江西省南昌市新建一中2019-2020学年高二下学期开学考试数学(理)试题（Word解析版）

数学（理）试卷
一、选择题（共12小题；每小题5分，共60分）
1.已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程
必过点(
)
A.(1.5
,4)
B.
(2,2)
C.(1.5
,0)
D.(1,2)
2.三位女歌手与三位男歌手站成一排合影，要求每位女歌手互不相邻，则不同的排法数为
A.
48
B.
72
C.
120
D.
144
3.利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈7.245，参照下表：得到的正确结论是（
）
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A.
有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
B.
有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”、
C.
在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D.
在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
由，结合临界值表，即可直接得出结果.
4.已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（
）
附：若随机变量，则，.
A.
0.1359
B.
0.7282
C.
0.8641
D.
0.93205
5.某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为
A.
B.
C.
D.
6.展开式的常数项为（）
A.
112
B.
48
C.
-112
D.
-48
7.已知，则S除以9所得的余数是
A.
2
B.
3
C.
5
D.
7
8.由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是（
）
A.
144
B.
192
C.
216
D.
240
9.，则（
）
A.
0
B.－1
C.
1
D.
10.我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a2)(a>0,试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为(
)
A.
600
B.
400
C.
300
D.
200
11.
如图，用5种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(
)
A.
200种
B.
160种
C.
240种
D.
180种
12.甲射击一次命中目标的概率是，乙射击一次命中目标的概率是，丙射击一次命中目标的概率是，现在三人同时射击目标一次，则目标被击中的概率为（　　）
A．
　B.
　　　　　　　　C．
　　　　D．
二、填空题（共4小题；每小题5分，共20分）
13.某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.
气温（℃）
14
12
8
6
用电量（度）
22
26
34
38
由表中数据得回归直线方程中，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为____.
14.袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为　
　．
　
15.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__________.
16.不等式有解，那么实数m的取值范围是_____
三、解答题（共6小题；共70分）
17.某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y（单位：万只）与相应年份x（序号）的数据表和散点图（如图所示），根据散点图，发现y与x有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数z（单位：个）关于x的回归方程.
年份序号x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
年养殖山羊y/万只
1.2
1.5
1.6
1.6
1.8
2.5
25
2.6
2.7
根据表中的数据和所给统计量，求y关于x的线性回归方程（参考统计量：，）；
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
18.设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
19.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．
（1）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和均值．
（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
20.《最强大脑》是江苏卫视引进德国节目《SuperBrain》而推出的大型科学竞技真人秀节目.节目筹备组透露挑选选手的方式：不但要对空间感知、照相式记忆进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，120分以上才有机会入围.某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生进行脑力测试.规定：分数不小于120分为“入围学生”，分数小于120分为“未入围学生”.已知男生入围24人，女生未入围80人.
（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关；
性别
入围人数
未入围人数
总计
男生
24
女生
80
总计
（2）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生，然后再从这11名学生中抽取3名参加某期《最强大脑》，设抽到的3名学生中女生的人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：，其中.
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21.五一劳动节放假，某商场进行一次大型抽奖活动.在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各2个，分别对应1分、2分、3分、4分、5分、6分.从袋中任取3个小球，按3个小球中最大得分的8倍计分，计分在20分到35分之间即为中奖.每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球中最大得分，求：
（1）取出的3个小球颜色互不相同的概率；
（2）随机变量的概率分布和数学期望；
（3）求某人抽奖一次，中奖的概率.
22.为响应德智体美劳的教育方针，唐徕回中高一年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下：
每分钟跳绳个数
[145,155)
[155,165)
[165,175)
[175,185)
185以上
得分
16
17
18
19
20
年级组为了了解学生的体质，随机抽取了100名学生，统计了他的跳绳个数，并绘制了如下样本频率直方图：
（1）现从这100名学生中，任意抽取2人，求两人得分之和小于35分的概率（结果用最简分数表示）；
（2）若该校高二年级2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间的中点值为代表）．利用所得到的正态分布模型解决以下问题：
①估计每分钟跳绳164个以上的人数（四舍五入到整数）
②若在全年级所有学生中随机抽取3人，记每分钟跳绳在179个以上的人数为Y，求Y的分布列和数学期望与方差．
（若随机变量X服从正态分布则，，）
参考答案
1.A
2.【详解】由插空法得．选D.
