0.
由解得
即圆心的坐标是C(3,2)．
∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.
∴所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2.
则?
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
21．(本小题满分12分)已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A.
(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标．
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
解：(1)由题可知圆M的圆心为M(0,4)，半径r＝2.
设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°.
在Rt△MAP中，|MP|2＝|AM|2＋|AP|2，故|MP|＝＝4.
又|MP|＝
＝
，
所以
＝4，解得b＝0或.
所以点P的坐标为(0,0)或.
(2)设点P的坐标为(2b，b)．
因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆圆N是以MP为直径的圆，
且MP的中点坐标为，
所以圆N的方程为(x－b)2＋2＝，
即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.
由解得或
所以圆N过定点(0,4)和.
22．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.
又C的坐标为(0,1)，
故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，
所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，
可得BC的中垂线方程为y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
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圆与方程
(时间120分钟 满分150分)
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知圆C以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆C的位置关系是( )
A．在圆内
B．在圆上
C．在圆外
D．无法判断
2．已知A(2,0)，B(1，－2)，则以AB为直径的圆的方程为( )
A.2＋(y－1)2＝
B．2＋(y＋1)2＝
C.2＋(y－1)2＝
D．2＋(y＋1)2＝
3．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于( )
A.
B．2
C．2
D．4
4．若直线l：y＝kx＋1(k＜0)与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
5．已知圆M：x2＋y2＝2与圆N：(x－1)2＋(y－2)2＝3，那么两圆的位置关系是( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．外离
6．若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( )
A．2x＋y－3＝0
B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0
D．2x－y－1＝0
7．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
8．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为( )
A.x＋y－5＝0
B．x＋y＋5＝0
C．2x＋y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0
9．在平面直角坐标系中，圆M的方程为x2＋(y－4)2＝4，若直线x＋my＋2＝0上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则m的取值范围是( )
A.
B．
C.
D．
10．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5－4
B．－1
C．6－2
D．
11．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0
B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0
D．4x＋y－3＝0
12．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为( )
A．1 B． C．2 D．2
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．在平面直角坐标系中，若圆Q：x2＋y2－4ax＋2ay＋5a2－1＝0上所有的点都在第二象限内，则实数a的取值范围是________．
14．已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为______________．
15．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
16．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知正四棱锥P?ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，G是PD的中点，求|BG|.
18．(本小题满分12分)已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．
19．(本小题满分12分)已知从圆外一点P(4,6)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B．
(1)求以OP为直径的圆的方程；
(2)求直线AB的方程．
20．(本小题满分12分)已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．
(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
21．(本小题满分12分)已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A.
(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标．
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
22．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
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