人教版八年级下册数学 17.1 勾股定理 同步习题（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册数学 17.1 勾股定理 同步习题（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 183.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-05-27 22:36:54 | ||
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文档简介
17.1
勾股定理
同步习题
知识点1
勾股定理
1.如图,以直角三角形的三边a,b,c为边或直径,分别向外作等边三角形,半圆,等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a,b,斜边长为c,则下列关于a,b,c的关系式中不正确的是( )
A.b2=c2-a2
B.a2=c2-b2
C.b2=a2-c2
D.c2=a2+b2
3.一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长为( )
A.5
B.
C.2
D.5或
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是
∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为( )
A.5
B.6
C.8
D.10
5.在△ABC中,AB=10,AC=2,BC边上的高AD=6,则另一边BC等于( )
A.10
B.8
C.6或10
D.8或10
6.在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是( )
A.4.8
B.4.8或3.8
C.3.8
D.5
知识点2
勾股定理与面积的关系
7.如图,字母B所代表的正方形的面积是( )
A.12
B.13
C.144
D.194
8.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为( )
A.3
B.4
C.
5
D.7
9.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )
A.48
B.60
C.76
D.80
10.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是( )
A.13
B.26
C.47
D.94
易错点
考虑问题不全面而漏解(分类讨论思想)
11.若一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a2=9,b2=16,则c2为( )
A.25
B.7
C.7或25
D.9或16
提升训练
考查角度1
利用勾股定理求直角三角形中的边长
12.如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=.
(1)求DC的长;
(2)求AB的长.
考查角度2
利用勾股定理求三角形的面积
13.在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.
如图,作AD⊥BC于D,
设BD=x,用含x
的代数式表示CD→根据勾股定理,利用
AD作为“桥梁”,建
立方程模型求出x→
利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形面积
探究培优
拔尖角度1
利用勾股定理解非直角三角形问题(倍长中线法)
14.如图,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.
(1)求DB的长;
(2)求△ABC中BC边上的高.
拔尖角度2
利用勾股定理解四边形问题(补形法)
15.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=6,CD=4,求:
(1)AB的长;
(2)四边形ABCD的面积.
参考答案
1.【答案】D
解：因为直角三角形的三边为a,b,c,所以应用勾股定理可得a2+b2=c2.
第一个图形中,首先根据等边三角形的面积的求法,表示出3个等边三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.
第二个图形中,首先根据圆的面积的求法,表示出3个半圆形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.
第三个图形中,首先根据等腰直角三角形的面积的求法,表示出3个等腰直角三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.
第四个图形中,首先根据正方形的面积的求法,表示出3个正方形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.
2.【答案】C
3.【答案】D
解：当两直角边长分别为3和4时,斜边长为=5;当斜边长为4时,另一条直角边长为=.故选D.
4.【答案】C
5.【答案】C
解：根据题意画出图形,
如图①所示,AB=10,AC=2,AD=6,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
根据勾股定理得BD==8,CD==2,
此时BC=BD+CD=8+2=10;
如图②所示,AB=10,AC=2,AD=6,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
根据勾股定理得BD==8,CD==2,此时BC=BD-CD=8-2=6,
则BC的长为6或10.
故选C.
6.【答案】A
解：如图,过A点作AF⊥BC于F,连接AP,因为在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,所以BF=4,所以在Rt△ABF中,AF2=AB2-BF2=9,所以AF=3,所以×8×3=×5×PD+×5×PE,即12=×5(PD+PE),解得PD+PE=4.8.
7.【答案】C 8.【答案】D
9.【答案】C
解：利用勾股定理求出正方形的边长为10,阴影部分的面积为正方形面积与直角三角形面积之差.
10.【答案】C
11.错解:A
诊断:容易忽略a,c为直角边长,b为斜边长这种情况,故很容易错选A.
正解:C
解题策略:解答此题要用分类讨论思想.此题有两种情况:a,b为直角边长,c为斜边长和a,c为直角边长,b为斜边长,利用勾股定理即可求解.
12.解:(1)在Rt△BCD中,DC2=BC2-BD2=32-=,
所以DC=.
(2)在Rt△ACD中,AD2=AC2-CD2=42-=,所以AD=,所以AB=AD+BD=+=5.
13.解:在△ABC中,AB=15,BC=14,
AC=13,
设BD=x,则CD=14-x,
由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,
所以152-x2=132-(14-x)2,
解得x=9.
在Rt△ABD中,AD===12.
所以S△ABC=BC·AD=×14×12=84.
14.解:(1)∵DB⊥BC,BC=4,CD=5,
∴BD==3.
(2)如图,延长BD至E,使DE=BD,连接AE.∵D是AC的中点,∴AD=DC.在△BDC和△EDA中,
∴△BDC≌△EDA(SAS),
∴∠DAE=∠DCB,∴AE∥BC.
∵BD⊥BC,∴BE⊥AE.
∴BE为△ABC中BC边上的高,
∴BE=2BD=6.
15.解:(1)如图,延长AD,BC交于点E,
在Rt△ABE中,∠A=60°,
∴∠E=30°.在Rt△CDE中,CD=4,∴CE=2CD=8,∴BE=BC+CE=6+8=14.设AB=x,则有AE=2x,
根据勾股定理得:x2+142=(2x)2,解得x=,则AB=.
(2)在Rt△CDE中,∠CDE=90°,
∴DE===4.
