(共24张PPT)
19
一次函数
19.2.1
正比例函数
第一课时
正比例函数的概念
课时目标
1.理解正比例函数的概念。
2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题。
情景导入
如果设青蛙的数量为x，y分别表示青蛙嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数解析式吗？
y=x
y=2x
y=4x
y=x
探究新知
正比例函数的概念
问题1
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：
（1）圆的周长l
随半径r的变化而变化．
（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．
探究新知
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化而变化．
（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化．
(3)h=0.5n
(4)T=-2t
探究新知
问题2
认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是函数、常量和自变量．
函数解析式
函数
常量
自变量
l
=
2πr
m
=
7.8V
h
=
0.5n
T
=
-2t
这些函数解析式有什么共同点？
这些函数解析式都是常数与自变量的乘积的形式！
2，π
r
l
7.8
V
m
h
T
t
0.5
-2
n
函数=常数×自变量
y
k
x
探究新知
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
思考：为什么强调k是常数，k≠0呢？
y
=
kx
(k≠0的常数)
比例系数
自变量
正比例函数一般形式
注:
正比例函数y=kx(k≠0)
的结构特征①k≠0
②x的次数是1
巩固练习
1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？
是，3
不是
是，π
不是
是，
是，
巩固练习
2.回答下列问题：
(1)若y=(m-1)x是正比例函数，m取值范围是
；
(2)当n
时，y=2xn是正比例函数；
(3)当k
时，y=3x+k是正比例函数.
m≠1
=1
=0
探究新知
函数是正比例函数
函数解析式可转化为y=kx
（k是常数，k
≠0）的形式.
∴m=-1.
解：∵函数
是正比例函数，
例1
已知函数
y=(m-1)
是正比例函数，求m的值.
m≠1，
m=±1，
即
m-1≠0，
m2=1，
∴
探究新知
(1)若
是正比例函数，则m
=
；
(2)若
是正比例函数，则m
=
；
-2
-1
m-2≠0，
|m|-1=1，
∴
m=-2.
m-1≠0，
m2-1=0，
∴
m=-1.
探究新知
解:（1）设正比例函数解析式是
y=kx，
把
x
=-4,
y
=2
代入上式，得2
=
-4k，
解得
k
=
-
，
2
1
（2）当
x=6
时,
y
=
-3.
例2
若正比例函数的自变量x等于-4时，函数y的值等于2.
（1）求正比例函数的解析式；
（2）求当x=6时函数y的值.
设
代
求
写
待定系数法
∴所求的正比例函数解析式是
y
=
-
；
2
x
巩固练习
已知y与x成正比例，当x等于3时，y等于-1.则当x=6时，y的值为
.
-2
探究新知
问题3
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.
设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题：
（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？
（2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间有何数量关系？
（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？
正比例函数的简单应用
探究新知
(1)乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站海虹桥站，约需要多少小时(结果保留小数点后一位)？
1318÷300≈4.4（小时）
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：千米）与运行时间t（单位：时）之间有何数量关系？
y=300t（0≤t≤4.4）
探究新知
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时后，是否已经过了距始发站1
100
千米的南京站？
y=300×2.5=750（千米）,这时列车尚未到达距始发站
1100千米的南京站.
探究新知
例3
已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15L．所使用的汽油为5元/
L
．
（1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程x（km）之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数；
（2）计算该汽车行驶220
km所需油费是多少？
解：（1）y=5×15x÷100，
（2）当x=220时，
答：该汽车行驶220
km所需油费是165元．
即
y是x的正比例函数.
探究新知
列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数．
（1）正方形的边长为xcm，周长为ycm.
（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元．
（3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm
，体积为ycm3.
y=4x
是正比例函数
y=12x
是正比例函数
y=3x
是正比例函数
巩固练习
1.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是（
）
A.圆的面积S与它的半径r
B.行驶速度不变时，行驶路程s与时间t
C.正方形的面积S与边长a
D.工作总量（看作“1”
）一定，工作效率w与工作时间t
B
巩固练习
2.下列说法正确的打“√”，错误的打“×”.
（1）若y=kx，则y是x的正比例函数（
）
（2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（
）
（3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（
）
（4）若y=(2+k2)x，则y是x的正比例函数（
）
×
×
√
注意：（1）中k可能为0；
（4）中2+k2＞0，故y是x的正比例函数.
√
3.填空
（1）如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足_______.
（2）如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k=____.
（3）如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_____.
（4）若
是关于x的正比例函数，m
=
.
巩固练习
k≠1
2
4
-2
巩固练习
4.已知y-3与x成正比例，并且x=4时，y=7，求y与x之间的函数关系式.
解：依题意，设y-3与x之间的函数关系式为y-3=kx，
∵x=4时，y=7，∴7-3=4k，解得k=1.
∴y-3=x，即y=x+3.
巩固练习
5.有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷每小时的小麦收割机来收割.
（1）求收割的面积y（单位：公顷）与收割时间x（单位：时）之间的函数关系式；
（2）求收割完这块麦田需用的时间.
