高中数学必修2全册导学案+同步练习
文档属性
| 名称 | 高中数学必修2全册导学案+同步练习 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 16.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-05-29 09:15:11 | ||
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文档简介
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第
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高
中
数
学
（必修2）
全册导学案和同步练习
第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
预习课本P2～4，思考并完成以下问题
1．空间几何体是如何定义的？分为几类？
2．常见的多面体有哪些？它们各自的结构特征是怎样的？
1．空间几何体
概念
定义
空间几何体
空间中的物体，若只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体
2．空间几何体的分类
分类
定义
图形及表示
相关概念
空间几何体
多面体
由若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体
面：围成多面体的各个多边形棱：相邻两个面的公共边顶点：棱与棱的公共点
空间几何体
旋转体
由一个平面图形绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体
轴：形成旋转体所绕的定直线
3．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
分类
定义
图形及表示
相关概念
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
如图可记作：棱柱ABCD?A′B′C′D′
底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点
棱锥
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
如图可记作：棱锥S?ABCD
底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点
棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台
如图可记作：棱台ABCD?A′B′
C′D′
上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台( )
(2)棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面( )
(3)棱台的底面是两个相似的正方形( )
(4)棱台的侧棱延长后必交于一点( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．有两个面平行的多面体不可能是( )
A．棱柱
B．棱锥
C．棱台
D．以上都错
解析：选B 棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．
3．关于棱柱，下列说法正确的有________(填序号)．
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
(2)棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；
(3)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．
解析：(1)不正确，反例如图所示．(2)正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形．
(3)不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体．
答案：(2)
棱柱的结构特征
[典例] 下列关于棱柱的说法中，错误的是( )
A．三棱柱的底面为三角形
B．一个棱柱至少有五个面
C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
[解析] 显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C错误；D正确，所以选C．
[答案] C
有关棱柱的结构特征问题的解题策略
(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析
①两个面互相平行；
②其余各面是四边形；
③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．
[活学活用]
下列关于棱柱的说法中正确的是( )
A．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
B．棱柱的一条侧棱的长叫作棱柱的高
C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
解析：选D 由棱柱的定义，知A不正确，例如长方体；只有直棱柱才满足选项B，故B不正确；C不正确，例如正六棱柱的相对侧面互相平行；D显然正确．故选D．
棱锥、棱台的结构特征
[典例] (1)下列说法正确的有( )
①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；
②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；
③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个
B．1个 C．2个 D．3个
(2)下列说法正确的有________个．
①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
②正棱锥的侧面是等边三角形．
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
[解析] (1)由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等，故①错；三棱柱是只有两个面平行的五面体，故②错．如图，可知③④错误．
(2)①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一
个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点．
②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．
③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD．满足底面△BCD为等边三角形．三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等．
[答案] (1)A (2)0
判断棱锥、棱台的2个方法
(1)举反例法：
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法：
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
[活学活用]
1．下列命题中正确的是( )
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．四棱锥有五个顶点
C．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
解析：选D A中，要用“平行于底面”的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才叫棱台，如果截棱锥的平面不与底面平行，棱锥底面与截面之间的部分只能叫多面体，故A错误；B中，根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点，故B错误；C中，正棱锥还要求底面是正多边形，故C错误；D中，由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故D正确．
2．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )
A．四边形
B．三角形
C．三角形或四边形
D．不可能为四边形
解析：选C 如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．
多面体的平面展开图问题
[典例] 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
[解] 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示．
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
(1)解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．
(2)若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．
(3)若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．
[活学活用]
1．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是( )
解析：选C 将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以围成正方体．
2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )
A．1
B．9
C．快
D．乐
解析：选B 由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与9相对，0与快相对，所以下面是9.
层级一 学业水平达标
1．关于如图所示的4个几何体，说法正确的是( )
A．只有②是棱柱
B．只有②④是棱柱
C．只有①②是棱柱
D．只有①②④是棱柱
解析：选D 解决这类问题，要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义，正确；图③不满足侧面都是平行四边形，不正确．
2．下面图形中，为棱锥的是( )
A．①③
B．①③④
C．①②④
D．①②
解析：选C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C．
3.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
解析：选C 根据棱台是由棱锥截成的进行判断．
选项A中≠，故A不正确；选项B中≠，故B不正确；选项C中＝＝，故C正确；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台．故选C．
4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥
解析：选D 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．
5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )
解析：选C C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱．
6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．
解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．
答案：4 8
7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．
解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
答案：5 6 9
8．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60
cm，则每条侧棱长为________cm.
解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12
cm.
答案：12
9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)这是一个六棱锥．
(3)这是一个三棱台．
10.如图，已知三棱台ABC?A′B′C′.
(1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；
(2)把它分成三个三棱锥，并用字母表示．
解：(1)作B′E∥AA′交AB于点E，C′D∥AA′交AC于点D，如图，连接ED，则分成一个三棱柱AED?A′B′C′和一个多面体C′B′EBCD．
(2)如图，平面AB′C′和平面AB′C能把三棱台分成三个三棱锥，分别为三棱锥B′?AA′C′，三棱锥B′?ACC′，三棱锥B′?ABC．
层级二 应试能力达标
1．下列说法正确的是( )
A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
B．多面体至少有3个面
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
解析：选D 选项A错误，反例如图1；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．
2．下列说法正确的是( )
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱
解析：选D 棱柱与棱锥的底面可以是任意多边形，A、B不正确．过棱锥的顶点的纵截面可以把棱锥分成两个棱锥，C不正确．
3．已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为4
cm，高为10
cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面，绕行两周到达点A1的最短路线的长为( )
A．16
cm
B．12
cm
C．24
cm
D．26
cm
解析：选D 将正三棱柱ABC?A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，如图所示，最短距离是六个小矩形拼成的矩形对角线的连线的长度，即为三棱柱的侧面上所求路线的最小值．由已知，拼成的矩形的长等于6×4＝24
cm，宽等于10
cm，所以最短路线为l＝＝26
cm，故选D．
4．五棱柱中，不同在任何侧面，且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线( )
A．20条 B．15条 C．12条 D．10条
解析：选D 由题意，知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条，所以五棱柱共有对角线2×5＝10(条)．故选D．
5.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.
解析：将平面图形翻折，折成空间图形，
可得∠ABC＝60°.
答案：60°
6．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：
①点H与点C重合；
②点D，M，R重合；
③点B与点Q重合；
④点A与点S重合．
其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．
解析：将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记，若记面NPGF为“下”，面PSRN为“后”，则面PQHG，MNFE，EFCB，DEBA分别为“右”“左”“前”“上”．按各面的标记折成正方体，则点D，M，R重合；点G，C重合；点B，H重合；点A，S，Q重合．故②④正确，①③错误．
答案：②④
7.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？
解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．
(2)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，
S△DEF＝a2.
8.如图，已知长方体ABCD?A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？
解：(1)是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．
(2)各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB1F?CC1E和棱柱ABFA1?DCED1.
第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征
预习课本P5～7，思考并完成以下问题
1．常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？
2．这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？它们的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？
1．圆柱、圆锥、圆台、球
分类
定义
图形及表示
表示
圆柱
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为圆柱OO′
圆锥
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为圆锥SO
圆台
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
我们用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为圆台OO′
球
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径
球常用球心字母进行表示，左图可表示为球O
[点睛] 球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．
2．简单组合体
(1)概念：
由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
(2)构成形式：
有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．
[点睛] 要描述简单几何体的结构特征，关键是仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的结构特征，对原组合体进行分割．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥( )
(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱( )
(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台( )
(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．圆锥的母线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．无数条
答案：D
3.右图是由哪个平面图形旋转得到的( )
解析：选A 图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．
旋转体的结构特征
[典例] 给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．
[解析] (1)正确，圆柱的底面是圆面；
(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；
(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．
[答案] (1)(2)
1．判断简单旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成；
(2)明确旋转轴是哪条直线．
2．简单旋转体的轴截面及其应用
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
[活学活用]
1．下列关于圆柱的说法中不正确的是( )
A．圆柱的所有母线长都相等
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱
解析：选C 根据圆柱的定义和结构特征，易知选项C不正确．
2．给出以下说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；
②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；
③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；
④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．
其中正确说法的序号是________．
解析：根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆；④正确．
答案：①④
简单组合体
[典例]
描述下列几何体的结构特征.
[解]
图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.
[答案] D
解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力．
[活学活用]
1．如图所示的组合体，其构成形式是( )
A．左边是三棱台，右边是圆柱
B．左边是三棱柱，右边是圆柱
C．左边是三棱台，右边是长方体
D．左边是三棱柱，右边是长方体
解析：选D 根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．
2.如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．
解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．
圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用
[典例] 如图所示，已知圆柱的高为80
cm，底面半径为10
cm，轴截面上有P，Q两点，且PA＝40
cm，B1Q＝30
cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？
[解] 将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示矩形．
∴A1B1＝·2πr＝πr＝10π(cm)．
过点Q作QS⊥AA1于点S，
在Rt△PQS中，PS＝80－40－30＝10(cm)，
QS＝A1B1＝10π(cm)．
∴PQ＝＝10(cm)．
即蚂蚁爬过的最短路径长是10
cm.
求几何体表面上两点间的最小距离的步骤
(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；
(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；
(3)结合已知条件求得结果．
[活学活用]
如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面直径构成边长为6
m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．(结果不取近似值)
解：∵△ABC为正三角形，
∴BC＝6，
∴l＝2π×3＝6π，
根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：
＝6π，
故n＝180°，则∠B′AC＝90°，
∴B′P＝＝3(m)，
∴小猫所经过的最短路程是3
m.
层级一 学业水平达标
1．如图所示的图形中有( )
A．圆柱、圆锥、圆台和球
B．圆柱、球和圆锥
C．球、圆柱和圆台
D．棱柱、棱锥、圆锥和球
解析：选B 根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B．
2．下列命题中正确的是( )
A．将正方形旋转不可能形成圆柱
B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
解析：选C 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C．
3．下列说法中正确的个数是( )
①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；
②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；
③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选C ①中，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．
4.如图所示的组合体的结构特征是( )
A．一个棱柱中截去一个棱柱
B．一个棱柱中截去一个圆柱
C．一个棱柱中截去一个棱锥
D．一个棱柱中截去一个棱台
解析：选C 如题图，可看成是四棱柱截去一个角，即截去一个三棱锥后得到的简单组合体，故为一个棱柱中截去一个棱锥所得．故选C．
5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )
A．一个圆锥
B．一个圆锥和一个圆柱
C．两个圆锥
D．一个圆锥和一个圆台
答案：C
6．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．
解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．
答案：两个同底的圆锥组合体
7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3
cm，则圆台的母线长为________
cm.
解析：如图所示，设圆台的母线长为x
cm，
截得的圆台的上、下底半径分别为r
cm,4r
cm，
根据三角形相似的性质，得＝，解得x＝9.
答案：9
8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．
答案：圆柱
9.如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，它绕AB边所在直线旋转一周后形成的几何体结构如何？
解：旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．
10．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．
解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．
(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．
(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．
层级二 应试能力达标
1．下列结论正确的是( )
A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
B．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台，故A错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C错误．故选D．
2.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是( )
解析：选D 结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A、B、C错误．
3．用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( )
A．8
B．
C．
D．
解析：选B 由题意可知，假设围成的圆柱底面周长为4，高为2，设圆柱底面圆的半径为r，则2πr＝4，所以r＝，所以截面是长为2，宽为的矩形，所以截面面积为2×＝.同理，当围成的圆柱底面周长为2，高为4时，截面面积为.
