人教版数学八年级下册第十九章一次函数复习学案（习题无答案）

教学目标
教学内容
一次函数
个性化学习问题解决
一次函数的实际应用
教学重点、难点
一次函数的定义、图象和性质及实际应用
教学过程
一次函数一．知识回顾1、正比例函数　　一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.2、正比例函数图象和性质　　一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k）的一条直线，我们称它为直线y=kx.当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.3、正比例函数解析式的确定　　确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k，其基本步骤是：　　（1）设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)；　　（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程；　　（3）解方程，求出待定系数k；　　（4）将求得的待定系数的值代回解析式.二．一次函数定义，图像及性质知识要点梳理
知识点一：一次函数的相关概念
1、定义：
　　一次函数的一般形式为y＝kx＋b，其中k、b是常数，k≠0，特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx（k≠0）叫正比例函数。
　　（1）一次函数的解析式的结构特征：kx＋b是关于自变量x的一次整式，其中k、b是常数，且k≠0。
　　（2）当b＝0时，y＝kx＋b（k≠0）仍是一次函数，也就是说正比例函数是一次函数特殊形式，但一次函数不一定是正比例函数。
2、用待定系数法求解一次函数解析式
　　先设出式子中的未知系数，再根据已知条件列出方程（组）求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。待定系数法是一种很重要的数学方法，是求函数解析式常用的方法。
　　待定系数法的基本思想是方程思想，就是把具有某种确定关系的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目中含有几个待定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：
　　（1）利用一次函数的定义x的指数为1、系数不等于0构造方程（组）。
　　（2）利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行
　
　　　于y=kx，即由k来定方向。
　　（3）利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。
　　（4）利用题目已知条件直接构造方程。
知识点二：一次函数的图象及性质
1、函数的图象
　　对于一个函数，如果把它的自变量的取值x与对应的因变量的取值y分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形就叫做这个函数的图象。
2、一次函数的图象及其画法
　　（1）所有一次函数的图象都是一条直线。正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是经过（0，0）和（1，k）两点的一条直线，在坐标平面内经过原点的直线（与x轴、y轴不重合）是正比例函数的图象；
　
　一次函数y＝kx＋b的图象，也称作直线y＝kx＋b。例如，y＝2x－1和y＝2x的图象分别称作直线
　
　　　y＝2x－1和直线y＝2x。
　　（2）一次函数y＝kx＋b的图象是经过点（0，b）的一条直线；正比例函数y＝kx的图象是经过点
　
　　　（0，0）的一条直线；一次函数y＝kx＋b与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为(0，b）。
　　（3）根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画一条直线。即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可。
3、一次函数性质及图象特征
　　一次函数的性质表达了函数的变化规律及图象的变化趋势，函数的性质是由自变量的系数k的正负来确定的。
　　（1）当k＞0时，一次函数y＝kx＋b的图象从左到右上升，y随x的增大而增大；
　
　　　当k＜0时，一次函数y＝kx＋b的图象从左到右下降，y随x的增大而减小。
　　（2）当k＞0，b＞0时，直线y＝kx＋b经过第一、二、三象限；
　
　　　当k＞0，b＜0时，直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限；
　
　　　当k＜0，b＞0时，直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限；
　
　　　当k＜0，b＜0时，直线y＝kx＋b经过第二、三、四象限；
　　（3）一次函数y＝kx＋b的图象、性质与k、b的符号的关系如下表：一次函数y＝kx＋b（k≠0）k、b的符号k＞0k＜0b＞0b＜0b＝0b＞0b＜0b＝0图象增减性y随x的增大而增大y随x的增大而减少