解：（1）y=0.5x；
（2）把y=10代入y=0.5x中，得10=0.5x.
解得x=20，即收割完这块麦田需要20小时.
课堂小结
正比例函数的概念
形式：y=kx（k≠0）
求正比例函数的解析式
利用正比例函数解决简单的实际问题
1.设
2.代
3.求
4.写(共21张PPT)
19
一次函数
19.2.1
正比例函数
第二课时
正比例函数的图象和性质
课时目标
1.理解正比例函数的图象的特点，会利用两点（法）画正比例函数的图象。
2.掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题。
情景导入
列表
描点
连线
问题1：下列函数哪些是正比例函数？
（1）y=－3x
；
（2）y=
x
+
3；
（3）y=
4x；
（4）y=
x2.
问题2：描点法画函数图象的三个步骤是
_______、_______、_______.
(1)(2)(3)
探究新知
正比例函数的图象
例1
画出下列正比例函数的图象：
（1）y=2x，
（2）y=-1.5x，y=-4x.
解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.
①列表如下：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
-4
-2
0
2
4
…
探究新知
y=2x
②描点；
③连线.
同样可以画出
函数
的图象.
观察发现：这两个图象都是经过原点的
.
而且都经过第
象限；
一、三
直线
探究新知
解：（2）函数y=-1.5x，y=-4x的图象如下：
y=-4x
y=-1.5x
发现：这两个函数图象都是经过原点和第
象限的直线.
二、四
探究新知
要点归纳
y=kx
(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
y=kx(k≠0)
经过的象限
k＞0
第一、三象限
k＜0
第二、四象限
另外：函数y=kx
的图象我们也称作直线y=kx
巩固练习
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1）
y
=
-3x；（2）
怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？
由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点
(1，k)，连线即可.
两点作图法
巩固练习
O
x
0
1
y
=
-3x
0
-3
0
y
=-3x
函数y=-3x，
的图象如下：
解：列表如下：
探究新知
（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值
范围是________.
例2
已知正比例函数y
=(k+1)x.
k＞-1
解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以k+1>0，解得k>-1.
探究新知
（2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.
解析：将坐标（2，4）带入函数解析式中，得4=(k+1)·2，解得k=1.
=1
探究新知
问题：
在函数y
=x
,
y
=3x
,
y
=-
x和y
=-4x
中，随着x的增大,y的值分别如何变化?
分析：对于函数y=x,当x=-1时，y
=
;当x=1时，y
=
;当x=2时，y
=
;不难发现y的值随x的增大而
.
-1
1
2
增大
正比例函数的性质
探究新知
我们还可以借助函数图象分析此问题.
观察图象可以发现：?直线y=x,y=3x向右逐渐
,即y的值随x的增大而增大;
?直线y
=-
x,y=-4x向右逐渐
，即y的值随x的增大而增大而减小.
上升
下降
探究新知
在正比例函数y=kx中：
当k>0时，y的值随着x值的增大而增大;
当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
总结归纳
1.已知正比例函数y=2x的图象上有两点（3，y1），
（5，y2），则y1
y2.
2.已知正比例函数y=kx(k<0)的图象上有两点（-3，y1），
（1，y2），则y1
y2.
巩固练习
＜
分析：因为k＜0，所以y的值随着x值的增大而减小，又-3＜1，则y1＜y2.
＞
探究新知
例3
已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大而减小，求m的值.
解：∵正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）,
∴4=m·m，解得m=±2.
又∵y的值随着x值的增大而减小，
∴m<0，故m=－2
探究新知
|k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴.
（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？
（2）正比例函数y=
-
x和y
=-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
巩固练习
B
1.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（
）
2.对于正比例函数y
=（k-2）x，当x
增大时，y
随x
的增大而增大，则k的取值范围
（
）
A．k＜2 B．k≤2
C．k＞2 D．k≥2
C
巩固练习
3.函数y=-7x的图象经过第_________象限，经过点_______与点
，y随x的增大而_______.
二、四
（0，0）
（1,-7）
减小
4.已知正比例函数y=(2m+4)x.
（1）当m
，函数图象经过第一、三象限；
（2）当m
，y
随x
的增大而减小；
（3）当m
，函数图象经过点（2，10）.
＞-2
＜-2
=0.5
巩固练习
5.
如图分别是函数y=k1
x，y=k2
x，y=k3
x，y=k4
x的图象.
（1）k1
k2，k3
k4(填“>”或“<”或“=”)；
（2）用不等号将k1，
k2，
k3，
k4及0依次连接起来．
＜
解：k1＜k2
＜0＜k3
＜k4
＜
4
2
-2
-4
4
x
y
O
y
=k4
x
-4
-2
2
y
=k3
x
y
=k2
x
y
=k1
x
课堂小结
正比例函数的图象和性质
图象：经过原点的直线.
当k>0时，经过第一、三象限；当k<0时，经过第二、四象限.
性质：当k>0时，y的值随x值的增大而增大；
当k<0时，y的值随x值的增大而减小.