4．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )
A．一个圆台、两个圆锥
B．两个圆台、一个圆柱
C．两个圆柱、一个圆台
D．一个圆柱、两个圆锥
解析：选D 从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱、两个圆锥所组成的几何体，如图所示．
5．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：________(填序号)．
①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球．
解析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥．
答案：①②③⑤
6．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π
cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.
解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，
则该小圆的半径r＝6，其中∠ABO＝30°，
所以该地球仪的半径R＝＝4
cm.
答案：4
7．一个圆台的母线长为12
cm，两底面面积分别为4π
cm2和25π
cm2.
(1)求圆台的高；
(2)求截得此圆台的圆锥的母线长．
解：(1)过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形，记为ABCD，
如图
所示．作AM⊥BC于点M.
记圆台的上、下底面的圆心分别为O1，O，连接O1O.
由已知可得上底面半径O1A＝2
cm，下底面半径OB＝5
cm，且腰长AB＝12
cm，
所以AM＝＝3(cm)，
即圆台的高为3
cm.
(2)如图，延长BA，OO1，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l.
则由△SAO1∽△SBO，可得＝，解得l＝20
cm，
即截得此圆台的圆锥的母线长为20
cm.
8．圆锥底面半径为1
cm，高为
cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．
解：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC1A1如图．设正方体的棱长为x
cm，则AA1＝x
cm，A1C1＝x
cm.
作SO⊥EF于点O，则SO＝
cm，OE＝1
cm.
∵△EAA1∽△ESO，
∴＝，
即＝.
∴x＝，即该内接正方体的棱长为
cm.
1．2.1&1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图
预习课本P11～14，思考并完成以下问题
1．平行投影、正投影的定义是什么？
2．正视图、侧视图、俯视图的定义分别是什么？
3．怎样画空间几何体的三视图？
4．如何识别三视图所表示的立体模型？
1．投影的定义
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．
2．中心投影与平行投影
投影
定义
特征
分类
中心投影
光由一点向外散射形成的投影
投影线交于一点
平行投影
在一束平行光线照射下形成的投影
投影线互相平行
正投影和斜投影
[点睛] 平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．
3．三视图
三视图
概念
规律
正视图
光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图
一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样
侧视图
光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图
俯视图
光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图
[点睛] 三视图中的每种视图都是正投影．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的平行投影是直线( )
(2)圆柱的正视图与侧视图一定相同( )
(3)球的正视图、侧视图、俯视图都相同( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是( )
解析：选D 阳光可看作平行光线，所以树影可以看作平行投影．若两棵小树的影子的方向相反，则不可能为同一时刻阳光下的影子，所以A、B选项错误；在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项错误．故选D．
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )
A．棱柱
B．棱台
C．圆柱
D．圆台
解析：选D 先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体．由俯视图是圆环可排除A、B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D．
中心投影与平行投影
[典例] 下列命题中正确的是( )
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．平行投影与中心投影的投影线均互相平行
C．两条相交直线的投影可能平行
D．如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点
[解析] 平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影的形状不固定，故A不正确．平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点，故B不正确．无论是平行投影还是中心投影，两条直线的交点都在两条直线的投影上，因而两条相交直线的投影不可能平行，故C不正确．两条线段的平行投影长度的比等于这两条线段长度的比，故D正确．
[答案] D
画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．
[活学活用]
1．下列的四个图形中采用中心投影画法的是( )
解析：选A 根据平行投影和中心投影的画法规则，B、C、D选项中的图形均为平行投影下的图形，而A选项中的图形采用的是中心投影画法．
2.如图，E，F分别是正方体ABCD?A1B1C1D1的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(把所有可能图形的序号都填上)．
解析：图②是在平面DCC1D1或平面ABCD上的正投影；图③是在平面BCC1B1上的正投影．图①④均不符合．
答案：②③
由几何体画三视图
[典例] 画出如图所示的正四棱锥的三视图．
[解] 正四棱锥的三视图如图所示．
三视图的画法规则
(1)排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边．
(2)画法规则：
①正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；
②侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；
③俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”．
(3)线条的规则：
①能看见的轮廓线用实线表示；
②不能看见的轮廓线用虚线表示．
[活学活用]
1.如图所示，四面体A?BCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体A?BCD的正视图、侧视图、俯视图依次是( )
A．①②⑥
B．①②③
C．④⑤⑥
D．③④⑤
解析：选B 四面体A?BCD的正视图是边长分别为3,4的矩形，对角线左上至右下为虚线，左下至右上为实线，为①；侧视图是边长分别为4,5的矩形，对角线左上至右下为实线，左下至右上为虚线，为②；俯视图是边长分别为3,5的矩形，对角线左上至右下为实线，左下至右上为虚线，为③，故选B．
2．画出如图所示的物体的三视图．
解：三视图如图所示．
由三视图还原几何体
[典例] 根据如图所示的三视图，画出几何体．
[解] 由正视图、侧视图可知，该几何体为简单几何体的组合体，结合俯视图为大正方形里有一个小正方形，可知该组合体上面为一个正方体，下面为一个下底面是正方形的倒置的四棱台．如图所示．
由三视图还原几何体，要遵循以下三步：(1)看视图，明关系；(2)分部分，想整体；(3)综合起来，定整体．只要熟悉简单几何体的三视图的形状，由简单几何体的三视图还原几何体并不困难．对于组合体，需要依据三视图将它分几部分考虑，确定它是由哪些简单几何体组成的，然后利用上面的步骤，分开还原，再合并即可．注意依据三视图中虚线、实线确定轮廓线．
[活学活用]
若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
解析：选B 由题意知，A和C中所给几何体的正视图、俯视图不符合要求；D中所给几何体的侧视图不符合要求；由侧视图可判断该几何体的直观图是B．故选B．
与三视图有关的计算问题
[典例] 如图1所示，将一边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C?ABD，其正视图与俯视图如图2所示，则侧视图的面积为( )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由正视图可以看出，A点在面BCD上的投影为BD的中点，由俯视图可以看出C点在面ABD上的投影为BD的中点，所以其侧视图为如图所示的等腰直角三角形，直角边为，于是侧视图的面积为××＝.
[答案] A
这类问题常常是给出几何体的三视图，由三视图中的数据，还原出几何体，并得出相关的数据，再求出相关的量，如体积、面积等．
[活学活用]
如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，求三棱锥P?ABC的正视图与俯视图的面积的比值的最大值．
解：点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，
则三棱锥P?ABC的正视图始终是一个底为1，高为2的三角形，
其面积S1＝×1×2＝1.
当点P在底面ABCD内的投影点在△ABC的内部或边界上时，其俯视图的面积最小，
最小面积S2＝×1×1＝，
所以三棱锥P?ABC的正视图与俯视图的面积的比值的最大值为＝2.
层级一 学业水平达标
1．已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的三角形与△ABC( )
A．全等
B．相似
C．不相似
D．以上都不正确
解析：选B 根据中心投影的概念和性质可知，经过中心投影后所得的三角形与△ABC相似．
2．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为( )
A．上面为棱台，下面为棱柱
B．上面为圆台，下面为棱柱
C．上面为圆台，下面为圆柱
D．上面为棱台，下面为圆柱
解析：选C 结合三视图，易知该几何体上面为圆台，下面为圆柱．
3．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
解析：选B 由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．
4．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能为：①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是( )
A．①②
B．②③
C．①④
D．③④
解析：选C 由正视图和侧视图，可知俯视图的长与宽的比例为3∶2，故选C．
5.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
解析：选A 由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；左面的面对角线在侧视图中对应一条对角线，且对角线的方向应该从左上到右下，B、C不正确．故选A．
6．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，四棱柱、圆柱无论怎样放置，其正视图都不可能是三角形．
答案：①②③⑤
7．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是____________和____________．
解析：正三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底面边长为4.
答案：2 4
8.如图所示，在正方体ABCD?A′B′C′D′中，E，F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断正确的是________．(填序号)
①四边形BFD′E在面ABCD内的正投影是正方形；
②四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影是菱形；
③四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．
解析：①四边形BFD′E的四个顶点在面ABCD内的投影分别是点B，C，D，A，所以正投影是正方形，即①正确；②设正方体的棱长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，连接AG，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，知四边形AGD′E是平行四边形，但AE＝1，D′E＝，所以四边形AGD′E不是菱形，即②不正确．对于③，由②可知两个正投影所得四边形是全等的平行四边形，从而③正确．
答案：①③
9．画出如图所示的三棱柱的三视图．
解：三棱柱的三视图如图所示：
10．如图(1)所示是实物图，图(2)和图(3)是其正视图和俯视图，你认为正确吗？如不正确请改正．
解：不正确，正确的正视图和俯视图如图所示：
层级二 应试能力达标
1.某个游戏环节，玩家需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为( )
解析：选A 由题意知，图中正方形、圆形、三角形对应某几何体的三视图，结合选项中给出的图形分析可知，A中几何体满足要求．故选A．
2．在一个几何体的三视图中，正视图和侧视图是两个完全相同的图形，如图所示，则相应的俯视图可以为( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
解析：选D 若俯视图为图①，则该几何体的正视图的上方三角形应该没有高线，故俯视图不可能为图①，排除选项A；若俯视图为图③，则该几何体的侧视图的上方应该没有左边小三角形，故俯视图不可能为图③，排除选项B、C；若俯视图为图②，则该几何体是由上面是正四棱锥，下面是正方体组合而成的简单组合体；若俯视图为图④，则该几何体是由上面是正四棱锥，下面是圆柱组合而成的简单组合体．故选D．
3．某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于
( )
A．4
B．
C．
D．5
解析：选C 根据几何体的三视图，得该几何体是底面为直角三角形，有两个侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，最长的棱长等于＝，故选C．
4.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
A．10
B．12
C．14
D．16
解析：选B 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为×2＝12，故选B．
5.如图，在多面体ABC?A′B′C′中，底面ABC为正三角形，三条侧棱AA′，BB′，CC′分别平行，侧棱垂直于底面ABC，且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则下面图形可视为多面体ABC?A′B′C′的正视图的是________．
解析：根据正视图的画法，因为底面ABC为正三角形且AA′所以正视图为④.
答案：④
6.已知一正四面体的俯视图如图所示，它是边长为2
cm的正方形，则这个正四面体的正视图的面积为______cm2.
解析：构造一个棱长为2
cm的正方体ABCD?A1B1C1D1，在此正方体中作出一个符合题意的正四面体A?B1CD1，易得该正四面体的正视图是一个底边长为2
cm，高为2
cm的等腰三角形，从而可得正视图的面积为2
cm2.
答案：2
7．已知图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．
解：图①几何体的三视图为：
图②所示的几何体是上面为正六棱柱、下面为倒立的正六棱锥的组合体．
8．一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，根据三视图回答下列问题：
(1)该物体有多少层？
(2)该物体的最高部分位于哪里？
(3)该物体一共由几个小正方体构成？
解：(1)该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来．
(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排．
(3)从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排．
第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个．该物体一共由7个小正方体构成．
1.2.3 空间几何体的直观图
预习课本P16～18，思考并完成以下问题
1．画简单几何体的直观图的步骤是什么？
2．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？
3．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么？
1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，
两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．
[点睛] (1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°( )
(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变( )
答案：(1)× (2)×
2．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )
解析：选A 由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．
3.如图所示，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是( )
A．2
B．1
C．
D．4
解析：选C 在△AOB中，OB＝O′B′＝1，OA＝2O′A′＝2，
且∠AOB＝90°，S△AOB＝OA·OB＝×1×2＝.
水平放置的平面图形的直观图
[典例] 画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
[解] (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使
∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．
(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC．连接B′C′，如图②.
