沪教版高中数学高二下册 12.1曲线与方程 教案

12.1
曲线与方程
[教材分析]
曲线与方程的概念，是解析几何的灵魂.在本教材中，它被安排在解析几何的第二部分，即《坐标平面上的直线》的后面，圆锥曲线的开始.这样的安排表示曲线与方程的概念，既是对直线方程等数学知识的深化，又是学习圆锥曲线的理论基础，它的思想贯穿于全章各节教材.
事实上，研究曲线与方程的过程，就是把曲线的几何特征转化为代数中的数量关系，并通过代数中的运算等手段，处理已得到的数量关系来得出曲线的几何性质，并达到利用曲线为人们服务的目的．因此，学习这一部分内容可以加深学生对数学中的代数方法的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质．
[学情分析]
学生已有了用方程（有时用函数式的形式出现）表示曲线的感性认识（特别是二元一次方程表示直线）。
本课在此基础上进一步推广,研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系。这是由直观表象上升到抽象概念的过程，对内高班学生有相当大的难度。学生在学习时容易产生的问题是：不理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”这两句话在揭示“曲线和方程”关系时各自所起的作用。所以本节课采用了复习引入课题，从学过的比较熟悉的“数”与“形”出发，铺设台阶，展开这个问题，使学生易于接受。
[设计意图]
曲线与方程，网上有很多非常好的教案，优秀的设计。这里我想换一种模式来引入这节课，加强代数和几何之间的转换，同时加强函数知识（这里我们把函数看作方程的一种特殊形式），这样函数图像也就是一种特殊的曲线，从而使学生减少陌生感。
在引入上，除了复习前面学习的直线与二元一次方程的对应，更复习了学习过的函数与其图像，内高班学生已经很好地把函数解析式和它的图象对应起来。通过函数与方程的转化（函数都可以看作关于x，y的二元方程），让学生知道，我们很早就开始把数形结合了，减少学习新知识的陌生感。然后我们通过一个具体实例通过特殊到一般研究一般曲线与方程之间的对应，得出曲线的方程与方程的曲线的定义。通过例1，来深入理解这一概念；例2可以看作曲线与方程的简单应用；例3，更是通过特殊到一般。这道题，来源于练习册P16页的第1题。内高班的学生对于抽象的f(x,y)=0没任何概念，所以我复习了函数，再通过一具体例子，让学生熟悉这种表达式。最后再把它抽象到一般的直线，学生理解就容易多了。作为课上内容的补充，我在作业中增加了画出方程所对应的曲线，实际上学生通常把他们转换成函数，通过所学的函数来画图。
[教学目标]
知识与技能目标
（1）解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；
（2）了解解析几何的基本思想；初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；
（3）理解曲线与方程的关系，掌握“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义；
（4）能运用定义对点与曲线的关系、方程与曲线的关系进行判断和辨析；
（5）能运用定义对曲线的方程进行证明；
过程与方法目标
（1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；
（2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；
（3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题。
情感与态度目标
（1）通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律；
（2）通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；
（3）学生通过从特殊到一般，从具体到抽象，培养逻辑思维能力与抽象思维能力.
[教学重点与难点]
1、
掌握“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义；
2、
运用定义对曲线的方程进行证明.
[教学过程]
1、
温故知新
回顾前一章所学知识，复习直线的方程的概念
我们在上一章中，学习了坐标平面上的直线。在这里我们通过二元一次方程可以定量的计算直线的倾斜角，距离，夹角等数量问题，也可以通过二元一次方程组判断直线的平行，垂直等位置关系。这一切都与源于二元一次方程和直线的对应，这种对应就是直线上的点都是二元一次方程的解，以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上。这样我们通过研究解就研究了点，研究了点也就研究了解。接下来我们希望把这种关系进行拓展，进而可以研究更广泛的问题。
直线容易拓展到曲线，而二元一次方程就拓展到什么呢？
下面我们一起把以前学习的数和形都对应起来。我们发现把几何代数化以后，图形中角度计算、长度求解能很方便的利用代数知识求解。
同时我们也可以利用几何图像与代数式（我们只学习了直线方程）之间的对应反过来求解相应的代数问题：
我们学过的“代数”：和学生一起回忆
函数
方程
轨迹
一次函数------
二元一次方程
------直线
二次函数--------
---------抛物线
反比例函数--------
----------双曲线
指数函数，对数函数---------
三角函数，反三角函数--------------
其函数式都可以看作关于x,y的二元一次方程，提到这些函数我们头脑中自然出现其所对应得函数图像。
接下来再看一下我们学过的几何图形
点
线
三角形
都可用二元一次方程来表示
四边形
圆
二、分析特例归纳定义
大家打开书本，课本P31页，例1之前。
思考：为什么得出圆上的点满足方程时，还要继续说明满足方程的解为坐标的点都在圆上。
我们研究一下以（1，0）为圆心以1为半径的圆周上的点所满足的方程：
回答：前面学习直线及其方程，强调的是直线上的点和方程的解要一一对应，现在我们把直线推广到曲线，二元一次方程推广到二元方程，重点也是要一一对应。否则，那些不满足方程的点，我们就无法通过解来研究；反之，那些是方程的解，但以其为坐标的点若不在曲线上，那研究也就失去了意义。所以我们强调的是点和解之间要一一对应。
一般地，如果曲线C与方程之间有以下两个关系：
1、曲线C上的点的坐标都是方程的解；
2、以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点，
此时，把方程叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程的曲线。
借助于平面坐标系用代数方法研究平面图形性质的学科称为解析几何。
三、学习例题巩固定义
例1判断下列结论的正误并说明理由：
（1）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2;
（2）已知点A（1，0）、B（0，1）。线段AB的方程是x+y-1=0;
（3）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为x-y=0。
（4）已知两点A（-1，1）和B（3，-1），线段AB的垂直平分线l的方程是2x-y-2=0。
其中四道题都由学生回答，（1）错误，原因是点多了，举一反例说明错误；
（2）错误，原因是解多了，同样举反例说明。再说明线段方程如何写；
（3）错误，同（1）
（4）学生计算，得出（4）正确。需要证明，学生口述，老师板书：
强调证明方法，条件1，2缺一不可。
例2、已知圆心为坐标原点，半径为5的圆的方程是，
（1）
判断点、是否在圆上；
（2）
若点在圆上，试求实数a的值。
学生口答：适合方程，在圆上，不适合方程，不在圆上；若在圆上，则适合方程，解出。
四、变式思维、深化理解
例3、已知，
（1）画出方程g(x,y)=0所对应的曲线
（2）计算g(1,3)，g(1,1)的值；
（2）设，画出f(x,y)=0的图像。
深化拓展1：对于本题判断曲线f(x,y)=0与曲线g(x,y)=0的关系？
深化拓展2：点在所对应的直线上，不在对应的直线上，试判断曲线与曲线的位置关系？
深化拓展3：若把改为，上述结论是否依然成立？
答：，即直线；，；即
拓展1：平行；拓展2：平行；拓展3：还是平行。
总结与作业
1.
“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义:
（1）曲线C上的点的坐标都是方程
f(x，y)＝0的解；
（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.
在领会定义时，要牢记关系⑴、⑵两者缺一不可.
2.曲线和方程之间一一对应的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。
五、练习：
1、下列方程的曲线分别是什么？
(1)
；
(2)
；
(3)
；(4)
．
2、设集合，，
则AB表示的曲线是____________________，AB表示的曲线是____________________．
[板书设计]
曲线与方程
书本例1
证明点满足直线方程上
解为坐标的点在直线上