知识点三：一次函数与一元一次不等式（或方程）
　　一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是直线，当kx＋b＞0时，表示图象在x轴上方的部分；当kx＋b＝0时，表示直线与x轴的交点；当kx＋b＜0时，表示图象在x轴下方的部分。
　　事实上，既可以运用函数图象解不等式和方程，也可以运用解不等式帮助研究函数问题，函数、方程、不等式三者之间相互渗透、相互作用。
　　函数、方程、不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，其中函数模型用来刻画运动变化的规律，不等式模型用来刻画变化过程中同类量之间的大小，方程模型是刻画运动变化过程中的某一瞬间，所以三者是相互联系，但又各有侧重，所以，在应用过程中要细加体会，根据实际问题的特点，建立恰当的模型来解决。
知识点四、一次函数与二元一次方程（组）
　　1．二元一次方程ax＋by＝0的解有无数个，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与把这个二元一次方程化成y＝ax＋b(a≠0)的形式的一次函数的图象相同。
　　2．二元一次方程的所有解与相应的一次函数图象的点的坐标是一一对应关系，也就是说一次函数图象上的任一点的坐标(x，y)都是二元一次方程的一个解；二元一次方程的任意一个解x，y，对应的点都在一次函数的图象上。
　　3．两条直线L1：y＝k1x＋b1(k1≠0)，L2：y＝k2x＋b2(k2≠0)的交点坐标就是关于x，y的方程组的解。例如：求直线y＝2x－5与y＝－3x＋5的交点坐标，将这两条直线的解析式组成方程组，解得，所以交点坐标是(2，－1)。
3．一次函数实际应用的方法
1).用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：　　（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；　　（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；　　（3）解方程得出未知系数的值；　　（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.三、典型例题剖析例1、已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象过第二、四象限，则（　）　A．y随x的增大而减小　B．y随x的增大而增大　C．当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小　D．不论x如何变化，y不变分析：根据正比例函数的性质可知，当k<0时，图象过第二、四象限，y随x的增大而减小，故选A．答案：A例2（1）若函数y=(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，则k的值为（　）A．0　　　　B．1　　　　　C．±1　　　　　D．－1（2）已知是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值为_____________.（3）当m=_______时，函数是一次函数.分析：（1）要使函数y=(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，k需满足条件　　（2）根据正比例函数的定义和性质，是正比例函数且y随x的增大而减小的条件是：　　　　（3）根据一次函数解析式的特征可知：x的次数2m－1为1时，合并同类项后，一次项系数[（m＋3）＋4]不能为0；x的次数2m－1不为1时，这项就应是0，否则不符合一次函数的条件.解：（1）由于y=(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，　　∴，∴k=1，∴应选B.　　（2）是正比例函数的条件是：m2－3=1且2m－1≠0，要使y随x的增大而减小还应满足条件2m－1<0，综合这两个条件得当即m=－2时，是正比例函数且y随x的增大而减小.　　（3）根据一次函数的定义可知，是一次函数的条件是：解得m=1或－3，故填1或－3.例3、两个一次函数y1=mx＋n，y2=nx＋m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（　）分析：　　若m>0，n>0，则两函数图象都应经过第一、二、三象限，故A、C错，若m<0，n>0，则y1=mx＋n的图象函数过第一、二、四象限，而函数y2=nx＋m的图象过第一、三、四象限，故D错．若m>0，n<0，y1=mx＋n的图象过第一、三、四象限，函数y2=nx＋m的图象过第一、二、四象限，故选B．答案：B例4、如果直线y=kx＋b经过第一、三、四象限，那么直线y=－bx＋k经过第__________象限.分析：　　因为直线y=kx＋b经过第一、三、四象限，由一次函数图象的分布情况可知k>0，b<0，由此可知直线y=－bx＋k中－b>0，k>0，故其图象经过一、二、三象限.