(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．
[活学活用]
用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形OBCD的直观图．
解：(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示．
(2)画出相应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取点D′，使得O′D′＝OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC．
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．
空间几何体的直观图
[典例] 画出一个上、下底面边长分别为1,2，高为2的正三棱台的直观图．
[解] (1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画下底面．以O为线段中点，在x轴上取线段AB，使AB＝2，在y轴上取线段OC，使OC＝.连接BC，CA，则△ABC为正三棱台的下底面的直观图．
(3)画上底面．在z轴上取OO′，使OO′＝2，过点O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐标系x′O′y′.在x′O′y′中，类似步骤(2)的画
法得上底面的直观图△A′B′C′.
(4)连线成图．连接AA′，BB′，CC′，去掉辅助线，将被遮住的部分画成虚线，则三棱台ABC?A′B′C′即为要求画的正三棱台的直观图．
画空间图形的直观图的原则
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直．
(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．
(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半．
(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．
[活学活用]
如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
解：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′.
(3)画正四棱锥顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．
(4)成图．连接PA′，PB′，PC′，PD′，A′A，B′B，C′C，D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.
直观图的还原与计算
[典例] 如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是( )
A．14
B．10
C．28
D．14
[解析] ∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，
A′B′≠C′D′，
∴原图形是一个直角梯形．
又A′D′＝4，
∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，故其面积为S＝×(2＋5)×8＝28.
[答案] C
平面多边形与其直观图面积间关系：
一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直＝S原．
[活学活用]
已知△ABC是正三角形，且它的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A．a2
B．a2
C．a2
D．a2
解析：选D 如图①，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
如图②，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法知：A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，过C′作C′D′⊥O′x′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以△A′B′C′的面积是S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2.
层级一 学业水平达标
1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )
A．90°，90°
B．45°，90°
C．135°，90°
D．45°或135°，90°
解析：选D 根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.
2．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20
m，5
m,10
m，四棱锥的高为8
m，如果按1∶500
的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A．4
cm,1
cm,2
cm,1.6
cm
B．4
cm,0.5
cm,2
cm,0.8
cm
C．4
cm,0.5
cm,2
cm,1.6
cm
D．4
cm,0.5
cm,1
cm,0.8
cm
解析：选C 直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的，，计算，最后单位转化为
cm.
3．利用斜二测画法画边长为1
cm的正方形的直观图，可能是下面的( )
解析：选C 正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C项．
4.如右图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是
△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中( )
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
解析：选C 因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC中点，所以AB＝AC>AD．
5．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．任意三角形
解析：选C 将△A′B′C′还原，由斜二测画法知，△ABC为钝角三角形．
6.水平放置的正方形ABCO如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
解析：由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B′E⊥x′轴于点E，在Rt△B′EC′中，B′C′＝2，∠B′C′E＝45°，所以B′E＝B′C′sin
45°＝2×＝.
答案：
7.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．
解析：在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3，所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，所以其面积为6×6＝36.
答案：36
8.在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2
cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.
解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2
cm，OC＝4
cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．
答案：矩形 8
9．已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．
解：(1)画轴．如图①，画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆台的两底面．利用椭圆模板，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的长度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，类似底面⊙O的作法作出上底面⊙O′.
(3)画圆锥的顶点．在O′z上截取O′P，使O′P等于三视图中O′P的长度．
(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图所表示的几何体的直观图，如图②.
10.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1
cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．
解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′＝1
cm；
在y轴上取OB＝2O′B′＝2
cm；
在过点B的x轴的平行线上取
BC＝B′C′＝1
cm.
连接O，A，B，C各点，即得到了原图形．
由作法可知，OABC为平行四边形，
OC＝＝＝3
cm，
∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8
cm，面积为S＝1×2＝2
cm2.
层级二 应试能力达标
1.已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一个( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．三边中有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
解析：选A 根据斜二测画法的原则，得BC＝B′C′＝2，
OA＝2A′O′＝2×＝，AO⊥BC，∴AB＝AC＝BC＝2，∴△ABC是等边三角形．
2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB边平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2
cm2，则原平面图形A′B′C′D′的面积为( )
A．4
cm2
B．4
cm2
C．8
cm2
D．8
cm2
解析：选C 依题意，可知∠BAD＝45°，则原平面图形A′B′C′D′为直角梯形，上、下底边分别为B′C′，A′D′，且长度分别与BC，AD相等，高为A′B′，且长度为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8
cm2.
3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′＝4，A′B′∥y′
轴，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为( )
A．2
B．
C．16
D．1
解析：选A 因为A′B′∥y′轴，所以在△ABO中，AB⊥OB．又△ABO的面积为16，所以AB·OB＝16.所以AB＝8，所以A′B′＝4.如图，作A′C′⊥O′B′于点C′，所以B′C′＝A′C′，所以A′C′的长为4sin
45°＝2.
4.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为( )
A．
B．
C．5
D．
解析：选A 由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为.故选A．
5．有一个长为5
cm，宽为4
cm的矩形，则其直观图的面积为________
cm2.
解析：该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S′＝S＝5(cm2)．
答案：5
6.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________．
解析：设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中边O′B′与原图形中边OB的长度相等，及S原图＝2S直观图，得OB×h＝2××A′O′×O′B′，则h＝4.故△AOB的边OB上的高为4.
答案：4
7.如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．
解：画出平面直角坐标系xOy，使点A与O重合，在x轴上取点C，使AC＝，再在y轴上取点D，使AD＝2，取AC的中点E，连接DE并延长至点B，使DE＝EB，连接DC，CB，BA，则四边形ABCD为正方形A′B′C′D′的原图形(也可以过点C作BC∥y轴，且使CB＝AD＝2，然后连接AB，DC)，如图所示．
易知四边形ABCD为平行四边形，∵AD＝2，AC＝，∴S?ABCD＝2×＝2.
8．已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：cm)．
解：画法：
(1)建系：如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底：在x轴上取线段OB＝8
cm，在y轴上取线段OA′＝2
cm，以OB和OA′为邻边作平行四边形OBB′A′.
(3)定点：在z轴上取线段OC＝4
cm，过C分别作x轴，y轴的平行线，并在平行线上分别截取CD＝4
cm，CC′＝2
cm.以CD和CC′为邻边作平行四边形CDD′C′.
(4)成图：连接A′C′，BD，B′D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到该几何体的直观图(如图②)．
1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
预习课本P23～27，思考并完成以下问题
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？
4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？
1．柱体、锥体、台体的表面积公式
图形
表面积公式
多面体
多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积
旋转体
圆柱
底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2
圆锥
底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
2．柱体、锥体、台体的体积公式
柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；
锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；
台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h.
[点睛] (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积( )
(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( )
答案：(1)× (2)√
2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是( )
A．a2
B．a2
C．a2
D．a2
解析：选A ∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，∴S表＝a2＋3××2＝a2.
3．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________．
解析：由已知圆锥的高h＝4，
所以V圆锥＝π×32×4＝12π.
答案：12π
柱、锥、台的表面积
[典例] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．
[解] 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2＝2＋2＝＝＝64，∴AB＝8.
∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.
(1)求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．
(2)结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解．
[活学活用]
1．一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图都是腰长为5、底边长为8的等腰三角形，俯视图是边长为8的正方形，则此几何体的侧面积为( )
A．48
B．64
C．80
D．120
解析：选C 根据几何体的三视图，可知该几何体是正四棱锥，其底面边长为8，斜高为5，则该几何体的侧面积为4××8×5＝80，故选C．
2．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )
A．81π
B．100π
C．168π
D．169π
解析：选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.
故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
柱、锥、台的体积
[典例] 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2π＋2
B．4π＋2
C．2π＋
D．4π＋
[解析] 该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×＝，所以该几何体的体积为2π＋.
[答案] C
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．
(2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
[活学活用]
1．已知三棱锥S
?ABC的棱长均为4，则该三棱锥的体积是________．
解析：如图，在三棱锥S
?ABC中，作高SO，连接AO并延长AO交BC于点D，则AO＝×4×＝.在Rt△SAO中，SO＝＝，所以V＝×××42＝.
答案：
2．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．
解析：设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π，∴l＝2，∴h＝，∴V＝π(12＋22＋1×2)×＝π.
答案：π
几何体体积的求法
题点一：等积变换法
1.如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A?DED1的体积为________．
解析：V三棱锥A?DED1＝V三棱锥E?DD1A＝××1×1×1＝.
答案：
2.如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P?ABC的体积V.
解：三棱锥的体积V＝Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．
故V＝S△PAC·PB＝××2×4×3＝4.
题点二：分割法
3.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．
解：如图，连接EB，EC．四棱锥E?ABCD的体积
V四棱锥E?ABCD＝×42×3＝16.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F?EBC＝V三棱锥C?EFB＝V三棱锥C?ABE＝V三棱锥E?ABC＝×V四棱锥E?ABCD＝4.
∴多面体的体积V＝V四棱锥E?ABCD＋V三棱锥F?EBC＝16＋4＝20.
题点三：补形法
4．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．
解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
5．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝，BC＝AD＝2，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．
解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图．
设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，
则∴
∵VD?ABE＝DE·S△ABE＝V长方体，
同理，VC?ABF＝VD?ACG＝VD?BCH＝V长方体，
∴V四面体ABCD＝V长方体－4×V长方体＝V长方体．
而V长方体＝2×3×4＝24，∴V四面体ABCD＝8.
(1)三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫作体积转移法(或称等积法)．
(2)当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，这时可通过分割或补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积．
层级一 学业水平达标
1．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为( )
A．6
B．
C．2
D．2
解析：选B 由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为，可知高h＝2，又因为底面积S＝，所以体积V＝Sh＝××2＝.
2．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2
B．1∶
C．1∶
D．∶2
解析：选C 设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.
3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：选C 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的两底边长分别为1,2，高为2，
∴该几何体的体积为V＝×(2＋1)×2×2＝6.
4．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是
( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A 设圆柱的底面半径为r，高为h，
则由题设知h＝2πr，
∴S表＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)，
又S侧＝h2＝4π2r2，
∴＝.
5．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．20＋2π
B．20＋3π
C．24＋2π
D．24＋3π
解析：选B 该几何体为正方体与半个圆柱的组合体，其表面积为S＝π×12＋
×2π×1×2＋5×22＝20＋3π.故选B．
6．过长方体一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，体对角线的长是2，则这个长方体的体积是________．
解析：设过长方体一个顶点的三条棱长分别为x,2x,3x，由体对角线长为2，则x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2)2，解得x＝2.所以三条棱长分别为2,4,6.所以V长方体＝2×4×6＝48.
答案：48
7．把由曲线y＝|x|和y＝2围成的图形绕x轴旋转360°，所得旋转体的体积为________．
解析：由题意，y＝|x|和y＝2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个共顶点的圆锥．
∵V圆柱＝π×22×4＝16π，2V圆锥＝2×π×22×2＝，
∴所求几何体的体积为16π－＝.
答案：π
8．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3
，则a＝________.
解析：由三视图，可知几何体为一个放倒的直三棱柱，则该几何体的体积V＝3×＝3
，所以a＝.
答案：
9.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，若四边形ABCD绕AD旋转一周成为几何体．
(1)画出该几何体的三视图；
(2)求出该几何体的表面积．
解：(1)如图所示．
(2)过C作CE垂直AD延长线于E点，
作CF垂直AB于F点．
由已知得：DE＝2，CE＝2，
∴CF＝4，BF＝5－2＝3.
∴BC＝＝5.
∴下底圆面积S1＝25π，
台体侧面积S2＝π×(2＋5)×5＝35π，
锥体侧面积S3＝π×2×2＝4π，
故表面积S＝S1＋S2＋S3＝(60＋4)π.
10.如图，已知正三棱锥S?ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
解：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.
