第2课时
异分母分式的加减法
【教学目标】
【知识与技能】
1.会找最简公分母，能进行分式的通分；
2.理解并掌握异分母分式加减法的法则.
【过程与方法】
类比同分数加减法的法则归纳出分式的加减法法则.
【情感态度】
通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想.
【教学重点】
1．会找最简公分母，能进行分式的通分．
2．理解并掌握异分母分式加减法的法则．
3．经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，提高分式运算能力．
【教学难点】
掌握异分母的分式加减法的运算.
【教学过程】
一、情境导入
问题1：观察思考：
(1)＋＝＋＝；
(2)－＝－＝.
异分母分数相加减，先通分，再把分子相加减．
类比异分母分数的加减，你能说出异分母分式的加减法则么？
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．
用字母表示为：±＝±＝.
问题2：小学我们学习过异分母分数的加减法，如＋＝＋＝，那么如何计算－呢？
二、合作探究
探究点一：分式的通分
【类型一】
最简公分母
分式与的最简公分母是________．
解析：∵x2－3x＝x(x－3)，x2－9＝(x＋3)(x－3)，∴最简公分母为x(x＋3)(x－3)．
方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂．“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”；当分母是多项式时，一般应先因式分解．
【类型二】
分母是单项式分式的通分
通分．
(1)，；
(2)，；
(3)，，.
解析：先确定最简公分母，找到各个分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式．
解：(1)最简公分母是2b2d，＝，＝；
(2)最简公分母是6a2bc2，＝，＝；
(3)最简公分母是10xy2z2，＝，＝，＝－.
方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母．
【类型三】
分母是多项式分式的通分
通分．
(1)，；
(2)，.
解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分．
解：(1)最简公分母是2a(a＋1)(a－1)，
＝，
＝；
(2)最简公分母是(2m＋3)(2m－3)2，
＝，＝.
方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商．
探究点二：异分母分式的加减法
【类型一】
异分母分式的加减法运算
计算：
(1)－；
(2)＋a＋2；
(3)－＋.
解析：依据分式的加减法法则，(1)、(3)中先找出最简公分母分别为(x－2)(x＋2)2、(m＋n)(m－n)，再通分，然后运用同分母分式加减法法则运算；(2)中把后面的加数a＋2看成分母为1的式子进行通分．
解：(1)原式＝－
＝－
＝＝；
(2)原式＝＝＝2a；
(3)原式＝－＋＝＝.
方法总结：分母是多项式时，应先因式分解，目的是为了找最简公分母以便通分．对于整式与分式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再通分，也可以把整式的分母整体看成1，再进行通分运算．
【类型二】
分式的混合运算
计算：
(1)(－)÷；
(2)÷(－a－3)．
解：(1)原式＝[－]÷
＝(－)÷＝·＝－；
(2)原式＝÷(－)
＝÷
＝·
＝－.
方法总结：对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后加减，如果遇到括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．
探究点三：分式运算的化简求值
【类型一】
先化简，再根据所给字母的值求分式的值
先化简，再求值：(＋)÷，其中x＝1，y＝－2.
解析：化简时，先把括号内通分，把除法转化为乘法，把多项式因式分解，再约分，最后代值计算．
解：原式＝·＝，
当x＝1，y＝－2时，原式＝＝－.
方法总结：分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的计算顺序，式子化到最简再代值计算．
【类型二】
先化简，再选择字母的值求分式的值
先化简，再选择使原式有意义的数代入求值：·－.
解析：先把分式化简，再选数代入，x可取除－3、0和2以外的任何数．
解：原式＝·－
＝－
＝
＝－.
当x＝1时，原式＝－1.(x取除－3、0和2以外的任何数)
方法总结：取数代入求值时，要注意所选择的值一定满足分式分母不为0，这包括原式及化简过程中的每一步的分式都有意义．
【类型三】
整体代入求值
已知实数a满足a2＋2a－8＝0，求－·的值．
解析：首先把分式分子、分母能因式分解的先因式分解进行约分，然后进行减法运算，最后整体代值计算．
解：－·＝－·＝－＝＝.
∵a2＋2a－8＝0，∴a2＋2a＝8，∴原式＝＝.
