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第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.下列几何体中不是旋转体的是( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P47.TIF"
\
MERGEFORMAT
答案 D
2.如图所示的简单组合体的结构特征是( )
A.由两个四棱锥组合成的
B.由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的
C.由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的
D.由一个四棱锥和一个四棱台组合成的
答案 A
3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )
A.一个球体
B.一个球体中间挖去一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球体中间挖去一个长方体
答案 B
解析 圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱.
故选B.
4.如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P50.TIF"
\
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INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P51.TIF"
\
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答案 A
解析 此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而形成的.
5.一个圆锥的母线长为20
cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为( )
A.10
cm
B.20
cm
C.20
cm
D.10
cm
答案 A
解析 如图所示，在Rt△ABO中，
AB＝20
cm，∠A＝30°，
所以AO＝AB·cos
30°
＝20×＝10(cm).
6.下列命题：
①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；
②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；
③圆台中所有平行于底面的截面都是圆面；
④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形.
其中正确的是( )
A.①②③
B.②③④
C.①④
D.①③④
答案 D
7.一个底面半径为2的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为( )
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
答案 A
8.下列结论正确的是( )
A.用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
B.经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
答案 D
解析 需用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台，故A错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C错误.故选D.
二、填空题
9.正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________.
答案 两个同底的圆锥组合体
解析 由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体.
10.如图中的组合体的结构特征有以下几种说法：
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P53.TIF"
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①由一个长方体割去一个四棱柱构成；
②由一个长方体与两个四棱柱组合而成；
③由一个长方体挖去一个四棱台构成；
④由一个长方体与两个四棱台组合而成.
其中说法正确的序号是________.
答案 ①②
11.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________.
答案
解析 由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径为r＝1，所以该圆锥的高为h＝＝＝
.
12.边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________.
答案
解析 如图，矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的，由题意可知
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P55.TIF"
\
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GH＝5，GF1＝，GE1＝＝.
所以从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是.
三、解答题
13.一个圆锥的高为2
cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.
解 如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°.
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P56.TIF"
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在Rt△SOA中，AO＝SO·tan
30°＝(cm).
SA＝＝＝(cm).
所以S△ASB＝SO·2AO＝(cm2).
所以圆锥的母线长为
cm，圆锥的轴截面的面积为cm2.
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
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必修2\\03\\探究与拓展.TIF"
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14.如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是( )
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A版
必修2\\03\\P57.TIF"
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P59.TIF"
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A.①③
B.①②
C.②④
D.②③
答案 A
15.圆台的上、下底面半径分别为5
cm,10
cm，母线长AB＝20
cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：
(1)绳子的最短长度；
(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.
解 (1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度，
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必修2\\03\\去年DD74.TIF"
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设OB＝l，
则θ·l＝2π×5，θ·(l＋20)＝2π×10，
解得θ＝，l＝20
cm.
∴OA＝40
cm，OM＝30
cm.
∴AM＝＝50
cm.
即绳子最短长度为50
cm.
(2)作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，
则PQ为所求的最短距离.
∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24
cm.
故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4
cm.
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第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.下列几何体中不是旋转体的是( )
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2.如图所示的简单组合体的结构特征是( )
A.由两个四棱锥组合成的
B.由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的
C.由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的
D.由一个四棱锥和一个四棱台组合成的
3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )
A.一个球体
B.一个球体中间挖去一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球体中间挖去一个长方体
4.如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P50.TIF"
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P51.TIF"
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5.一个圆锥的母线长为20
cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为( )
A.10
cm
B.20
cm
C.20
cm
D.10
cm
6.下列命题：
①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；
②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；
③圆台中所有平行于底面的截面都是圆面；
④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形.
其中正确的是( )
A.①②③
B.②③④
C.①④
D.①③④
7.一个底面半径为2的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为( )
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
8.下列结论正确的是( )
A.用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
B.经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
二、填空题
9.正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________.
10.如图中的组合体的结构特征有以下几种说法：
①由一个长方体割去一个四棱柱构成；
②由一个长方体与两个四棱柱组合而成；
③由一个长方体挖去一个四棱台构成；
④由一个长方体与两个四棱台组合而成.
其中说法正确的序号是________.
11.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________.
12.边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________.
三、解答题
13.一个圆锥的高为2
cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\探究与拓展.TIF"
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14.如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是( )
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P57.TIF"
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P59.TIF"
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A.①③
B.①②
C.②④
D.②③
15.圆台的上、下底面半径分别为5
cm,10
cm，母线长AB＝20
cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：
(1)绳子的最短长度；
(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.
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第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征
第一章
§1.1 空间几何体的结构
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.
2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.
3.了解简单组合体的概念及结构特征.
1
自主学习
PART
ONE
知识点一 圆柱的结构特征
圆柱
图形及表示
定义：以
所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
?