∵S侧＝2S底，
∴·3a·h′＝a2×2.
∴a＝h′.
∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.
∴32＋2＝h′2.
∴h′＝2，∴a＝h′＝6.
∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.
∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
层级二 应试能力达标
1.已知高为3的棱柱ABC?A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B?AB1C的体积为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选D VB?AB1C＝VB1?ABC＝S△ABC×h＝××3＝.
2．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )
A．
B．
C．2＋
D．3＋
解析：选B 根据三视图，可得该几何体是上部为三棱柱、下部为长方体的组合体，且三棱柱的底面是底边长为1，底边上的高为1的等腰三角形，三棱柱的高是3，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高是2，所以该几何体的体积为V三棱柱＋V长方体＝×1×1×3＋1×1×2＝.故选B．
3．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．88＋(2－2)π
B．96＋(2－4)π
C．88＋(4－4)π
D．88＋(2－4)π
解析：选A 由三视图，可知该几何体为一个正方体挖去一个半圆锥得到的几何体，故所求几何体的表面积S＝4×4×6－×4×4－＋×π×2×2＝88＋(2－2)π.故选A．
4．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A 由三视图知该几何体左边是四棱锥，即“阳马”，底面边长为1和
，高为1，其体积V1＝×1××1＝；
右边是直三棱柱，即“堑堵”，底面边长是和1的直角三角形，高为1，其体积V2＝×1××1＝；
故该几何体的体积V＝V1＋V2＝＋＝.
5．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是________．
解析：几何体的直观图为正方体去掉以正方体中心为顶点，上底面为底面的四棱锥，
其体积为2×2×2－×1×22＝.
答案：
6．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．
解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.
答案：8
7．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．
(1)画出这个几何体(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
解：
(1)这个几何体如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q?A1D1P的组合体．
由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.
故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝(22＋4)cm2，
所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．
8．一个圆锥的底面半径为2
cm，高为6
cm，在其内部有一个高为x
cm的内接圆柱．
(1)求圆锥的侧面积．
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．
解：(1)圆锥的母线长为＝2(cm)，
∴圆锥的侧面积S1＝π×2×2＝4
π(cm2)．
(2)画出圆锥的轴截面如图所示：
设圆柱的底面半径为r
cm，由题意，知＝，
∴r＝，
∴圆柱的侧面积S2＝2πrx＝(－x2＋6x)＝－[(x－3)2－9]，
∴当x＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π
cm2.
1．3.2 球的体积和表面积
预习课本P27～28，思考并完成以下问题
1．球的表面积公式是什么？
2．球的体积公式是什么？
1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝πR3.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个球的半径之比为1∶3，则其表面积之比为1∶9( )
(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径( )
答案：(1)√ (2)√
2．将直径为2的半圆面绕直径所在的直线旋转半周而形成的几何体的表面积为( )
A．2π
B．3π
C．4π
D．6π
解析：选B 由题意，知该几何体为半球，表面积为半径为1的圆的面积加上半径为1的球的表面积的一半，所以S表面积＝π×12＋×4×π×12＝3π，故选B．
3．已知球O的表面积为16π，则球O的体积为( )
A．π
B．π
C．π
D．π
解析：选D 因为球O的表面积是16π，所以球O的半径为2，所以球O的体积为×23＝π，故选D．
球的体积与表面积
[典例] (1)若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为( )
A． B．1 C．2 D．3
(2)一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为________．
[解析]
(1)设球的半径为r，则球的体积为πr3，球的表面积为4πr2，故πr3＝4πr2，解得r＝3.
(2)由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和．因为R＝1，所以S＝×4×π×12＋2××π×12＝4π.
[答案] (1)D (2)4π
求球的体积与表面积的方法
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．
(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．
[活学活用]
某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．
解析：由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面与截面面积的和，即×4π×12＋π×12＝3π.
答案：3π
球的截面问题
[典例] 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8
cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6
cm，若不计容器厚度，则球的体积为( )
A．
cm3
B．
cm3
C．
cm3
D．
cm3
[解析] 如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为R
cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5.∴V球＝π×53＝π(cm3)．
[答案] A
球的截面问题的解题技巧
(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
[活学活用]
一平面截一球得到直径为2
cm的圆面，球心到这个平面的距离是2
cm，则该球的体积是( )
A．12π
cm3
B．36π
cm3
C．64π
cm3
D．108π
cm3
解析：选B 设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示．
在Rt△OO1A中，O1A＝
cm，
OO1＝2
cm，
∴球的半径R＝OA＝
＝3(cm)，
∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3).
与球有关的切接问题
题点一：球的外切正方体问题
1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×13＝.
题点二：球的内接长方体问题
2．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．
解析：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝＝，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.
答案：14π
题点三：球的外接正四面体问题
3．已知某正四面体的内切球的体积是1，则该正四面体的外接球的体积是( )
A．27
B．16
C．9
D．3
解析：选A 设正四面体的外接球、内切球的半径分别为R，r，则＝3.由题意知πr3＝1，则外接球的体积是πR3＝27×πr3＝27，故选A．
题点四：球的内接圆锥问题
4．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．
解析：①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为
＝，高为.
该圆锥的体积为×π×2×＝πr3，球体积为πr3，∴该圆锥的体积和此球体积的比值为＝.
②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为.
答案：或
题点五：球的内接直棱柱问题
5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2
B．πa2
C．πa2
D．5πa2
解析：选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R＝OA满足R2＝2＋2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.
(1)正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
(2)长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2＝
，如图(2)．
(3)正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a.
层级一 学业水平达标
1．若过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A 设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r.画图可知，R2＝R2＋r2，∴R2＝r2.
∴S球＝4πR2，截面圆M的面积为πr2＝πR2，
则所得截面的面积与球的表面积的比为＝.故选A．
2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为
( )
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
解析：选A 设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝a2h＝a2＝6，得a＝.由题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋()2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A．
3．已知某几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图，侧(左)视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )
A．＋
B．＋
C．＋
D．＋
解析：选C 由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得V＝××3＋××1×1×1＝＋.故选C．
4．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是( )
A．S正方体>S球
B．S正方体C．S正方体＝S球
D．无法确定
解析：选A 设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得V＝πR3＝a3，∴a＝，R＝，∴S正方体＝6a2＝6＝，S球＝4πR2＝<.
5．球的表面积S1与它的内接正方体的表面积S2的比值是( )
A．
B．
C．
D．π
解析：选C 设球的内接正方体的棱长为a，球的半径为R，则3a2＝4R2，所以a2＝R2，球的表面积S1＝4πR2，正方体的表面积S2＝6a2＝6×R2＝8R2，所以＝.
6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．
解析：过正方体的对角面作截面如图．
故球的半径r＝，
∴其表面积S＝4π×()2＝8π.
答案：8π
7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．
解析：设正方体的棱长为a，球的半径为R，
则πR3＝π，∴R＝，∴a＝3，∴a＝.
答案：
8．如图，半径为2的半球内有一个内接正六棱锥P?ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．
解析：显然正六棱锥P?ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，由已知，可得大圆的半径为2.易得其内接正六边形的边长为2.又正六棱锥P?ABCDEF的高为2，则斜高为＝，所以该正六棱锥的侧面积为6××2×＝6.
答案：6
9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比．
解：设三个球的半径分别为R1，R2，R3，
∵三个球的表面积之比为1∶4∶9，
∴4πR∶4πR∶4πR＝1∶4∶9，
即R∶R∶R＝1∶4∶9，
∴R1∶R2∶R3＝1∶2∶3，得R∶R∶R＝1∶8∶27，
∴V1∶V2∶V3＝πR∶πR∶πR＝R∶R∶R＝1∶8∶27.
10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：该组合体的表面积
S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
层级二 应试能力达标
1．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )
解析：选B 正三棱锥的内切球球心在高线上，与侧面有公共点，与棱无公共点．故选B．
2．一平面截一球得到直径是6
cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4
cm，则该球的体积是( )
A．
cm3
B．
cm3
C．
cm3
D．
cm3
解析：选C 根据球的截面的性质，得球的半径R＝＝5(cm)，所以V球＝πR3＝(cm3)．
3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S＝( )
A．32＋π
B．32＋2π
C．28＋2π
D．28＋π
解析：选A 由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S＝4π×＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.
4.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
解析：选B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.
又S＝16＋20π，
∴(5π＋4)r2＝16＋20π，
∴r2＝4，r＝2，故选B．
5.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．
解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R，则2R＝
＝2，所以该几何体的表面积为4πR2＝4π()2＝12π.
答案：12π
6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是________．
解析：设球的半径为r，则πr3＝π，得r＝2，柱体的高为2r＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4，所以正三棱柱的体积V＝×(4)2×4＝48.
答案：48
7．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1
cm，求球的体积．
解：如右图所示，作出轴截面，O是球心，与边BC，AC相切于点D，E.
连接AD，OE，∵△ABC是正三角形，∴CD＝AC．
∵Rt△AOE∽Rt△ACD，
∴＝.
∵CD＝1
cm，∴AC＝2
cm，AD＝
cm，
设OE＝r，则AO＝(－r)，
∴＝，∴r＝
cm，
V球＝π3＝π(cm3)，
即球的体积等于π
cm3.
8．在半径为15的球O内有一个底面边长为12的内接正三棱锥A?BCD，求此正三棱锥的体积．
解：①如图甲所示的情形，显然OA＝OB＝OC＝OD＝15.设H为△BCD的中心，则A，O，H三点在同一条直线上．
∵HB＝HC＝HD＝××12＝12，
∴OH＝＝9，
∴正三棱锥A?BCD的高h＝9＋15＝24.
又S△BCD＝×(12)2＝108，
∴V三棱锥A?BCD＝×108×24＝864.
②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A?BCD的高h′＝15－9＝6，S△BCD＝108，
∴V三棱锥A?BCD＝×108×6＝216.
综上，可知三棱锥的体积为864或216.
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是( )
A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥
B．棱锥的高线可能在几何体之外
C．仅有一组对面平行的六面体是棱台
D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
解析：选B 由五个平面围成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故A不正确；根据棱锥的定义，棱锥的高线可能在几何体之外，故B正确；仅有一组对面平行的六面体可能是四棱台，也可能是四棱柱，故C不正确；因为棱锥的定义中要求这些三角形必须有公共的顶点，故D不正确．故选B．
2．棱锥的侧面和底面可以都是( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
解析：选A 三棱锥的侧面和底面均是三角形．故选A．
3.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．三棱锥
B．三棱柱
C．四棱锥
D．四棱柱
解析：选B 由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B．
4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )
A．a，b
B．a，c
C．c，b
D．b，d
解析：选A 正视图和侧视图完全相同时，牟合方盖相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，而俯视图为一个正方形，且有两条实线的对角线．故选A．
5.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )
解析：选B 先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图．由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧视图为图②.
6．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )
A．30
B．60
C．30＋135
D．135
解析：选A 由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为
＝，则这个直棱柱的侧面积为4××5＝30.
7．已知圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
A．120°
B．150°
C．180°
D．240°
解析：选C 设圆锥的底面半径为R，母线长为L.由题意，πR2＋πRL＝3πR2，∴L＝2R，圆锥的底面圆周长l＝2πR.展开成扇形后，设扇形圆心角为n，则扇形的弧长l＝＝，∴2πR＝，∴n＝180°，即展开后扇形的圆心角为180°.