答案：一、二、三例5、某商店销售A、B两种品牌的彩色电视机，已知A、B两种彩电的进价每台分别为2000元、1600元，一月份A、B两种彩电的销售价每台为2700元、2100元，月利润为1.2万元（利润=销售价－进价）.　　为了增加利润，二月份营销人员提供了两套销售策略：　　策略一：A种每台降价100元，B种每台降价80元，估计销售量分别增长30%、40%.　　策略二：A种每台降价150元，B种每台降价80元，估计销售量都增长50%.　　请你研究以下问题：　　（1）若设一月份A、B两种彩电销售量分别为x台和y台，写出y与x的关系式，并求出A种彩电销售的台数最多可能是多少？　　（2）二月份这两种策略是否能增加利润？　　（3）二月份该商店应该采用上述两种销售策略中的哪一种，方能使商店所获得的利润较多？请说明理由.分析：（1）中根据月利润可列出关于x、y的方程，由x、y为整数，求出A种彩电销售的台数的最大值；（2）中写出策略一、策略二的利润与x、y的关系，再和12000元比较，即可得出结论.解：（1）依题意，有　　（2700－2000）x＋（2100－1600）y=12000，　　即700x＋500y=12000.　　则　　因为y为整数，所以x为5的倍数，　　故x的最大值为15，即A种彩电销售的台数最多可能为15台.　　（2）策略一：利润W1=（2700－100－2000）（1＋30%）x＋（2100－80－1600）（1＋40%）y　　　　　=780x＋588y；　　策略二：　利润W2=（2700－150－2000）（1＋50%）x＋（2100－80－1600）（1＋50%）y　　　　　=825x＋630y.　　因为700x＋500y=12000，所以780x＋588y>12000，825x＋630y>12000.　　故策略一、策略二均能增加利润.　　故策略二使该商店获得的利润多，应采用策略二.
课堂练习
四．强化训练1．若直线L与直线y=2x+1关于y轴对称，则直线L的解析式为（
）
A．y=-2x-1
B．y=-2x+1
C．y=2x-1
D．y=-x+12．y与x+1成正比例，当x=5时y=12时，则y关于x的函数关系式是______．3．若直线y=-x+a和直线y=x+b的交点坐标为（m，8），则a+b=_________．4．直线L与直线y=2x+1的交点的横坐标为2，与直线y=-x+2的交点的纵坐标为1，求直线L的解析式．5．如图所示，L甲，L乙分别表示甲、乙弹簧的长y与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系，设甲弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k甲cm，乙弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的大小关系是（
）
(1)
(2)
A．k甲>k乙
B．k甲=k乙
C．k甲D．不能确定6．如图所示，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的的一次函数图象，图中s和t分别表示运动的路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（
）
A．2.5m
B．2m
C．1.5m
D．1m7．某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山时间t（时）与山高h（千米）之间的函数关系是（如图所示）（
）8.某地区现有果树12000棵，计划今后每年栽果树2000棵．
（1）求果树总数y（棵）与年数x（年）之间的函数关系式；
（2）预计到第5年该地区有多少棵果树？
课后作业
一次函数提高练习1、已知是整数，且一次函数的图象不过第二象限，则为
.2、若直线和直线的交点坐标为，则
.3、在同一直角坐标系内，直线与直线都经过点
.4、当满足
时，一次函数的图象与轴交于负半轴.5、函数，如果，那么的取值范围是
.6、一个长，宽的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加，宽增加，则与的函数关系是
.自变量的取值范围是
.且是的
函数.7、如图是函数的一部分图像，（1）自变量的取值范围是
；（2）当取
时，的最小值为
；（3）在（1）中的取值范围内，随的增大而
.8、已知函数y=（k-1）x+k2-1，当k_______时，它是一次函数，当k=_______时，它是正比例函数．9、已知一次函数的图象经过点，且它与轴的交点和直线与轴的交点关于轴对称，那么这个一次函数的解析式为
.10、一次函数的图象过点和两点，且，则
，的取值范围是
.11、一次函数的图象如图，则与的大小关系是
，当
时，是正比例函数.12、为
时，直线与直线的交点在轴上.13、已知直线与直线的交点在第三象限内，则的取值范围是
.14、要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,n,m应满足
,
.s选择题1、图3中，表示一次函数与正比例函数、是常数，且的图象的是（
）2、直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图4中的（
）3、若直线与的交点在轴上，那么等于（
）
4、直线如图5，则下列条件正确的是（
）
5、直线经过点，，则必有（
）A.
