北师大版高中数学必修5等差数列教案（Word）

第二节
等差数列
等差数列
【教学目标】
1.知识与技能
（1）理解等差数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等差数列，并确定等差数列的公差；
（2）能运用等差数列的通项公式解决相关问题．
2.过程与方法
通过对等差数列概念和通项公式的探究，培养学生观察、归纳、类比、猜想、推理等发现规律的一般方法。
3.情感、态度与价值观
通过对等差数列概念和通项公式的探究，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好学习习惯。
【教学重难点】
重点：等差数列概念和通项公式的探究及等差数列通项公式的运用。
难点：等差数列通项公式的探究及其运用。
【教学过程】
课前预习指导：
仔细阅读课本，完成以下预习检测
1．观察下面几组数列：
(1)3,4,5,6,7，…；
(2)6,3,0，－3，－6，…；
(3)1.1,2.2,3.3,4.4,5.5，…；
(4)－1，－1，－1，－1，－1，….
回答这几组数列的共同特点是________________________________．
2.判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出首项a1和公差d；如果不是，请说明理由．
(1)4,7,10,13,16，…；
(2)31,25,19,13,7，…；
(3)0,0,0,0,0，…；
(4)a，a－b，a－2b，…；
(5)1,2,5,8,11，….
二、新课学习
问题探究一　等差数列的概念
判断下列数列是否为等差数列.
（1）an＝2n－1
（2）an＝（－1）
问题探究二　等差数列的通项公式
例2
已知等差数列｛an｝，a=1，d=
2，求通项an.
思考：如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，你能用两种方法求其通项吗？
（1）求等差数列9,5,1，…的第10项；
（2）已知等差数列{an}，an
=
4n-3,求首项a1和公差d.
已知在等差数列{an}中，a5＝-20，a20＝-35，求它的通项公式。
学后检测1
若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
学后检测2
已知{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13，求它的通项公式．
问题探究三
等差数列与一次函数的联系
解析式
等差数列an＝kn＋b(n∈N＋)
一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)
不同点
定义域为N＋，图像是一系列孤立的点(在直线上)
定义域为R，图像是一条直线
相同点
等差数列通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式
根据上述对比可知公差d的几何意义是等差数列的图像上任意两点(n，an)、(m，am)连线的斜率，即d＝
.所以当d
＞0时,{an}是
数列；当d
＜0时,
{an}为
数列；当d＝0时，{an}为
数列．
已知（1，1），（3,5）是等差数列{an}图像上的两点.
求这个数列的通项公式；
画出这个数列的图像；
判断这个数列的单调性.
学后检测
3
四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，
求这四个数．
问题探究四　等差中项
1　如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫作x和y的等差中项，试用x，y表示A.
2　已知A，B，C是△ABC的三个内角，且B是A、C的等差中项，求角B的大小．
学后检测
4
梯子的最高一级宽33
cm，最低一级宽110
cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．
【课堂小结】
1.
理解等差数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等差数列，并确定等差数列的公差；
2.
能运用等差数列的通项公式解决相关问题．
（二）等差数列的前n项和
【教学目标】
1.知识与技能
(1)理解等差数列前n项和公式的推导过程．
(2)熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
(3)掌握等差数列前n项和公式及性质的应用.
2.过程与方法
通过对等差数列概念和通项公式的探究，培养学生观察、归纳、类比、猜想、推理等发现规律的一般方法。
3.情感、态度与价值观
通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。
【教学重难点】
重点：熟练掌握等差数列的求和公式。
难点：灵活应用求和公式解决问题。
【教学过程】
一、课前预习指导：仔细阅读课本第15页内容，完成以下预习检测
1、
求和：1＋2＋3＋…＋100＝？
2、请你利用“高斯的算法”求1＋2＋3＋…＋n＝？
二、新课学习
问题探究一　等差数列前n项和公式的推导
1、设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，你能利用“倒序相加法”
求等差数列{an}的前n项和Sn吗？
2、关于等差数列前n项和公式的推导，你还能设计出怎样的方案？
例1
在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
学后检测1
已知等差数列{an}的前3项依次为a,4,3a，前k项和Sk＝2550，
求a及k.
问题探究二　等差数列前n项和的性质
设{an}是等差数列，公差为d，Sn是前n项和，
易知a1＋a2＋…＋am，am＋1＋am＋2＋…＋a2m，a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m也成等差数列，
公差为
.上述性质可以用前n项和符号Sn表述为：若{an}成等差数列，
则Sm，
，
也成等差数列．
设Sn、Tn分别为两个等差数列{an}和{bn}的前n项和，证明：＝
若数列{an}是公差为d的等差数列，求证：数列{}也是等差数列
例2
在数列{
an}中，an＝2n+3,求这个数列自第100项到第200项之和S的值。
学后检测2
等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
例3
在新城大道一侧A处，运来20颗新树苗。一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10m载一棵树苗，这名工人每次只能运一棵。要载完这20棵树苗，并返回A处，植树工人共走了多少路程？
【课堂小结】
1.理解等差数列前n项和公式的推导过程．
2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
3.掌握等差数列前n项和公式及性质的应用.