8.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′.已知点O′是斜边B′C′
的中点，且A′O′＝1，则△ABC的边BC上的高为( )
A．1
B．2
C．
D．2
解析：选D ∵△ABC的直观图是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C′＝90°，A′O′＝1，∴A′C′＝.根据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半，∴△ABC的高为AC＝2A′C′＝2.故选D．
9．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )
A．
B．4π
C．2π
D．
解析：选D 因为该正四棱柱的外接球的半径是
第
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高
中
数
学
（必修2）
全册导学案和同步练习
第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
预习课本P2～4，思考并完成以下问题
1．空间几何体是如何定义的？分为几类？
2．常见的多面体有哪些？它们各自的结构特征是怎样的？
1．空间几何体
概念
定义
空间几何体
空间中的物体，若只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体
2．空间几何体的分类
分类
定义
图形及表示
相关概念
空间几何体
多面体
由若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体
面：围成多面体的各个多边形棱：相邻两个面的公共边顶点：棱与棱的公共点
空间几何体
旋转体
由一个平面图形绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体
轴：形成旋转体所绕的定直线
3．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
分类
定义
图形及表示
相关概念
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
如图可记作：棱柱ABCD?A′B′C′D′
底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点
棱锥
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
如图可记作：棱锥S?ABCD
底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点
棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台
如图可记作：棱台ABCD?A′B′
C′D′
上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台( )
(2)棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面( )
(3)棱台的底面是两个相似的正方形( )
(4)棱台的侧棱延长后必交于一点( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．有两个面平行的多面体不可能是( )
A．棱柱
B．棱锥
C．棱台
D．以上都错
解析：选B 棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．
3．关于棱柱，下列说法正确的有________(填序号)．
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
(2)棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；
(3)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．
解析：(1)不正确，反例如图所示．(2)正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形．
(3)不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体．
答案：(2)
棱柱的结构特征
[典例] 下列关于棱柱的说法中，错误的是( )
A．三棱柱的底面为三角形
B．一个棱柱至少有五个面
C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
[解析] 显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C错误；D正确，所以选C．
[答案] C
有关棱柱的结构特征问题的解题策略
(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析
①两个面互相平行；
②其余各面是四边形；
③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．
[活学活用]
下列关于棱柱的说法中正确的是( )
A．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
B．棱柱的一条侧棱的长叫作棱柱的高
C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
解析：选D 由棱柱的定义，知A不正确，例如长方体；只有直棱柱才满足选项B，故B不正确；C不正确，例如正六棱柱的相对侧面互相平行；D显然正确．故选D．
棱锥、棱台的结构特征
[典例] (1)下列说法正确的有( )
①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；
②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；
③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个
B．1个 C．2个 D．3个
(2)下列说法正确的有________个．
①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
②正棱锥的侧面是等边三角形．
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
[解析] (1)由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等，故①错；三棱柱是只有两个面平行的五面体，故②错．如图，可知③④错误．
(2)①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一
个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点．
②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．
③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD．满足底面△BCD为等边三角形．三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等．
[答案] (1)A (2)0
判断棱锥、棱台的2个方法
(1)举反例法：
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法：
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
[活学活用]
1．下列命题中正确的是( )
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．四棱锥有五个顶点
C．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
解析：选D A中，要用“平行于底面”的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才叫棱台，如果截棱锥的平面不与底面平行，棱锥底面与截面之间的部分只能叫多面体，故A错误；B中，根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点，故B错误；C中，正棱锥还要求底面是正多边形，故C错误；D中，由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故D正确．
2．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )
A．四边形
B．三角形
C．三角形或四边形
D．不可能为四边形
解析：选C 如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．
多面体的平面展开图问题
[典例] 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
[解] 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示．
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
(1)解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．
(2)若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．
(3)若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．
[活学活用]
1．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是( )
解析：选C 将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以围成正方体．
2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )
A．1
B．9
C．快
D．乐
解析：选B 由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与9相对，0与快相对，所以下面是9.
层级一 学业水平达标
1．关于如图所示的4个几何体，说法正确的是( )
A．只有②是棱柱
B．只有②④是棱柱
C．只有①②是棱柱
D．只有①②④是棱柱
解析：选D 解决这类问题，要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义，正确；图③不满足侧面都是平行四边形，不正确．
2．下面图形中，为棱锥的是( )
A．①③
B．①③④
C．①②④
D．①②
解析：选C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C．
3.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
解析：选C 根据棱台是由棱锥截成的进行判断．
选项A中≠，故A不正确；选项B中≠，故B不正确；选项C中＝＝，故C正确；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台．故选C．
4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥
解析：选D 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．
5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )
解析：选C C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱．
6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．
解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．
答案：4 8
7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．
解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
答案：5 6 9
8．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60
cm，则每条侧棱长为________cm.
解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12
cm.
答案：12
9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)这是一个六棱锥．
(3)这是一个三棱台．
10.如图，已知三棱台ABC?A′B′C′.
(1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；
(2)把它分成三个三棱锥，并用字母表示．
解：(1)作B′E∥AA′交AB于点E，C′D∥AA′交AC于点D，如图，连接ED，则分成一个三棱柱AED?A′B′C′和一个多面体C′B′EBCD．
(2)如图，平面AB′C′和平面AB′C能把三棱台分成三个三棱锥，分别为三棱锥B′?AA′C′，三棱锥B′?ACC′，三棱锥B′?ABC．
层级二 应试能力达标
1．下列说法正确的是( )
A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
B．多面体至少有3个面
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
解析：选D 选项A错误，反例如图1；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．
2．下列说法正确的是( )
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱
解析：选D 棱柱与棱锥的底面可以是任意多边形，A、B不正确．过棱锥的顶点的纵截面可以把棱锥分成两个棱锥，C不正确．
3．已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为4
cm，高为10
cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面，绕行两周到达点A1的最短路线的长为( )
A．16
cm
B．12
cm
C．24
cm
D．26
cm
解析：选D 将正三棱柱ABC?A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，如图所示，最短距离是六个小矩形拼成的矩形对角线的连线的长度，即为三棱柱的侧面上所求路线的最小值．由已知，拼成的矩形的长等于6×4＝24
cm，宽等于10
cm，所以最短路线为l＝＝26
cm，故选D．
4．五棱柱中，不同在任何侧面，且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线( )
A．20条 B．15条 C．12条 D．10条
解析：选D 由题意，知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条，所以五棱柱共有对角线2×5＝10(条)．故选D．
5.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.
解析：将平面图形翻折，折成空间图形，
可得∠ABC＝60°.
答案：60°
6．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：
①点H与点C重合；
②点D，M，R重合；
③点B与点Q重合；
④点A与点S重合．
其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．
解析：将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记，若记面NPGF为“下”，面PSRN为“后”，则面PQHG，MNFE，EFCB，DEBA分别为“右”“左”“前”“上”．按各面的标记折成正方体，则点D，M，R重合；点G，C重合；点B，H重合；点A，S，Q重合．故②④正确，①③错误．
答案：②④
7.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？
解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．
(2)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，
S△DEF＝a2.
8.如图，已知长方体ABCD?A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？
解：(1)是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．
(2)各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB1F?CC1E和棱柱ABFA1?DCED1.
第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征
预习课本P5～7，思考并完成以下问题
1．常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？
2．这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？它们的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？
1．圆柱、圆锥、圆台、球
分类
定义
图形及表示
表示
圆柱
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为圆柱OO′
圆锥
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为圆锥SO
圆台
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
我们用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为圆台OO′
球
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径
球常用球心字母进行表示，左图可表示为球O
[点睛] 球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．
2．简单组合体
(1)概念：
由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
(2)构成形式：
有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．
[点睛] 要描述简单几何体的结构特征，关键是仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的结构特征，对原组合体进行分割．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥( )
(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱( )
(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台( )
(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．圆锥的母线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．无数条
答案：D
3.右图是由哪个平面图形旋转得到的( )
解析：选A 图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．
旋转体的结构特征
[典例] 给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．
[解析] (1)正确，圆柱的底面是圆面；
(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；
(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．
[答案] (1)(2)
1．判断简单旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成；
(2)明确旋转轴是哪条直线．
2．简单旋转体的轴截面及其应用
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
[活学活用]
1．下列关于圆柱的说法中不正确的是( )
A．圆柱的所有母线长都相等
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱
解析：选C 根据圆柱的定义和结构特征，易知选项C不正确．
2．给出以下说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；
②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；
③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；
④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．
其中正确说法的序号是________．
解析：根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆；④正确．
答案：①④
简单组合体
[典例]
描述下列几何体的结构特征.
[解]
图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.
[答案] D
解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力．
[活学活用]
1．如图所示的组合体，其构成形式是( )
A．左边是三棱台，右边是圆柱
B．左边是三棱柱，右边是圆柱
C．左边是三棱台，右边是长方体
D．左边是三棱柱，右边是长方体
解析：选D 根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．
2.如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．
解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．
圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用
[典例] 如图所示，已知圆柱的高为80
cm，底面半径为10
cm，轴截面上有P，Q两点，且PA＝40
cm，B1Q＝30
cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？
[解] 将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示矩形．
∴A1B1＝·2πr＝πr＝10π(cm)．
过点Q作QS⊥AA1于点S，
在Rt△PQS中，PS＝80－40－30＝10(cm)，
QS＝A1B1＝10π(cm)．
∴PQ＝＝10(cm)．
即蚂蚁爬过的最短路径长是10
cm.
求几何体表面上两点间的最小距离的步骤
(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；
(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；
(3)结合已知条件求得结果．
[活学活用]
如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面直径构成边长为6
m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．(结果不取近似值)
解：∵△ABC为正三角形，
∴BC＝6，
∴l＝2π×3＝6π，
根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：
＝6π，
故n＝180°，则∠B′AC＝90°，
∴B′P＝＝3(m)，
∴小猫所经过的最短路程是3
m.
层级一 学业水平达标
1．如图所示的图形中有( )
A．圆柱、圆锥、圆台和球
B．圆柱、球和圆锥
C．球、圆柱和圆台
D．棱柱、棱锥、圆锥和球
解析：选B 根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B．
2．下列命题中正确的是( )
A．将正方形旋转不可能形成圆柱
B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
解析：选C 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C．
3．下列说法中正确的个数是( )
①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；
②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；
③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选C ①中，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．
4.如图所示的组合体的结构特征是( )
A．一个棱柱中截去一个棱柱
B．一个棱柱中截去一个圆柱
C．一个棱柱中截去一个棱锥
D．一个棱柱中截去一个棱台
解析：选C 如题图，可看成是四棱柱截去一个角，即截去一个三棱锥后得到的简单组合体，故为一个棱柱中截去一个棱锥所得．故选C．
5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )
A．一个圆锥
B．一个圆锥和一个圆柱
C．两个圆锥
D．一个圆锥和一个圆台
答案：C
6．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．
解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．
答案：两个同底的圆锥组合体
7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3
cm，则圆台的母线长为________
cm.
解析：如图所示，设圆台的母线长为x
cm，
截得的圆台的上、下底半径分别为r
cm,4r
cm，
根据三角形相似的性质，得＝，解得x＝9.
答案：9
8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．
答案：圆柱
9.如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，它绕AB边所在直线旋转一周后形成的几何体结构如何？
解：旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．
10．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．
解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．
(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．
(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．
层级二 应试能力达标
1．下列结论正确的是( )
A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
B．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台，故A错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C错误．故选D．
2.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是( )
解析：选D 结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A、B、C错误．
3．用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( )
A．8
B．
C．
D．
解析：选B 由题意可知，假设围成的圆柱底面周长为4，高为2，设圆柱底面圆的半径为r，则2πr＝4，所以r＝，所以截面是长为2，宽为的矩形，所以截面面积为2×＝.同理，当围成的圆柱底面周长为2，高为4时，截面面积为.
4．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )
A．一个圆台、两个圆锥
B．两个圆台、一个圆柱
C．两个圆柱、一个圆台
D．一个圆柱、两个圆锥
解析：选D 从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱、两个圆锥所组成的几何体，如图所示．
5．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：________(填序号)．
①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球．
解析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥．
答案：①②③⑤
6．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π
cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.