图中圆柱表示为
圆柱O′O
相关概念：
圆柱的轴：________
圆柱的底面：_________的边旋转而成的圆面
圆柱的侧面：_________的边旋转而成的曲面
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，____________的边
矩形的一边
旋转轴
垂直于轴
平行于轴
不垂直于轴
思考 圆柱的轴截面有
个，它们
(填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有
条，它们与圆柱的高
.
无穷多
全等
无穷多
相等
知识点二 圆锥的结构特征
圆锥
图形及表示
定义：以直角三角形的
所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体
?
图中圆锥表示
为圆锥SO
相关概念：
圆锥的轴：旋转轴
圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置
，不垂直于轴的边
一条直角边
思考 圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗？
答案 圆锥的轴截面有无穷多个，母线有无穷多条，圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线.
圆台
图形及表示
定义：用
的平面去截圆锥，
之间的部分叫做圆台
旋转法定义：以直角梯形中
所在直线为旋转轴，将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转体叫做圆台
?
图中圆台表示为：
圆台O′O
相关概念：
圆台的轴：旋转轴
圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面
圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
知识点三 圆台的结构特征
平行于圆锥底面
底面与截面
垂直于底边的腰
知识点四 球的结构特征
球
图形及表示
定义：以
所在直线为旋转轴，
旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球
?
图中的球表示为球O
相关概念：
球心：半圆的_____
半径：半圆的_____
直径：半圆的_____
半圆的直径
半圆面
圆心
半径
直径
知识点五 简单组合体的结构特征
(1)概念：由
组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成的.
(2)基本形式：一种是由简单几何体
而成，另一种是由简单几何体
或
_____
一部分而成.
简单几何体
拼接
截去
挖去
1.直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.( )
2.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.( )
3.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.( )
4.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
×
×
2
题型探究
PART
TWO
解析 ①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；
②它们的底面为圆面；
③④⑤正确.
例1 下列说法正确的是________.(填序号)
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；
④半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；
⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.
题型一 旋转体的结构特征
③④⑤
反思感悟
(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
跟踪训练1 下列说法，正确的是
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
解析 由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.
√
例2 (1)请描述如图所示的几何体是如何形成的.
题型二 简单组合体的结构特征
解 ①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；
②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；
③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.
(2)如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD解 如图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.
反思感悟
(1)解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力.
(2)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.
跟踪训练2 (1)如图所示的简单组合体的组成是
A.棱柱、棱台
B.棱柱、棱锥
C.棱锥、棱台
D.棱柱、棱柱
√
(2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括
A.一个圆台、两个圆锥
B.两个圆柱、一个圆锥
C.两个圆台、一个圆柱
D.一个圆柱、两个圆锥
√
解析 图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥.
例3 一个圆台的母线长为12
cm，两底面面积分别为4π
cm2和25π
cm2，求：
(1)圆台的高；
题型三 旋转体的有关计算
解 圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).
由已知可得O1A＝2
cm，OB＝5
cm.
又由题意知腰长为12
cm，
(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.
解 如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，
设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
解得l＝20(cm).
即截得此圆台的圆锥的母线长为20
cm.
反思感悟
用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.
跟踪训练3 如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3
cm，求圆台O′O的母线长.
解 设圆台的母线长为l
cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r
cm,4r
cm.过轴SO作截面，如图所示.
则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3
cm.
解得l＝9，即圆台的母线长为9
cm.
典例 如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
圆柱侧面展开图的应用
核心素养之直观想象与数学运算
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
ZHI
GUAN
XIANG
XIANG
YU
SHU
XUE
YUN
SUAN
解 把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，
则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离.
∵AA′为底面圆的周长，
∴AA′＝2π×1＝2π.又AB＝A′B′＝2，
素养
评析
(1)求几何体表面上两点间的最小距离的步骤
①将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；
②将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；
③结合已知条件求得结果.
(2)解决此类问题需要将空间图形转化为平面图形，也就是借助空间形式认识事物的位置关系、形态、变化等，同时，要理解运算对象，探究运算思路，所以本题体现了直观想象与数学运算的核心数学素养.
3
达标检测
PART
THREE
1.下列几何体是台体的是
解析 台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.
C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.
1
2
3
4
5
√
2.下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图1中的几何体的是
√
解析 由题意知，所得几何体是组合体，上、下各一圆锥，故B正确.
1
2
3
4
5
图1
3.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是
A.圆柱
B.圆台
C.球体
D.棱台
解析 圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形，故选D.
√
1
2
3
4
5
4.如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是______.
1
2
3
4
5
圆柱
1
2
3
4
5
2
1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
2.球面、球体的区别和联系
?
区别
联系
球面
球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面
球面是球体的表面
球体
球体是几何体，包括球面及所围的空间部分
3.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.
4.处理组合体问题常采用分割思想.
5.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.
