3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离
类型一 两条直线的交点问题
例1 判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
跟踪训练1 两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点坐标为________．
类型二 两点间距离公式的应用
例2 已知三个点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状.
跟踪训练2 在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等．
类型三 直线过定点问题
例3 求证：不论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过一定点．
跟踪训练3 无论a为何实数值，直线(2a＋1)x＋(3a－2)y－18a＋5＝0必过定点________．
类型四 对称问题
例4 △ABC的一个内角的平分线所在的直线方程是y＝2x，若A，B两点的坐标分别为A(－4,2)，B(3,1)，则点C的坐标为________．
跟踪训练4 已知直线l：y＝3x＋3，则直线l关于点A(3,2)对称的直线方程为______________．
【巩固提升】
一、选择题
1．直线3x＋y－5＝0与x＋y－1＝0的交点是( )
A．(2，－1)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－2，－1)
2．若点A(1,3)与点B(m,7)之间的距离等于5，那么实数m的值为( )
A．4
B．－2
C．－4或2
D．4或－2
3．与直线3x－2y＋7＝0关于y轴对称的直线方程为( )
A．3x＋2y＋7＝0
B．3x＋2y－7＝0
C．－3x＋2y－7＝0
D．－3x＋2y＋7＝0
4．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6
B.
C．2
D．不能确定
5．无论m、n取何实数，直线(3m－n)x＋(m＋2n)y－n＝0都过一定点P，则P点坐标为( )
A．(－1,3)
B.
C.
D.
6．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0
B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0
D．x＋2y－3＝0
二、填空题
7．已知A(a,3)，B(－2,5a)，|AB|＝13，则实数a的值为________．
8．已知直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________．
9．点A(－3,1)，C(1，y)关于点B(－1，－3)对称，则|AC|＝________.
10．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
三、解答题
11．已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使得|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
12．(1)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程；
(2)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
13．已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0.
(1)若直线l1，l2，l3交于一点，求实数m的值；
(2)若直线l1，l2，l3不能围成三角形，求实数m的值．
一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，求反射光线所在直线的方程．
3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离答案
例1 判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
【解析】 (1)解方程组得所以l1与l2相交，交点坐标是.
(2)
①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，又9≠0，所以l1∥l2.
(3)①×2得6x＋8y－10＝0，
因此，①和②可以化成同一个方程，有无数组解，故①和②表示同一条直线，所以l1与l2重合.
跟踪训练1 两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点坐标为________．
解析：解方程组得故两直线的交点坐标为(－2,2)．
答案：(－2,2)
例2 已知三个点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状.
【解析】 ∵|AB|＝＝，|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形.
求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等．
解析：方法一 设点P坐标为(x，y)，
由点P在l上和点P到点A，B的距离相等建立方程组，得
解得
所以点P的坐标为(0,1)．
方法二 由题意知，线段AB的中点M的坐标为，AB所在直线的斜率为kAB＝＝1，则线段AB的垂直平分线的斜率为－1，其方程为y－＝－，即x＋y－1＝0 ①.
设P(x，y)，则3x－y＋1＝0 ②.
由①②组成的方程组为解得
所以所求的点为P(0,1)．
例3 求证：不论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过一定点．
【解析】 方法一 当m＝1时，直线方程为y＝－4；
当m＝时，直线方程为x＝9.这两条直线的交点为(9，－4)．
又当x＝9，y＝－4时，9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5，即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，故无论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4)．
方法二 ∵(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5，
∴m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，则无论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过直线x＋2y－1＝0与x＋y－5＝0的交点．
解方程组得即交点为(9，－4)．
∴不论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4).
跟踪训练3 无论a为何实数值，直线(2a＋1)x＋(3a－2)y－18a＋5＝0必过定点________．
解析：原方程可化为x－2y＋5＋a(2x＋3y－18)＝0，它表示过直线x－2y＋5＝0与直线2x＋3y－18＝0交点的直线系(不包括直线2x＋3y－18＝0)，无论a取何值它都过两直线的交点，由解得所以直线必过定点(3,4)．
答案：(3,4)
例4 △ABC的一个内角的平分线所在的直线方程是y＝2x，若A，B两点的坐标分别为A(－4,2)，B(3,1)，则点C的坐标为________．
【解析】 把A，B两点的坐标分别代入y＝2x知，点A，B都不在直线y＝2x上，
∴直线y＝2x是∠C的平分线所在的直线．
设点A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为A′(a，b)，
则kAA′＝，线段AA′的中点坐标为，
则解得即A′(4，－2)．
∵直线y＝2x是∠C的平分线所在的直线，
∴A′在直线BC上，
∴直线BC的方程为＝，即3x＋y－10＝0.