解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，
则该小圆的半径r＝6，其中∠ABO＝30°，
所以该地球仪的半径R＝＝4
cm.
答案：4
7．一个圆台的母线长为12
cm，两底面面积分别为4π
cm2和25π
cm2.
(1)求圆台的高；
(2)求截得此圆台的圆锥的母线长．
解：(1)过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形，记为ABCD，
如图
所示．作AM⊥BC于点M.
记圆台的上、下底面的圆心分别为O1，O，连接O1O.
由已知可得上底面半径O1A＝2
cm，下底面半径OB＝5
cm，且腰长AB＝12
cm，
所以AM＝＝3(cm)，
即圆台的高为3
cm.
(2)如图，延长BA，OO1，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l.
则由△SAO1∽△SBO，可得＝，解得l＝20
cm，
即截得此圆台的圆锥的母线长为20
cm.
8．圆锥底面半径为1
cm，高为
cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．
解：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC1A1如图．设正方体的棱长为x
cm，则AA1＝x
cm，A1C1＝x
cm.
作SO⊥EF于点O，则SO＝
cm，OE＝1
cm.
∵△EAA1∽△ESO，
∴＝，
即＝.
∴x＝，即该内接正方体的棱长为
cm.
1．2.1&1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图
预习课本P11～14，思考并完成以下问题
1．平行投影、正投影的定义是什么？
2．正视图、侧视图、俯视图的定义分别是什么？
3．怎样画空间几何体的三视图？
4．如何识别三视图所表示的立体模型？
1．投影的定义
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．
2．中心投影与平行投影
投影
定义
特征
分类
中心投影
光由一点向外散射形成的投影
投影线交于一点
平行投影
在一束平行光线照射下形成的投影
投影线互相平行
正投影和斜投影
[点睛] 平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．
3．三视图
三视图
概念
规律
正视图
光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图
一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样
侧视图
光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图
俯视图
光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图
[点睛] 三视图中的每种视图都是正投影．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的平行投影是直线( )
(2)圆柱的正视图与侧视图一定相同( )
(3)球的正视图、侧视图、俯视图都相同( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是( )
解析：选D 阳光可看作平行光线，所以树影可以看作平行投影．若两棵小树的影子的方向相反，则不可能为同一时刻阳光下的影子，所以A、B选项错误；在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项错误．故选D．
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )
A．棱柱
B．棱台
C．圆柱
D．圆台
解析：选D 先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体．由俯视图是圆环可排除A、B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D．
中心投影与平行投影
[典例] 下列命题中正确的是( )
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．平行投影与中心投影的投影线均互相平行
C．两条相交直线的投影可能平行
D．如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点
[解析] 平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影的形状不固定，故A不正确．平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点，故B不正确．无论是平行投影还是中心投影，两条直线的交点都在两条直线的投影上，因而两条相交直线的投影不可能平行，故C不正确．两条线段的平行投影长度的比等于这两条线段长度的比，故D正确．
[答案] D
画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．
[活学活用]
1．下列的四个图形中采用中心投影画法的是( )
解析：选A 根据平行投影和中心投影的画法规则，B、C、D选项中的图形均为平行投影下的图形，而A选项中的图形采用的是中心投影画法．
2.如图，E，F分别是正方体ABCD?A1B1C1D1的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(把所有可能图形的序号都填上)．
解析：图②是在平面DCC1D1或平面ABCD上的正投影；图③是在平面BCC1B1上的正投影．图①④均不符合．
答案：②③
由几何体画三视图
[典例] 画出如图所示的正四棱锥的三视图．
[解] 正四棱锥的三视图如图所示．
三视图的画法规则
(1)排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边．
(2)画法规则：
①正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；
②侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；
③俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”．
(3)线条的规则：
①能看见的轮廓线用实线表示；
②不能看见的轮廓线用虚线表示．
[活学活用]
1.如图所示，四面体A?BCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体A?BCD的正视图、侧视图、俯视图依次是( )
A．①②⑥
B．①②③
C．④⑤⑥
D．③④⑤
解析：选B 四面体A?BCD的正视图是边长分别为3,4的矩形，对角线左上至右下为虚线，左下至右上为实线，为①；侧视图是边长分别为4,5的矩形，对角线左上至右下为实线，左下至右上为虚线，为②；俯视图是边长分别为3,5的矩形，对角线左上至右下为实线，左下至右上为虚线，为③，故选B．
2．画出如图所示的物体的三视图．
解：三视图如图所示．
由三视图还原几何体
[典例] 根据如图所示的三视图，画出几何体．
[解] 由正视图、侧视图可知，该几何体为简单几何体的组合体，结合俯视图为大正方形里有一个小正方形，可知该组合体上面为一个正方体，下面为一个下底面是正方形的倒置的四棱台．如图所示．
由三视图还原几何体，要遵循以下三步：(1)看视图，明关系；(2)分部分，想整体；(3)综合起来，定整体．只要熟悉简单几何体的三视图的形状，由简单几何体的三视图还原几何体并不困难．对于组合体，需要依据三视图将它分几部分考虑，确定它是由哪些简单几何体组成的，然后利用上面的步骤，分开还原，再合并即可．注意依据三视图中虚线、实线确定轮廓线．
[活学活用]
若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
解析：选B 由题意知，A和C中所给几何体的正视图、俯视图不符合要求；D中所给几何体的侧视图不符合要求；由侧视图可判断该几何体的直观图是B．故选B．
与三视图有关的计算问题
[典例] 如图1所示，将一边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C?ABD，其正视图与俯视图如图2所示，则侧视图的面积为( )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由正视图可以看出，A点在面BCD上的投影为BD的中点，由俯视图可以看出C点在面ABD上的投影为BD的中点，所以其侧视图为如图所示的等腰直角三角形，直角边为，于是侧视图的面积为××＝.
[答案] A
这类问题常常是给出几何体的三视图，由三视图中的数据，还原出几何体，并得出相关的数据，再求出相关的量，如体积、面积等．
[活学活用]
如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，求三棱锥P?ABC的正视图与俯视图的面积的比值的最大值．
解：点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，
则三棱锥P?ABC的正视图始终是一个底为1，高为2的三角形，
其面积S1＝×1×2＝1.
当点P在底面ABCD内的投影点在△ABC的内部或边界上时，其俯视图的面积最小，
最小面积S2＝×1×1＝，
所以三棱锥P?ABC的正视图与俯视图的面积的比值的最大值为＝2.
层级一 学业水平达标
1．已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的三角形与△ABC( )
A．全等
B．相似
C．不相似
D．以上都不正确
解析：选B 根据中心投影的概念和性质可知，经过中心投影后所得的三角形与△ABC相似．
2．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为( )
A．上面为棱台，下面为棱柱
B．上面为圆台，下面为棱柱
C．上面为圆台，下面为圆柱
D．上面为棱台，下面为圆柱
解析：选C 结合三视图，易知该几何体上面为圆台，下面为圆柱．
3．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
解析：选B 由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．
4．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能为：①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是( )
A．①②
B．②③
C．①④
D．③④
解析：选C 由正视图和侧视图，可知俯视图的长与宽的比例为3∶2，故选C．
5.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
解析：选A 由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；左面的面对角线在侧视图中对应一条对角线，且对角线的方向应该从左上到右下，B、C不正确．故选A．
6．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，四棱柱、圆柱无论怎样放置，其正视图都不可能是三角形．
答案：①②③⑤
7．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是____________和____________．
解析：正三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底面边长为4.
答案：2 4
8.如图所示，在正方体ABCD?A′B′C′D′中，E，F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断正确的是________．(填序号)
①四边形BFD′E在面ABCD内的正投影是正方形；
②四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影是菱形；
③四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．
解析：①四边形BFD′E的四个顶点在面ABCD内的投影分别是点B，C，D，A，所以正投影是正方形，即①正确；②设正方体的棱长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，连接AG，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，知四边形AGD′E是平行四边形，但AE＝1，D′E＝，所以四边形AGD′E不是菱形，即②不正确．对于③，由②可知两个正投影所得四边形是全等的平行四边形，从而③正确．
答案：①③
9．画出如图所示的三棱柱的三视图．
解：三棱柱的三视图如图所示：
10．如图(1)所示是实物图，图(2)和图(3)是其正视图和俯视图，你认为正确吗？如不正确请改正．
解：不正确，正确的正视图和俯视图如图所示：
层级二 应试能力达标
1.某个游戏环节，玩家需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为( )
解析：选A 由题意知，图中正方形、圆形、三角形对应某几何体的三视图，结合选项中给出的图形分析可知，A中几何体满足要求．故选A．
2．在一个几何体的三视图中，正视图和侧视图是两个完全相同的图形，如图所示，则相应的俯视图可以为( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
解析：选D 若俯视图为图①，则该几何体的正视图的上方三角形应该没有高线，故俯视图不可能为图①，排除选项A；若俯视图为图③，则该几何体的侧视图的上方应该没有左边小三角形，故俯视图不可能为图③，排除选项B、C；若俯视图为图②，则该几何体是由上面是正四棱锥，下面是正方体组合而成的简单组合体；若俯视图为图④，则该几何体是由上面是正四棱锥，下面是圆柱组合而成的简单组合体．故选D．
3．某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于
( )
A．4
B．
C．
D．5
解析：选C 根据几何体的三视图，得该几何体是底面为直角三角形，有两个侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，最长的棱长等于＝，故选C．
4.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
A．10
B．12
C．14
D．16
解析：选B 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为×2＝12，故选B．
5.如图，在多面体ABC?A′B′C′中，底面ABC为正三角形，三条侧棱AA′，BB′，CC′分别平行，侧棱垂直于底面ABC，且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则下面图形可视为多面体ABC?A′B′C′的正视图的是________．
解析：根据正视图的画法，因为底面ABC为正三角形且AA′
答案：④
6.已知一正四面体的俯视图如图所示，它是边长为2
cm的正方形，则这个正四面体的正视图的面积为______cm2.
解析：构造一个棱长为2
cm的正方体ABCD?A1B1C1D1，在此正方体中作出一个符合题意的正四面体A?B1CD1，易得该正四面体的正视图是一个底边长为2
cm，高为2
cm的等腰三角形，从而可得正视图的面积为2
cm2.
答案：2
7．已知图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．
解：图①几何体的三视图为：
图②所示的几何体是上面为正六棱柱、下面为倒立的正六棱锥的组合体．
8．一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，根据三视图回答下列问题：
(1)该物体有多少层？
(2)该物体的最高部分位于哪里？
(3)该物体一共由几个小正方体构成？
解：(1)该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来．
(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排．
(3)从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排．
第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个．该物体一共由7个小正方体构成．
1.2.3 空间几何体的直观图
预习课本P16～18，思考并完成以下问题
1．画简单几何体的直观图的步骤是什么？
2．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？
3．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么？
1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，
两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．
[点睛] (1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°( )
(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变( )
答案：(1)× (2)×
2．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )
解析：选A 由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．
3.如图所示，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是( )
A．2
B．1
C．
D．4
解析：选C 在△AOB中，OB＝O′B′＝1，OA＝2O′A′＝2，
且∠AOB＝90°，S△AOB＝OA·OB＝×1×2＝.
水平放置的平面图形的直观图
[典例] 画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
[解] (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使
∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．
(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC．连接B′C′，如图②.
