【备战2020】高考数学二轮 数列的特征—函数性特征 学案

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数列的特征——函数性特征学案
一．学习目标
通过对数列的基本概念与性质内容进行分析，在本次课中，我们学习如何利用函数的思想解决有关数列的问题。
二．前文回顾
1.函数的基本性质回顾
①函数的周期性问题
(1)，则；
(2)若
，则；
(3)若，则；
(4)，则
(5)
，则
(6)若，则；
②函数的对称问题
(1)若在R上满足：恒成立，则对称轴为；
(2)函数与的图像关于对称；
(3)若，则图像关于中心对称。
2.等差数列的通项公式与求和公式
①等差数列的通项公式：
②等差数列的求和公式：、
三．典例分析与性质总结
将数列看成一个函数，其自变量是正整数；对于常见的函数的基本性质如果应用在数列的解题中，会产生非常美妙的效果。
以等差或等比这两个特殊数列来说，他们既是特殊数列，又可以看做是特殊函数；对于上面的公式，我们注意到等差数列的通项公式或求和公式本质上可以看做是项数的函数。等差数列是关于的一次函数，是最简单的递推公式；是关于的二次函数（并且无常数项）；等比数列的是关于的指数型函数。
既然可以看做函数，那数列也应该具有函数的一般性质；也可以借助函数的思想来解题，比如应用数形结合、函数与方程思想解题；当然，两者研究的侧重点也有所不同，函数侧重的是单调性、最值与奇偶性等；等差或等比数列侧重于数列下标自身的性质。
题型1：等差数列与一次、二次函数之间的关系
由等差数列的通项公式知，当时，等差数列是关于的一次函数，所以其图像近似分步在一条直线上，由于两点可以确定一条直线，这也是由等差数列的任意两项可以确定这个等差数列的原因。
同样的，，进而可以利用二次函数的观点和方法解
决“求等差数列前项的和”的有关问题，特别是关于的增减变化，最大最小值问题，此时，的二次函数特征便很明显。
继续的，由，与等差数列的通项类似，
是直线上的孤立点（一次函数），即这些点是共线的，或者说每两个点的连线的斜率相等。
例1：等差数列的前项和为，满足，则下列结论正确的是（）
A.是中的最大值
B.是中的最小值
C.
D.
推论1：等差数列中：若，则
（原理：将看做是二次函数，由知二次函数的对称轴为，故而
）
推论2：已知数列为等差数列，，，则
（原理：，）
推论3：已知等差数列的前项和为，若，则.
（原理：、、三点共线，
即，解得。）
例2：已知等差数列的公差，前项和为，若，当为何值时最小。
题型2：函数性质在数列中的应用
①
函数单调性
例3：设无穷等差数列的前项和为，公差为，则下列结论错误的是（）
A.若，则有最大项
B.若有最大项，则
C.若是递增数列，则对于任意的，均有
D.若对于任意的，均有，则是递增数列
例4：（1）函数有无最大最小值？如果有是多少？如果没有，请说明理由；
（2）数列有无最大最小值？如果有是多少？如果没有，请说明理由；
②
函数对称性
例5：在数列中，，，且，则
③
函数周期性
例6：在数列中，，且，则
例7：在数列中，，且，则
题型3：数列思想在函数问题中的应用
我们在数列知识的学习过程中，对于数列的基本解题技巧有了认识，那数列的解题技巧对于一些函数问题也有帮助。
例8：若，求：
四．变式演练与提高
1.已知等差数列的公差，前项和为，若，求当为何值时最小.
2.在数列中，，且，则
3.在数列中，，且，则
4.设定义在正整数集上的函数，满足，，则
五．反思总结
数列可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集｛1,2,…,n｝）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
六．课后作业
1.在数列中，，且，则
2.已知是等差数列的前n项和，且，下列说法错误的是（
）
．公差；
．在所有中，最大；
．满足的的个数有11个；
．．
3.已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列
是等差数列，，则的值（
）
A.
恒为正数；
B．恒为负数；
C.恒为0；
D.可正可负.
七．参考答案
例1：答案为D；
解析：将等差数列的前项和看做是是关于的二次函数，其图像可以看做是的孤立
点，然后通过函数值，因此，其对称轴是，因此是中的最值；
至于是最大值或者最小值取决于该图像趋势的开口方向（即的符号）；同时注意到二次函数无常数项，因此可知，选项D正确。
例2：答案为最小；
解析：由题意知，看做是开口向上的二次函数，由，当时候最小。
例3：答案为C；
解析：对于无穷等差数列来说，有最大项；
对于选项C，很明显可以举出反例；同样的，对于选项D，可以通过反证法予以说明。本题答案为C。
例4：函数无最大最小值；数列为最大值，无最小值；理由见解析；
解析：在、是单调递减的，因此从函数角度来说，该函数无最大值最小值；
但以数列的角度来说，由于函数在上单调递减，因此在其子区间上也应该是递减趋势，当时候取得最大值
例5：答案为；
解析：由题意知，，∴，即中所有的奇数项均等于1；
同理，∴中所有的偶数项构成首项为1，公差为2的等差数列。
故而可知
例6：答案为；
解析：设，则由题意知，，由函数周期性的结论，可知该函数的周期为6，故而。
例7：答案为；
解析：设，则由题意知，，由函数周期性的结论，可知该函数的周期为2，故而、；所以。
例8：答案为；
解析：注意到所求代数式中的前后等距离的自变量的和为1，
故而联想到等差数列求和公式推导思路中涉及到的倒序相加。通过分析的值的特征进行求解。
设
即；两式子相加
四．变式演练与提高
1.当时，最小.
解析：由题意知，看做是开口向上的二次函数，由，此时当时，
出现这样的结果，说明两侧的值是相同的，即当时均取得最小值。
2.答案为；
解析：设，则由题意知，，由函数周期性的结论，可知该函数的周期为8，故而。
3.答案为；
解析：设，则由题意知，，同时联想三角函数正切公式，
，可以构造函数，
则；而的周期为3，∴
4.答案为；
解析：，
则
两式相减得，所以
所以
六．课后作业
1.答案为；
解析：设，则由题意知，，由函数周期性的结论，可知该函数的周期为3，故而。
2.答案为C；
解析：由题意知，等差数列的前n项和为，由，故而与，即，因此选项AD正确；
同时注意到，所以划归到二次函数的图像，其对称轴距离比较近；作出其草图，，由于该等差数列是递减数列，，所以选项B正确，因此本题选择。
3.答案为A；
解析：由奇函数的基本概念以及单调性的性质，由于，故而；同时注意等差数列的性质，，即，
∴；
因此
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精品试卷·第
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