由解得
∴点C的坐标为(2,4)．
【答案】 (2,4)
跟踪训练4 已知直线l：y＝3x＋3，则直线l关于点A(3,2)对称的直线方程为______________．
解析：设直线l关于点A(3,2)对称的直线为l′，则l∥l′，可设l′的方程为y＝3x＋b(b≠3)．
取直线l上一点E(0,3)，该点关于点A的对称点为E′(6,1)，
则E′在直线l′上，所以1＝18＋b，即b＝－17.
所以直线l′的方程为y＝3x－17，
即直线l关于点A(3,2)对称的直线方程为3x－y－17＝0.
答案：3x－y－17＝0
[巩固提升]
一、选择题
1．直线3x＋y－5＝0与x＋y－1＝0的交点是( )
A．(2，－1)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－2，－1)
解析：由得
答案：A
2．若点A(1,3)与点B(m,7)之间的距离等于5，那么实数m的值为( )
A．4
B．－2
C．－4或2
D．4或－2
解析：由已知得|AB|＝＝5，因此|1－m|＝3，解得m＝4或m＝－2.
答案：D
3．与直线3x－2y＋7＝0关于y轴对称的直线方程为( )
A．3x＋2y＋7＝0
B．3x＋2y－7＝0
C．－3x＋2y－7＝0
D．－3x＋2y＋7＝0
解析：由题知，与直线3x－2y＋7＝0关于y轴对称的直线方程是3(－x)－2y＋7＝0，即3x＋2y－7＝0，故选B.
答案：B
4．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6
B.
C．2
D．不能确定
解析：由kAB＝1，得＝1，∴b－a＝1.
∴|AB|＝＝＝.
答案：B
5．无论m、n取何实数，直线(3m－n)x＋(m＋2n)y－n＝0都过一定点P，则P点坐标为( )
A．(－1,3)
B.
C.
D.
解析：直线(3m－n)x＋(m＋2n)y－n＝0整理为m(3x＋y)－n(x－2y＋1)＝0，
解方程组得交点坐标为.
因此无论m，n取何实数直线必经过点.
答案：D
6．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0
B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0
D．x＋2y－3＝0
解析：设所求直线上任一点(x，y)，则它关于x＝1对称的点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，即x＋2y－3＝0.故选D.
答案：D
二、填空题
7．已知A(a,3)，B(－2,5a)，|AB|＝13，则实数a的值为________．
解析：依题意及两点间的距离公式，得＝13，整理得a2－a－6＝0，解得a＝3或a＝－2.
答案：3或－2
8．已知直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________．
解析：因为两直线的交点在y轴上，且直线2x－3y＋4＝0与y轴的交点是，所以点在直线Ax＋3y＋C＝0上，则A×0＋3×＋C＝0，解得C＝－4.
答案：－4
9．点A(－3,1)，C(1，y)关于点B(－1，－3)对称，则|AC|＝________.
解析：由已知得＝－3，解得y＝－7，即C(1，－7)，
∴|AC|＝＝4.
答案：4
10．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
解析：由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故m＋n＝.
答案：
三、解答题
11．已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使得|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
解析：设所求点为P(x,0)，于是有
|PA|＝
＝，
|PB|＝＝，
由|PA|＝|PB|，得＝，解得x＝1，
所以|PA|＝＝2.
12．(1)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程；
(2)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
解析：(1)由，解得，所以交点为.
因为直线l与直线3x＋y－1＝0平行，所以直线l的斜率为－3，
所以直线l的方程为y＋＝－3，
15x＋5y＋16＝0.
(2)法一：解方程组得P(0,2)．
因为l3的斜率为，且l⊥l3，所以直线l的斜率为－，
由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2，
即4x＋3y－6＝0.
法二：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，
解得λ＝11.
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
13．已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0.
(1)若直线l1，l2，l3交于一点，求实数m的值；
(2)若直线l1，l2，l3不能围成三角形，求实数m的值．
解析：(1)∵直线l1，l2，l3交于一点，∴l1与l2不平行，
∴m≠4.