3.【详解】由，可得有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B
4.【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：
，
故所求的概率为.故选D.
5.【详解】设为击中目标的次数，则，从而这名射手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为．选A.
6.【详解】由于
故展开式的常数项为，故选：D。
7.【详解】，所以除以9的余数为7．选D.
8.【详解】因为由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字且能被5整除的5位数，个位数字只能是0或5，万位不能是0；
当个位数字是0时，共有种可能；
当个位数字是5时，共有种情况；
因此，由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是个.
故选C
9.【详解】解：令，解得，
令，解得，
又
=（）（）
==，
故选C.
10.【详解】
因为成绩，所以其正态曲线关于直线对称，又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，由对称性知：成绩在110分以上的人数约为总人数的，所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有：,
故选D.
11.【详解】涂A有5种涂法，B有4种，C有3种，因为D可与A同色，故D有3种，
∴由分步乘法计数原理知，不同涂法有种．故答案选D。
【点睛】本题考查了排列组合中的涂色问题，处理区域涂色问题的基本方法为分步乘法计数原理。
12.A
13.40
【详解】由表格得，
即样本中心点的坐标为，
又因为样本中心点在回归方程上且，
解得：，
当时，，故答案40．
14.【解答】解：袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，
从中一次随机摸出2只球，
基本事件总数n==10，
这2只球颜色不同包含的基本事件个数m=，
∴这2只球颜色不同的概率为p=．
故答案为：0.6．
15.由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393.
共5组随机数，
∴所求概率为.
答案为：0.25.
16.【分析】
分，和三种情况讨论，求得的最小值，即可得到本题答案.
【详解】设，
当时，；
当时，；
当时，；
可知在单调递减，在单调递增，单调递增，
所以，，
又有解的等价条件为，即，
所以m的取值范围是.
故答案为：
17.【详解】（1）设关于的线性回归方程为，
则，
，
则，所以，
所以关于的线性回归方程为。
18.【详解】（1）当时，，
当时，，无解；当时，可得；当时，可得；故不等式的解集为．
（2），
．
当或时，不等式显然成立；
当时，，则．
故的取值范围为．
19.试题解析：（1）解：随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
，
，
，
.
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望.
（2）解：设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
20.【详解】解：（1）填写列联表如下：
性别
入围人数
未入围人数
总计
男生
24
76
100
女生
20
80
100
总计
44
156
200
因为的观测值，
所以没有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.
（2）这11名学生中，被抽到的男生人数为，被抽到的女生人数为，
的可能取值为0，1，2，3，
，，
，.
所以的分布列为
0
1
2
3
故.
21.【详解】（1）
“一次取出的3个小球上的颜色互不相同”的事件记为，
则
（2）由题意有可能的取值为：2，3，4，5，6
；；
；；
所以随机变量的概率分布为
2
3
4
5
6
因此的数学期望为
（3）“某人抽奖一次，中奖”的事件为，则
22.答案
(1)
；(2)①1683；②Y的分布列为：
0
1
2
3
【详解】(1)设“两人得分之和小于35分”为事件,则事件包括以下四种情况：
①两人得分均为16分；②一人得分16,一人得分17；
③一人得分16,一人得分18；④两人均得17分.
由频率分布直方图可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人.
则由古典概型的概率计算公式可得.
故两人得分之和小于35分的概率为
(2)由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为：
,又由,得标准差,
所以高二年级全体学生的跳绳个数近似服从正态分布.
①因为,故.
故估计每分钟跳绳164个以上的人数为
②由正态分布可得,全年级任取一人,其每分钟跳绳个数在179以上的概率为.
所以,所有可能的取值为.
所以,
,
.
故的分布列为：
0
1
2
3