(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．
[活学活用]
用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形OBCD的直观图．
解：(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示．
(2)画出相应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取点D′，使得O′D′＝OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC．
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．
空间几何体的直观图
[典例] 画出一个上、下底面边长分别为1,2，高为2的正三棱台的直观图．
[解] (1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画下底面．以O为线段中点，在x轴上取线段AB，使AB＝2，在y轴上取线段OC，使OC＝.连接BC，CA，则△ABC为正三棱台的下底面的直观图．
(3)画上底面．在z轴上取OO′，使OO′＝2，过点O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐标系x′O′y′.在x′O′y′中，类似步骤(2)的画
法得上底面的直观图△A′B′C′.
(4)连线成图．连接AA′，BB′，CC′，去掉辅助线，将被遮住的部分画成虚线，则三棱台ABC?A′B′C′即为要求画的正三棱台的直观图．
画空间图形的直观图的原则
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直．
(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．
(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半．
(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．
[活学活用]
如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
解：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′.
(3)画正四棱锥顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．
(4)成图．连接PA′，PB′，PC′，PD′，A′A，B′B，C′C，D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.
直观图的还原与计算
[典例] 如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是( )
A．14
B．10
C．28
D．14
[解析] ∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，
A′B′≠C′D′，
∴原图形是一个直角梯形．
又A′D′＝4，
∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，故其面积为S＝×(2＋5)×8＝28.
[答案] C
平面多边形与其直观图面积间关系：
一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直＝S原．
[活学活用]
已知△ABC是正三角形，且它的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A．a2
B．a2
C．a2
D．a2
解析：选D 如图①，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
如图②，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法知：A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，过C′作C′D′⊥O′x′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以△A′B′C′的面积是S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2.
层级一 学业水平达标
1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )
A．90°，90°
B．45°，90°
C．135°，90°
D．45°或135°，90°
解析：选D 根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.
2．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20
m，5
m,10
m，四棱锥的高为8
m，如果按1∶500
的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A．4
cm,1
cm,2
cm,1.6
cm
B．4
cm,0.5
cm,2
cm,0.8
cm
C．4
cm,0.5
cm,2
cm,1.6
cm
D．4
cm,0.5
cm,1
cm,0.8
cm
解析：选C 直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的，，计算，最后单位转化为
cm.
3．利用斜二测画法画边长为1
cm的正方形的直观图，可能是下面的( )
解析：选C 正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C项．
4.如右图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是
△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中( )
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
解析：选C 因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC中点，所以AB＝AC>AD．
5．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．任意三角形
解析：选C 将△A′B′C′还原，由斜二测画法知，△ABC为钝角三角形．
6.水平放置的正方形ABCO如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
解析：由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B′E⊥x′轴于点E，在Rt△B′EC′中，B′C′＝2，∠B′C′E＝45°，所以B′E＝B′C′sin
45°＝2×＝.
答案：
7.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．
解析：在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3，所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，所以其面积为6×6＝36.
答案：36
8.在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2
cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.
解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2
cm，OC＝4
cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．
答案：矩形 8
9．已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．
解：(1)画轴．如图①，画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆台的两底面．利用椭圆模板，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的长度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，类似底面⊙O的作法作出上底面⊙O′.
(3)画圆锥的顶点．在O′z上截取O′P，使O′P等于三视图中O′P的长度．
(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图所表示的几何体的直观图，如图②.
10.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1
cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．
解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′＝1
cm；
在y轴上取OB＝2O′B′＝2
cm；
在过点B的x轴的平行线上取
BC＝B′C′＝1
cm.
连接O，A，B，C各点，即得到了原图形．
由作法可知，OABC为平行四边形，
OC＝＝＝3
cm，
∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8
cm，面积为S＝1×2＝2
cm2.
层级二 应试能力达标
1.已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一个( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．三边中有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
解析：选A 根据斜二测画法的原则，得BC＝B′C′＝2，
OA＝2A′O′＝2×＝，AO⊥BC，∴AB＝AC＝BC＝2，∴△ABC是等边三角形．
2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB边平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2
cm2，则原平面图形A′B′C′D′的面积为( )
A．4
cm2
B．4
cm2
C．8
cm2
D．8
cm2
解析：选C 依题意，可知∠BAD＝45°，则原平面图形A′B′C′D′为直角梯形，上、下底边分别为B′C′，A′D′，且长度分别与BC，AD相等，高为A′B′，且长度为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8
cm2.
3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′＝4，A′B′∥y′
轴，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为( )
A．2
B．
C．16
D．1
解析：选A 因为A′B′∥y′轴，所以在△ABO中，AB⊥OB．又△ABO的面积为16，所以AB·OB＝16.所以AB＝8，所以A′B′＝4.如图，作A′C′⊥O′B′于点C′，所以B′C′＝A′C′，所以A′C′的长为4sin
45°＝2.
4.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为( )
A．
B．
C．5
D．
解析：选A 由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为.故选A．
5．有一个长为5
cm，宽为4
cm的矩形，则其直观图的面积为________
cm2.
解析：该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S′＝S＝5(cm2)．
答案：5
6.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________．
解析：设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中边O′B′与原图形中边OB的长度相等，及S原图＝2S直观图，得OB×h＝2××A′O′×O′B′，则h＝4.故△AOB的边OB上的高为4.
答案：4
7.如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．
解：画出平面直角坐标系xOy，使点A与O重合，在x轴上取点C，使AC＝，再在y轴上取点D，使AD＝2，取AC的中点E，连接DE并延长至点B，使DE＝EB，连接DC，CB，BA，则四边形ABCD为正方形A′B′C′D′的原图形(也可以过点C作BC∥y轴，且使CB＝AD＝2，然后连接AB，DC)，如图所示．
易知四边形ABCD为平行四边形，∵AD＝2，AC＝，∴S?ABCD＝2×＝2.
8．已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：cm)．
解：画法：
(1)建系：如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底：在x轴上取线段OB＝8
cm，在y轴上取线段OA′＝2
cm，以OB和OA′为邻边作平行四边形OBB′A′.
(3)定点：在z轴上取线段OC＝4
cm，过C分别作x轴，y轴的平行线，并在平行线上分别截取CD＝4
cm，CC′＝2
cm.以CD和CC′为邻边作平行四边形CDD′C′.
(4)成图：连接A′C′，BD，B′D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到该几何体的直观图(如图②)．
1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
预习课本P23～27，思考并完成以下问题
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？
4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？
1．柱体、锥体、台体的表面积公式
图形
表面积公式
多面体
多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积
旋转体
圆柱
底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2
圆锥
底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
2．柱体、锥体、台体的体积公式
柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；
锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；
台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h.
[点睛] (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积( )
(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( )
答案：(1)× (2)√
2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是( )
A．a2
B．a2
C．a2
D．a2
解析：选A ∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，∴S表＝a2＋3××2＝a2.
3．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________．
解析：由已知圆锥的高h＝4，
所以V圆锥＝π×32×4＝12π.
答案：12π
柱、锥、台的表面积
[典例] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．
[解] 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2＝2＋2＝＝＝64，∴AB＝8.
∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.
(1)求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．
(2)结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解．
[活学活用]
1．一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图都是腰长为5、底边长为8的等腰三角形，俯视图是边长为8的正方形，则此几何体的侧面积为( )
A．48
B．64
C．80
D．120
解析：选C 根据几何体的三视图，可知该几何体是正四棱锥，其底面边长为8，斜高为5，则该几何体的侧面积为4××8×5＝80，故选C．
2．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )
A．81π
B．100π
C．168π
D．169π
解析：选C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.
故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
柱、锥、台的体积
[典例] 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2π＋2
B．4π＋2
C．2π＋
D．4π＋
[解析] 该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×＝，所以该几何体的体积为2π＋.
[答案] C
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．
(2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
[活学活用]
1．已知三棱锥S
?ABC的棱长均为4，则该三棱锥的体积是________．
解析：如图，在三棱锥S
?ABC中，作高SO，连接AO并延长AO交BC于点D，则AO＝×4×＝.在Rt△SAO中，SO＝＝，所以V＝×××42＝.
答案：
2．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．
解析：设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π，∴l＝2，∴h＝，∴V＝π(12＋22＋1×2)×＝π.
答案：π
几何体体积的求法
题点一：等积变换法
1.如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A?DED1的体积为________．
解析：V三棱锥A?DED1＝V三棱锥E?DD1A＝××1×1×1＝.
答案：
2.如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P?ABC的体积V.
解：三棱锥的体积V＝Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．
故V＝S△PAC·PB＝××2×4×3＝4.
题点二：分割法
3.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．
解：如图，连接EB，EC．四棱锥E?ABCD的体积
V四棱锥E?ABCD＝×42×3＝16.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F?EBC＝V三棱锥C?EFB＝V三棱锥C?ABE＝V三棱锥E?ABC＝×V四棱锥E?ABCD＝4.
∴多面体的体积V＝V四棱锥E?ABCD＋V三棱锥F?EBC＝16＋4＝20.
题点三：补形法
4．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．
解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
5．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝，BC＝AD＝2，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．
解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图．
设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，
则∴
∵VD?ABE＝DE·S△ABE＝V长方体，
同理，VC?ABF＝VD?ACG＝VD?BCH＝V长方体，
∴V四面体ABCD＝V长方体－4×V长方体＝V长方体．
而V长方体＝2×3×4＝24，∴V四面体ABCD＝8.
(1)三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫作体积转移法(或称等积法)．
(2)当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，这时可通过分割或补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积．
层级一 学业水平达标
1．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为( )
A．6
B．
C．2
D．2
解析：选B 由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为，可知高h＝2，又因为底面积S＝，所以体积V＝Sh＝××2＝.
2．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2
B．1∶
C．1∶
D．∶2
解析：选C 设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.
3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：选C 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的两底边长分别为1,2，高为2，
∴该几何体的体积为V＝×(2＋1)×2×2＝6.
4．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是
( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A 设圆柱的底面半径为r，高为h，
则由题设知h＝2πr，
∴S表＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)，
又S侧＝h2＝4π2r2，
∴＝.
5．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．20＋2π
B．20＋3π
C．24＋2π
D．24＋3π
解析：选B 该几何体为正方体与半个圆柱的组合体，其表面积为S＝π×12＋
×2π×1×2＋5×22＝20＋3π.故选B．
6．过长方体一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，体对角线的长是2，则这个长方体的体积是________．
解析：设过长方体一个顶点的三条棱长分别为x,2x,3x，由体对角线长为2，则x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2)2，解得x＝2.所以三条棱长分别为2,4,6.所以V长方体＝2×4×6＝48.
答案：48
7．把由曲线y＝|x|和y＝2围成的图形绕x轴旋转360°，所得旋转体的体积为________．
解析：由题意，y＝|x|和y＝2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个共顶点的圆锥．
∵V圆柱＝π×22×4＝16π，2V圆锥＝2×π×22×2＝，
∴所求几何体的体积为16π－＝.
答案：π
8．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3
，则a＝________.
解析：由三视图，可知几何体为一个放倒的直三棱柱，则该几何体的体积V＝3×＝3
，所以a＝.
答案：
9.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，若四边形ABCD绕AD旋转一周成为几何体．
(1)画出该几何体的三视图；
(2)求出该几何体的表面积．
解：(1)如图所示．
(2)过C作CE垂直AD延长线于E点，
作CF垂直AB于F点．
由已知得：DE＝2，CE＝2，
∴CF＝4，BF＝5－2＝3.
∴BC＝＝5.
∴下底圆面积S1＝25π，
台体侧面积S2＝π×(2＋5)×5＝35π，
锥体侧面积S3＝π×2×2＝4π，
故表面积S＝S1＋S2＋S3＝(60＋4)π.
10.如图，已知正三棱锥S?ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
解：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.
∵S侧＝2S底，
∴·3a·h′＝a2×2.
∴a＝h′.
∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.