6、如果，，则直线不通过（
）A．第一象限
B．第二象限C．第三象限
D．第四象限解答题1、已知一次函数求：
（1）为何值时，随的增大而减小；
（2）分别为何值时，函数的图象与轴的交点在轴的下方？（3）分别为何值时，函数的图象经过原点？（4）当时，设此一次函数与轴交于A，与轴交于B，试求面积。2、某自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量收费办法，若某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示。（1）写出与的函数关系式；（2）若某户该月用水21吨，则应交水费多少元？3、果农黄大伯进城卖菠萝，他先按某一价格卖出了一部分菠萝后，把剩下的菠萝全部降价卖完，卖出的菠萝的吨数和他收入的钱数（万元）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）降价前每千克菠萝的价格是多少元？（2）若降价后每千克菠萝的价格是1.6元，他这次卖菠萝的总收入是2万元，问他一共卖了多少吨菠萝？4、为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采取不同的收费方式，其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在玉溪市范围内每月（30天）的通话时间（min）与通话费y（元）的关系如图所示：(1)分别求出通话费（便民卡）、
（如意卡）与通话时间之间的函数关系式；(2)请帮用户计算，在一个月内使用哪一种卡便宜？5、气温随着高度的增加而下降，下降的规律是从地面到高空11km处，每升高1
km,气温下降6℃．高于11km时，气温几乎不再变化，设地面的气温为38℃，高空中xkm的气温为y℃．（1）当0≤x≤11时，求y与x之间的关系式？（2）求当x=2、5、8、11时，y的值。（3）求在离地面13
km的高空处、气温是多少度？（4）当气温是一16℃时，问在离地面多高的地方？6、小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%卖．
（1）小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？
（2）写出甲、乙两个商店中，收款y（元）关于购买本数x（本）（x>10）的关系式。（3）小明现有24元钱，最多可买多少个本子？7、如图8，在直标系内，一次函数的图象分别与轴、轴和直线相交于、、三点，直线与轴交于点D，四边形OBCD（O是坐标原点）的面积是10，若点A的横坐标是，求这个一次函数解析式.8、一次函数，当时，函数图象有何特征？请通过不同的取值得出结论？9、某油库有一大型储油罐，在开始的8分钟内，只开进油管，不开出油管，油罐的油进至24吨（原油罐没储油）后将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐内的油从24吨增至40吨，随后又关闭进油管，只开出油管，直到将油罐内的油放完，假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.（1）试分别写出这一段时间内油的储油量Q（吨）与进出油的时间t(分)的函数关系式.（2）在同一坐标系中，画出这三个函数的图象.10、某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月不超过100度时，按每度0.57元计费；每月用电超过100度时，其中的100度按原标准收费；超过部分按每度0.50元计费.（1）设用电度时，应交电费元，当≤100和＞100时，分别写出关于的函数关系式.（2）小王家第一季度交纳电费情况如下：月份一月份二月份三月份合计交费金额76元63元45元6角184元6角问小王家第一季度共用电多少度？11、某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至元，则本年度新增用电量（亿度）与（—0.4）（元）成反比例，又当=0.65时，=0.8.（1）求与之间的函数关系式；（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益=用电量×（实际电价－成本价）]12、汽车从A站经B站后匀速开往C站，已知离开B站9分时，汽车离A站10千米，又行驶一刻钟，离A站20千米.（1）写出汽车与B站距离与B站开出时间的关系；（2）如果汽车再行驶30分，离A站多少千米？
课堂反馈记录：
说明：1分最低，5分最高
学生在校情况
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□5
在校作业完成情况
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□4
□5
在校作业正确率
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□5
补课状态
□1
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补课计划完成情况
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学生的改善
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上次课作业完成情况
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学生存在的问题
家长需注意&配合要点
0
y
x
15
20
27
39.5
8
2
1.92