由，得
即l1与l2的交点为
代入l3的方程，得－3m·－4＝0，
解得m＝－1或.
(2)若l1，l2，l3交于一点，则m＝－1或；
若l1∥l2，则m＝4；
若l1∥l3，则m＝－；
若l2∥l3，则不存在满足条件的实数m.
综上，可得m＝－1或或4或－.
14．一条光线沿直线2x－y＋2＝0入射到直线x＋y－5＝0后反射，求反射光线所在直线的方程．
解析：取直线2x－y＋2＝0上一点A(0,2)，设点A(0,2)关于直线x＋y－5＝0对称的点为B(a，b)，
则解得
∴B(3,5)．
由解得
∴直线2x－y＋2＝0与直线x＋y－5＝0的交点为P(1,4)，
∴反射光线在经过点B(3,5)和点P(1,4)的直线上，
该直线的方程为y－4＝(x－1)，整理得x－2y＋7＝0.
故反射光线所在直线的方程为x－2y＋7＝0.3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
类型一 点到直线的距离
例1 (1)求点P(3，－2)到下列直线的距离：
y＝x＋；
②y＝6；
③x＝4.
(2)求过点A(－1,2)，且与原点的距离等于的直线方程．
跟踪训练1 求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程．
类型二 两平行线间的距离
例2 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．
跟踪训练2 (1)两条平行线l1：3x＋4y＝10和l2：6x＋8y＝15间的距离是________；
(2)与直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为( )
A．2x＋y＝0 B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
类型三 距离公式的综合应用
例3 已知正方形ABCD的中心M(－1,0)和一边CD所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在的直线方程．
跟踪训练3 求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．
【巩固提升】
一、选择题
1．点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为( )
A.
B.
C.
D．2
2．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于( )
A.
B．－
C．－
D.或－
3．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为( )
A．－6或
B．－或1
C．－或
D．0或
4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是( )
A．3x－4y＋4＝0
B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0
C．3x－4y＋16＝0
D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0
5．过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是( )
A．y＝1
B．2x＋y－1＝0
C．y＝1或2x＋y－1＝0
D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0
6．求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程( )
A．x＋2y－3＝0
B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0
D．x＋2y＋2＝0
二、填空题
7．直线5x＋12y＋3＝0与直线10x＋24y＋5＝0的距离是________．
8．已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为________．
9．与直线7x＋24y＝5平行且距离等于3的直线方程为__________________．
10．平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程为______________________．
三、解答题
11．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
12．已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程．
13．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．
(1)求BC边上的高所在直线的一般式方程；
(2)求△ABC的面积．
14．已知点P(2，－1)．
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离答案
例1 (1)求点P(3，－2)到下列直线的距离：
①y＝x＋；②y＝6；③x＝4.
(2)求过点A(－1,2)，且与原点的距离等于的直线方程．
【解析】 (1)①直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝.
②因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.
③因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.
(2)因为所求直线方程过点A(－1,2)，且斜率存在，所以设直线方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，又原点到直线的距离等于，所以＝，解得k＝－7或k＝－1.
故直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0.
跟踪训练1 求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程．
解析：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线l的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，点P到直线3x－y＋m＝0的距离d＝＝＝.
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6，得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
例2 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．
【解析】 方法一 设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0.
在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0，
则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为＝，
由题意，得＝2，所以C＝32，或C＝－20.
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
方法二 设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
由两平行直线间的距离公式得2＝，
解得C＝32，或C＝－20.
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
跟踪训练2 (1)两条平行线l1：3x＋4y＝10和l2：6x＋8y＝15间的距离是________；
(2)与直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为( )
A．2x＋y＝0 B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
解析：(1)l1，l2方程分别化为l1：3x＋4y－10＝0，l2：3x＋4y－＝0，
故l1与l2之间的距离d＝＝.
(2)根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，因为两直线间的距离等于，所以d＝＝，解得c＝0或c＝2.故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.故选D.
答案：(1) (2)D
例3 已知正方形ABCD的中心M(－1,0)和一边CD所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在的直线方程．
【解析】 因为AB∥CD，所以可设AB边所在的直线方程为x＋3y＋m＝0.
又因为AD⊥CD，BC⊥CD，故可设AD，BC边所在的直线方程为3x－y＋n＝0.
因为中心M(－1,0)到CD的距离为d＝＝，
所以点M(－1,0)到AD，AB，BC的距离均为，
由＝，得|n－3|＝6，解得n＝9或－3.