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE
=·AB·BE-·CD·DE
=××14-×4×4
=.
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
勾股定理
同步习题
知识点1
勾股定理
1.如图,以直角三角形的三边a,b,c为边或直径,分别向外作等边三角形,半圆,等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a,b,斜边长为c,则下列关于a,b,c的关系式中不正确的是( )
A.b2=c2-a2
B.a2=c2-b2
C.b2=a2-c2
D.c2=a2+b2
3.一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长为( )
A.5
B.
C.2
D.5或
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是
∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为( )
A.5
B.6
C.8
D.10
5.在△ABC中,AB=10,AC=2,BC边上的高AD=6,则另一边BC等于( )
A.10
B.8
C.6或10
D.8或10
6.在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是( )
A.4.8
B.4.8或3.8
C.3.8
D.5
知识点2
勾股定理与面积的关系
7.如图,字母B所代表的正方形的面积是( )
A.12
B.13
C.144
D.194
8.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为( )
A.3
B.4
C.
5
D.7
9.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )
A.48
B.60
C.76
D.80
10.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是( )
A.13
B.26
C.47
D.94
易错点
考虑问题不全面而漏解(分类讨论思想)
11.若一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a2=9,b2=16,则c2为( )
A.25
B.7
C.7或25
D.9或16
提升训练
考查角度1
利用勾股定理求直角三角形中的边长
12.如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=.
(1)求DC的长;
(2)求AB的长.
考查角度2
利用勾股定理求三角形的面积
13.在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.
如图,作AD⊥BC于D,
设BD=x,用含x
的代数式表示CD→根据勾股定理,利用
AD作为“桥梁”,建
立方程模型求出x→
利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形面积
探究培优
拔尖角度1
利用勾股定理解非直角三角形问题(倍长中线法)
14.如图,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.
(1)求DB的长;
(2)求△ABC中BC边上的高.
拔尖角度2
利用勾股定理解四边形问题(补形法)
15.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=6,CD=4,求:
(1)AB的长;
(2)四边形ABCD的面积.
参考答案
1.【答案】D
解：因为直角三角形的三边为a,b,c,所以应用勾股定理可得a2+b2=c2.
第一个图形中,首先根据等边三角形的面积的求法,表示出3个等边三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.
第二个图形中,首先根据圆的面积的求法,表示出3个半圆形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.
第三个图形中,首先根据等腰直角三角形的面积的求法,表示出3个等腰直角三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.
第四个图形中,首先根据正方形的面积的求法,表示出3个正方形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.
2.【答案】C
3.【答案】D
解：当两直角边长分别为3和4时,斜边长为=5;当斜边长为4时,另一条直角边长为=.故选D.
4.【答案】C
5.【答案】C
解：根据题意画出图形,
如图①所示,AB=10,AC=2,AD=6,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
根据勾股定理得BD==8,CD==2,
此时BC=BD+CD=8+2=10;
如图②所示,AB=10,AC=2,AD=6,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
根据勾股定理得BD==8,CD==2,此时BC=BD-CD=8-2=6,
则BC的长为6或10.
故选C.
6.【答案】A
解：如图,过A点作AF⊥BC于F,连接AP,因为在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,所以BF=4,所以在Rt△ABF中,AF2=AB2-BF2=9,所以AF=3,所以×8×3=×5×PD+×5×PE,即12=×5(PD+PE),解得PD+PE=4.8.
7.【答案】C 8.【答案】D
9.【答案】C
解：利用勾股定理求出正方形的边长为10,阴影部分的面积为正方形面积与直角三角形面积之差.
10.【答案】C
11.错解:A
诊断:容易忽略a,c为直角边长,b为斜边长这种情况,故很容易错选A.
正解:C
解题策略:解答此题要用分类讨论思想.此题有两种情况:a,b为直角边长,c为斜边长和a,c为直角边长,b为斜边长,利用勾股定理即可求解.
12.解:(1)在Rt△BCD中,DC2=BC2-BD2=32-=,
所以DC=.
(2)在Rt△ACD中,AD2=AC2-CD2=42-=,所以AD=,所以AB=AD+BD=+=5.
13.解:在△ABC中,AB=15,BC=14,
AC=13,
设BD=x,则CD=14-x,
由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,
所以152-x2=132-(14-x)2,
解得x=9.
在Rt△ABD中,AD===12.
所以S△ABC=BC·AD=×14×12=84.
14.解:(1)∵DB⊥BC,BC=4,CD=5,
∴BD==3.
(2)如图,延长BD至E,使DE=BD,连接AE.∵D是AC的中点,∴AD=DC.在△BDC和△EDA中,
∴△BDC≌△EDA(SAS),
∴∠DAE=∠DCB,∴AE∥BC.
∵BD⊥BC,∴BE⊥AE.
∴BE为△ABC中BC边上的高,
∴BE=2BD=6.
15.解:(1)如图,延长AD,BC交于点E,
在Rt△ABE中,∠A=60°,
∴∠E=30°.在Rt△CDE中,CD=4,∴CE=2CD=8,∴BE=BC+CE=6+8=14.设AB=x,则有AE=2x,
根据勾股定理得:x2+142=(2x)2,解得x=,则AB=.
(2)在Rt△CDE中,∠CDE=90°,
∴DE===4.
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE
=·AB·BE-·CD·DE
=××14-×4×4
=.
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