2020年九年级数学中考二轮复习第一讲： 二次函数的图像和性质讲义（习题无答案）

二次函数的图像和性质
一、基础知识
1、二次函数的三种形式:
一般式:
顶点式:;
交点式:.
2、一般地,抛物线与的形状相同,位置不同.把抛物线向上(下)向左(右)平移,可得到抛物线.平移的方向、距离要根据,的值来决定.
抛物线有如下特点:
(1)当时,开口向上,函数有最小值;当时,开口向下,函数有最大值;
(2)对称轴是;
(3)顶点是.
3、二次函数的图像是抛物线.
顶点是：，对称轴是：.
开口方向：时，开口向上；时，开口向下.
增减性：当，在时，随的增大而减小，在时,随的增大而增大；即离函数图像对称轴越远的点函数值越大
当时，在时，随的增大而增大，在时,随的增大而减小.
即离函数图像对称轴越远的点函数值越小
最值:当时，函数有最小值,且当时，有最小值是；时，函数有最大值,且当时，有最大值是.
开口大小:越大抛物线的开口越小,反之越大.
4、我们可以利用根的判别式来判断函数与轴交点的个数
(1)当时,抛物线与轴有两个交点;
(2)当时,抛物线与轴有一个交点;
(3)当时,抛物线与轴无交点.
5、抛物线与轴的交点是.
6、函数图像与a、b、c的关系
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.
口诀---左同，右异
（a、b同号，对称轴在y轴左侧）
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
①，抛物线经过原点;
②,与轴交于正半轴；
③,与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则
.
补充知识点、中考二次函数压轴题中常用到的公式（浙教版教材上没讲过，但是非常有用，一定要理解性地记忆）
1、两点间距离公式：如图：点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则AB间的距离，即线段AB的长度为
（这实际上是根据勾股定理得出来的）
2、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，
，中点的坐标为．由，
得，同理，所以的中点坐标为．
(
A
P
B
O
)
3、两平行直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1=k2，也就是说当我们知道一条直线的k值，就一定能知道与它平行的另一条直线的k值。
4、两垂直直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1×k2=-1，也就是说当我们知道一条直线的k值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的k值。（对于这一条，只要能灵活运用就行，不需要理解）
【例1】、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在抛物线对称轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．
【例2】、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
浙江有关二次函数图像和性质考题精选
1、（2019·浙江中考真题）已知函数（，为常数）的图象经过点.
（1）求，满足的关系式；
（2）设该函数图象的顶点坐标是，当的值变化时，求关于的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值．
2、（2019·浙江中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点.
（1）求的值和图象的顶点坐标。
（2）点在该二次函数图象上.
①当时，求的值；
②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围.
3、【2019温州21、（本题满分10分）】
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围；
（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．
4、【2018温州21.
(
10分
)
】如图，抛物线
交
轴正半轴于点A，直线
经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线
，交
轴于点B．
（1）求a，b的值．
（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为
，△OBP的面积为S，记
．求K关于
的函数表达式及K的范围．
2019温州各校模拟二次函数中考题型精选
1、外国语三模
2、绣山模拟
3、绣山三模
4、温州市六校联谊第二次模拟
4、温州市六校联谊第二次模拟
5、温州部分学校联考二模
6、瓯海二模
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