由＝，得|m－1|＝6，解得m＝7或－5(舍去)，
所以其他三边所在的直线方程分别为x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.
跟踪训练3 求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．
解析：由解得，即直线l过点B.
(1)当l与x轴垂直时，方程为x＝2，点A(－3,1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意．
(2)当l与x轴不垂直时，设斜率为k，则l的方程为y＋＝k(x－2)，即kx－y－2k－＝0，
由点A到l的距离为5，得＝5，解得k＝，
所以l的方程为x－y－－＝0，即4x－3y－10＝0.
综上，所求直线方程为x＝2或4x－3y－10＝0.
[巩固提升]
一、选择题
1．点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为( )
A. B.
C.
D．2
解析：直线y＝2x＋1即2x－y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝，故选A.
答案：A
2．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于( )
A.
B．－
C．－
D.或－
解析：由＝1，解得m＝或－，故选D.
答案：D
3．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为( )
A．－6或
B．－或1
C．－或
D．0或
解析：＝，即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或.
答案：A
4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是( )
A．3x－4y＋4＝0
B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0
C．3x－4y＋16＝0
D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0
解析：在直线3x－4y＋1＝0上取点(1,1)．设与直线3x－4y＋1＝0平行的直线方程为3x－4y＋m＝0，则＝3，解得m＝16或m＝－14，即所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.
答案：D
5．过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是( )
A．y＝1
B．2x＋y－1＝0
C．y＝1或2x＋y－1＝0
D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0
解析：∵kAB＝＝－2，过P与AB平行的直线方程为y－1＝－2(x－0)，
即：2x＋y－1＝0，又AB的中点C(4,1)，∴PC的方程为y＝1.
答案：C
6．求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程( )
A．x＋2y－3＝0
B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0
D．x＋2y＋2＝0
解析：解法一 设对称直线方程为x＋2y＋c＝0
∵＝
∴|c－1|＝2，∴c＝3或－1(舍)
解法二 设对称直线方程为x＋2y＋c＝0
取直线x＋2y－1＝0上一点A(1,0)，直线x＋2y＋1＝0上一点B(－1,0)，A关于B对称点C(－3,0)代入x＋2y＋c＝0得c＝3.
答案：B
二、填空题
7．直线5x＋12y＋3＝0与直线10x＋24y＋5＝0的距离是________．
解析：直线10x＋24y＋5＝0可化为5x＋12y＋＝0，
所以两平行直线间的距离d＝＝.
答案：
8．已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为________．
解析：设P(a,0)，则有＝6，解得a＝－12或8，∴点P的坐标为(－12,0)或(8,0)．
答案：(－12,0)或(8,0)
9．与直线7x＋24y＝5平行且距离等于3的直线方程为__________________．
解析：由题意设所求直线方程为7x＋24y＋c＝0，则有＝3，解得c＝70或c＝－80.即所求直线方程为7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0.
答案：7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0
10．平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程为______________________．
解析：设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－2)，则d＝＝1，∴c＝3或c＝－7，
即所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.
答案：3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0
三、解答题
11．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解析：(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，
整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0，
由点到直线的距离公式得＝3，
即＝3，
解得C＝1或C＝－29，
故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
12．已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程．
解析：∵l1∥l2，∴＝≠，
∴或
(1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，
把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，
∴＝，解得n＝－22或n＝18.
故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.
(2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，
l2的方程为2x－4y－1＝0，
∴＝，解得n＝－18或n＝22.
故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.
13．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．
(1)求BC边上的高所在直线的一般式方程；
(2)求△ABC的面积．
解析：(1)由斜率公式，得kBC＝5，
所以BC边上的高所在直线方程为y＋1＝－(x－2)，
即x＋5y＋3＝0.
(2)由两点间的距离公式，得|BC|＝，BC边所在的直线方程为y＋2＝5(x－3)，即5x－y－17＝0，
所以点A到直线BC的距离d＝＝，
故S△ABC＝××＝3.
14．已知点P(2，－1)．
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
解析：(1)①当l的斜率k不存在时显然满足要求，
∴l的方程为x＝2；
②当l的斜率k存在时，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由点到直线距离公式得＝2，
∴k＝，∴l的方程为3x－4y－10＝0.
故所求l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)易知过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与
PO垂直的直线，由l⊥OP得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2.
由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，
最大距离为＝.
