人教版九年级数学上册22.1.1二次函数课件（27张ppt）

(共27张PPT)
22.1.1二次函数
第二十二章
二次函数
【学习目标】
1．能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
【学习重点】
结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念．
【学习难点】
1．能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系．
2．重视二次函数y＝ax2＋bx＋c中a≠0这一隐含条件．
雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？
情景导入
1.什么叫函数?
一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
3.一元二次方程的一般形式是什么？
一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0
时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.
2.什么是一次函数？正比例函数？
ax2+bx+c=0
(a≠0)
问题1
正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为
x，表面积为
y，则
y
关于x
的关系式为
.
y=6x2
此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
二次函数的定义
问题2
n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
分析：每个球队n要与其他
个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次数
.
n-1
答：
此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，即m是n的函数.
问题3
某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？
分析：这种产品的原产量是20件,
一年后的产量是
件,再经过一年后的产量是
件,即两年后的产量y=________.
20(1+x)
20(1+x)2
20(1+x)2
答：
y=20x2+40x+20；
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
问题1-3中函数关系式有什么共同点?
函数都是用
自变量的二次整式表示的
y=6x2
y=20x2+40x+20
想一想
二次函数的定义：
形如y=ax?+bx+c(a,b,c是常数,a≠
0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a,b,c为常数，且a≠
0;
（3）等式的右边最高次数为
2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
归纳总结
例1
下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量）
①
y=ax2+bx+c
②
s=3-2t?
③y=x2
④
⑤y=x?+x?+25
⑥
y=(x+3)?-x?
不一定是，缺少a≠0的条件.
不是，右边是分式.
不是，x的最高次数是3.
y=6x+9
典例精析
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx,
y=ax2+c等.
方法归纳
想一想:二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？
联系：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a
≠0；
(2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y=
ax2＋bx＋c中y=0时得到的.
区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.
二次函数定义的应用
例2
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2）
m取什么值时，此函数是二次函数？
解：
（1）由题可知,
解得
（2）由题可知,
解得
m=3.
第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
注意
1.已知:
，k取什么值时，y是x的二次函数？
解：当
=2且k+2≠0，即k=-2时,
y是x的二次函数.
解：
由题意得：
∴m≠±3
变式训练
解：
由题意得：
【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
例3：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；
解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，
∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元．
∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，
即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；
(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．
解：由题意可得
－10x2＋180x＋400＝1120，
整理得
x2－18x＋72＝0，
解得
x1＝6，x2＝12(舍去)．
所以，该产品的质量档次为第6档．
【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型．
思考：
1.已知二次函数y＝－10x2＋180x＋400
,自变量x的取值范围是什么？
2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y＝－10x2＋180x＋400，其自变量x的取值范围与1中相同吗？
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.
二次函数的值
例4
一个二次函数
.
（1）求k的值.
（2）当x=0.5时，y的值是多少？
解：
（1）由题意，得
解得
将x=0.5代入函数关系式
.
（2）当k=2时，
此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.
归纳总结
2.函数
y=(m-n)x2+
mx+n
是二次函数的条件是(
)
A
.
m,n是常数,且m≠0
B
.
m,n是常数,且n≠0
C.
m,n是常数,且m≠n
D
.
m,n为任何实数
C
1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项
系数为______，常数项为
.
3．下列函数是二次函数的是
(
)
A．y＝2x＋1
B．
C．y＝3x2＋1
D．
C
-3x2
-16
12
随堂练习
4.
已知函数
y=3x2m-1－5
①
当m=＿＿时，y是关于x的一次函数；
②
当m=＿＿时，y是关于x的反比例函数；
③
当m=＿＿时，y是关于x的二次函数
.
1
0
5.若函数
是二次函数，求：
（1）求a的值.
(2)
求函数关系式.
（3）当x=-2时，y的值是多少？
解：
（1）由题意，得
解得
（2）当a=-1时，函数关系式为
.
（3）将x=-2代入函数关系式中，有
6.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系．
7.某商店经销一种销售成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量
就减少10kg,针对这种商品的销售情况，请解答下列问题：
（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）
8.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x
(0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15
cm2
.
二次函数
定
义
y=ax2+bx+c(a
≠0，a,b,c是常数）
一般形式
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a
≠0.
特殊形式
y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a
≠0，a,b,c是常数）.
课堂小结