∴32＋2＝h′2.
∴h′＝2，∴a＝h′＝6.
∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.
∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
层级二 应试能力达标
1.已知高为3的棱柱ABC?A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B?AB1C的体积为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选D VB?AB1C＝VB1?ABC＝S△ABC×h＝××3＝.
2．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )
A．
B．
C．2＋
D．3＋
解析：选B 根据三视图，可得该几何体是上部为三棱柱、下部为长方体的组合体，且三棱柱的底面是底边长为1，底边上的高为1的等腰三角形，三棱柱的高是3，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高是2，所以该几何体的体积为V三棱柱＋V长方体＝×1×1×3＋1×1×2＝.故选B．
3．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．88＋(2－2)π
B．96＋(2－4)π
C．88＋(4－4)π
D．88＋(2－4)π
解析：选A 由三视图，可知该几何体为一个正方体挖去一个半圆锥得到的几何体，故所求几何体的表面积S＝4×4×6－×4×4－＋×π×2×2＝88＋(2－2)π.故选A．
4．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A 由三视图知该几何体左边是四棱锥，即“阳马”，底面边长为1和
，高为1，其体积V1＝×1××1＝；
右边是直三棱柱，即“堑堵”，底面边长是和1的直角三角形，高为1，其体积V2＝×1××1＝；
故该几何体的体积V＝V1＋V2＝＋＝.
5．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是________．
解析：几何体的直观图为正方体去掉以正方体中心为顶点，上底面为底面的四棱锥，
其体积为2×2×2－×1×22＝.
答案：
6．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．
解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.
答案：8
7．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．
(1)画出这个几何体(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
解：
(1)这个几何体如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q?A1D1P的组合体．
由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.
故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝(22＋4)cm2，
所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．
8．一个圆锥的底面半径为2
cm，高为6
cm，在其内部有一个高为x
cm的内接圆柱．
(1)求圆锥的侧面积．
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．
解：(1)圆锥的母线长为＝2(cm)，
∴圆锥的侧面积S1＝π×2×2＝4
π(cm2)．
(2)画出圆锥的轴截面如图所示：
设圆柱的底面半径为r
cm，由题意，知＝，
∴r＝，
∴圆柱的侧面积S2＝2πrx＝(－x2＋6x)＝－[(x－3)2－9]，
∴当x＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π
cm2.
1．3.2 球的体积和表面积
预习课本P27～28，思考并完成以下问题
1．球的表面积公式是什么？
2．球的体积公式是什么？
1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝πR3.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个球的半径之比为1∶3，则其表面积之比为1∶9( )
(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径( )
答案：(1)√ (2)√
2．将直径为2的半圆面绕直径所在的直线旋转半周而形成的几何体的表面积为( )
A．2π
B．3π
C．4π
D．6π
解析：选B 由题意，知该几何体为半球，表面积为半径为1的圆的面积加上半径为1的球的表面积的一半，所以S表面积＝π×12＋×4×π×12＝3π，故选B．
3．已知球O的表面积为16π，则球O的体积为( )
A．π
B．π
C．π
D．π
解析：选D 因为球O的表面积是16π，所以球O的半径为2，所以球O的体积为×23＝π，故选D．
球的体积与表面积
[典例] (1)若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为( )
A． B．1 C．2 D．3
(2)一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为________．
[解析]
(1)设球的半径为r，则球的体积为πr3，球的表面积为4πr2，故πr3＝4πr2，解得r＝3.
(2)由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和．因为R＝1，所以S＝×4×π×12＋2××π×12＝4π.
[答案] (1)D (2)4π
求球的体积与表面积的方法
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．
(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．
[活学活用]
某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．
解析：由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面与截面面积的和，即×4π×12＋π×12＝3π.
答案：3π
球的截面问题
[典例] 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8
cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6
cm，若不计容器厚度，则球的体积为( )
A．
cm3
B．
cm3
C．
cm3
D．
cm3
[解析] 如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为R
cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5.∴V球＝π×53＝π(cm3)．
[答案] A
球的截面问题的解题技巧
(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
[活学活用]
一平面截一球得到直径为2
cm的圆面，球心到这个平面的距离是2
cm，则该球的体积是( )
A．12π
cm3
B．36π
cm3
C．64π
cm3
D．108π
cm3
解析：选B 设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示．
在Rt△OO1A中，O1A＝
cm，
OO1＝2
cm，
∴球的半径R＝OA＝
＝3(cm)，
∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3).
与球有关的切接问题
题点一：球的外切正方体问题
1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×13＝.
题点二：球的内接长方体问题
2．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．
解析：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝＝，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.
答案：14π
题点三：球的外接正四面体问题
3．已知某正四面体的内切球的体积是1，则该正四面体的外接球的体积是( )
A．27
B．16
C．9
D．3
解析：选A 设正四面体的外接球、内切球的半径分别为R，r，则＝3.由题意知πr3＝1，则外接球的体积是πR3＝27×πr3＝27，故选A．
题点四：球的内接圆锥问题
4．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．
解析：①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为
＝，高为.
该圆锥的体积为×π×2×＝πr3，球体积为πr3，∴该圆锥的体积和此球体积的比值为＝.
②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为.
答案：或
题点五：球的内接直棱柱问题
5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2
B．πa2
C．πa2
D．5πa2
解析：选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R＝OA满足R2＝2＋2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.
(1)正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
(2)长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2＝
，如图(2)．
(3)正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a.
层级一 学业水平达标
1．若过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A 设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r.画图可知，R2＝R2＋r2，∴R2＝r2.
∴S球＝4πR2，截面圆M的面积为πr2＝πR2，
则所得截面的面积与球的表面积的比为＝.故选A．
2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为
( )
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
解析：选A 设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝a2h＝a2＝6，得a＝.由题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋()2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A．
3．已知某几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图，侧(左)视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )
A．＋
B．＋
C．＋
D．＋
解析：选C 由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得V＝××3＋××1×1×1＝＋.故选C．
4．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是( )
A．S正方体>S球
B．S正方体
D．无法确定
解析：选A 设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得V＝πR3＝a3，∴a＝，R＝，∴S正方体＝6a2＝6＝，S球＝4πR2＝<.
5．球的表面积S1与它的内接正方体的表面积S2的比值是( )
A．
B．
C．
D．π
解析：选C 设球的内接正方体的棱长为a，球的半径为R，则3a2＝4R2，所以a2＝R2，球的表面积S1＝4πR2，正方体的表面积S2＝6a2＝6×R2＝8R2，所以＝.
6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．
解析：过正方体的对角面作截面如图．
故球的半径r＝，
∴其表面积S＝4π×()2＝8π.
答案：8π
7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．
解析：设正方体的棱长为a，球的半径为R，
则πR3＝π，∴R＝，∴a＝3，∴a＝.
答案：
8．如图，半径为2的半球内有一个内接正六棱锥P?ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．
解析：显然正六棱锥P?ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，由已知，可得大圆的半径为2.易得其内接正六边形的边长为2.又正六棱锥P?ABCDEF的高为2，则斜高为＝，所以该正六棱锥的侧面积为6××2×＝6.
答案：6
9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比．
解：设三个球的半径分别为R1，R2，R3，
∵三个球的表面积之比为1∶4∶9，
∴4πR∶4πR∶4πR＝1∶4∶9，
即R∶R∶R＝1∶4∶9，
∴R1∶R2∶R3＝1∶2∶3，得R∶R∶R＝1∶8∶27，
∴V1∶V2∶V3＝πR∶πR∶πR＝R∶R∶R＝1∶8∶27.
10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：该组合体的表面积
S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
层级二 应试能力达标
1．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )
解析：选B 正三棱锥的内切球球心在高线上，与侧面有公共点，与棱无公共点．故选B．
2．一平面截一球得到直径是6
cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4
cm，则该球的体积是( )
A．
cm3
B．
cm3
C．
cm3
D．
cm3
解析：选C 根据球的截面的性质，得球的半径R＝＝5(cm)，所以V球＝πR3＝(cm3)．
3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S＝( )
A．32＋π
B．32＋2π
C．28＋2π
D．28＋π
解析：选A 由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S＝4π×＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.
4.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
解析：选B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.
又S＝16＋20π，
∴(5π＋4)r2＝16＋20π，
∴r2＝4，r＝2，故选B．
5.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．
解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R，则2R＝
＝2，所以该几何体的表面积为4πR2＝4π()2＝12π.
答案：12π
6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是________．
解析：设球的半径为r，则πr3＝π，得r＝2，柱体的高为2r＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4，所以正三棱柱的体积V＝×(4)2×4＝48.
答案：48
7．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1
cm，求球的体积．
解：如右图所示，作出轴截面，O是球心，与边BC，AC相切于点D，E.
连接AD，OE，∵△ABC是正三角形，∴CD＝AC．
∵Rt△AOE∽Rt△ACD，
∴＝.
∵CD＝1
cm，∴AC＝2
cm，AD＝
cm，
设OE＝r，则AO＝(－r)，
∴＝，∴r＝
cm，
V球＝π3＝π(cm3)，
即球的体积等于π
cm3.
8．在半径为15的球O内有一个底面边长为12的内接正三棱锥A?BCD，求此正三棱锥的体积．
解：①如图甲所示的情形，显然OA＝OB＝OC＝OD＝15.设H为△BCD的中心，则A，O，H三点在同一条直线上．
∵HB＝HC＝HD＝××12＝12，
∴OH＝＝9，
∴正三棱锥A?BCD的高h＝9＋15＝24.
又S△BCD＝×(12)2＝108，
∴V三棱锥A?BCD＝×108×24＝864.
②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A?BCD的高h′＝15－9＝6，S△BCD＝108，
∴V三棱锥A?BCD＝×108×6＝216.
综上，可知三棱锥的体积为864或216.
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是( )
A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥
B．棱锥的高线可能在几何体之外
C．仅有一组对面平行的六面体是棱台
D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
解析：选B 由五个平面围成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故A不正确；根据棱锥的定义，棱锥的高线可能在几何体之外，故B正确；仅有一组对面平行的六面体可能是四棱台，也可能是四棱柱，故C不正确；因为棱锥的定义中要求这些三角形必须有公共的顶点，故D不正确．故选B．
2．棱锥的侧面和底面可以都是( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
解析：选A 三棱锥的侧面和底面均是三角形．故选A．
3.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．三棱锥
B．三棱柱
C．四棱锥
D．四棱柱
解析：选B 由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B．
4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )
A．a，b
B．a，c
C．c，b
D．b，d
解析：选A 正视图和侧视图完全相同时，牟合方盖相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，而俯视图为一个正方形，且有两条实线的对角线．故选A．
5.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )
解析：选B 先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图．由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧视图为图②.
6．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )
A．30
B．60
C．30＋135
D．135
解析：选A 由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为
＝，则这个直棱柱的侧面积为4××5＝30.
7．已知圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
A．120°
B．150°
C．180°
D．240°
解析：选C 设圆锥的底面半径为R，母线长为L.由题意，πR2＋πRL＝3πR2，∴L＝2R，圆锥的底面圆周长l＝2πR.展开成扇形后，设扇形圆心角为n，则扇形的弧长l＝＝，∴2πR＝，∴n＝180°，即展开后扇形的圆心角为180°.
8.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′.已知点O′是斜边B′C′
的中点，且A′O′＝1，则△ABC的边BC上的高为( )
A．1
B．2
C．
D．2
解析：选D ∵△ABC的直观图是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C′＝90°，A′O′＝1，∴A′C′＝.根据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半，∴△ABC的高为AC＝2A′C′＝2.故选D．
9．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )
A．
B．4π
C．2π
D．
解析：选D 因为该正四棱柱的外接球的半径是