方法总结：利用“整体代入”思想化简求值时，先把要求值的代数式化简，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，再整体代入即可．
探究点四：运用分式解决实际问题
有一客轮往返于重庆和武汉之间，第一次往返航行时，长江的水流速度为a千米/小时；第二次往返航行时，正遇上长江汛期，水流速度为b千米/小时(b＞a)．已知该船在两次航行中，静水速度都为v千米/小时，问该船两次往返航行所花时间是否相等，若你认为相等，请说明理由；若你认为不相等，请分别表示出两次航行所花的时间，并指出哪次时间更短些？
解析：重庆和武汉之间的路程一定，可设其为s，所用时间＝顺流时间＋逆流时间，注意顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度，把相关数值代入，比较即可．
解：设两次航行的路程都为s.
第一次所用时间为＋＝，
第二次所用时间为＋＝，
∵b＞a，∴b2＞a2，
∴v2－b2＜v2－a2，
∴＞.
∴第一次的时间要短些．
方法总结：①运用分式解决实际问题时，用分式表示实际问题中的量是解决问题的关键；②比较分子相同的两个分式的大小，分母大的反而小．
三、板书设计
1．分式的通分
2．异分母分式的加减法：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算．
3．分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇到括号要先算括号里面的．
四、教学反思
对于异分母分式相加减，注意强调转化思想：通过通分，把异分母分式转化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算．对于分式混合运算，关键是要注意各种运算的先后顺序，最后结果要化为最简分式．在教学中，注意培养学生认真细致的学习态度，从运算符号到通分、约分，都应认真对待，一丝不苟.
在授课结束后发现学生对于同分母的分式的加减运算掌握得比较好，但是对于异分母的分式加减就掌握得不是很理想，很多学生对于分式的通分还很不熟练，也有学生对于计算结果应该为最简分式理解不够总是无法化到最简的形式，所以对异分母的加减法还要加强练习.5.3
分式的加减法
第1课时
同分母分式的加减法
【教学目标】
【知识与技能】
理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算.
【过程与方法】
类比同分数加减法的法则归纳出分式的加减法法则.
【情感态度】
通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想.
【教学重点】
1．类比同分母分数加减法法则归纳出同分母分式加减法法则．
2．理解同分母分式加减法的运算法则，能进行同分母分式加减运算及分母互为相反式的分式加减法运算．
【教学难点】
掌握同分母分式的加减法则，能进行分式的加减法运算.
【教学过程】
一、情境导入
问题1：练一练：
.
【教学说明】通过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性,从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容.
问题2：大约公元250年前后，古希腊数学家丢番图在形容如何将42表示成两个数的平方和时，得出了一组答案，这两个数都是分母为b，分子比是4∶3的分数．你能根据这些条件，求出这两个数来吗？
二、合作探究
探究点一：同分母分式的加减运算
计算：
(1)－；
(2)＋；
(3)－.
解析：根据同分母分式加减法的法则，把分子相加减，分母不变．注意(1)，(3)两小题属于同分母分式的减法运算，减式的分子要变号．
解：(1)原式＝＝＝－；
(2)原式＝＝＝－a－1；
(3)原式＝＝＝－1.
方法总结：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后结果要化为最简分式或整式．
探究点二：分式的符号法则
计算：
(1)＋；
(2)＋－.
解析：(1)先把第二个分式的分母y－x化为－(x－y)，再把分子相加减，分母不变；
(2)先把第二个分式的分母a－b化为－(b－a)，再把分子相加减，分母不变．
解：(1)原式＝－
＝
＝＝＝x＋y；
(2)原式＝－－
＝
＝＝＝－2.
方法总结：分式的分母互为相反数时，可以把其中一个分母放到带有负号的括号内，把分母化为完全相同．再根据同分母分式相加减的法则进行运算．
三、板书设计
1．同分母分式加减法法则：±＝.
2．分式的符号法则：＝，＝＝－.
四、教学反思
通过这节课的学习，总结分式加减的特点：同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
本节课通过同分母分数的加减法类比得出同分母分式的加减法．易错点一是符号，二是结果的化简．在教学中，让学生参与课堂探究，进行自主归纳，并对易错点加强练习．从而让学生对知识的理解从感性认识上升到理性认识.第3课时
分式的加减混合运算
【教学目标】
【知识与技能】
1.熟练地进行同分母的分式加减法的运算.会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减；
2.明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.
【过程与方法】
经历分式的混合运算探讨过程，训练学生的分式运算能力.
【情感态度】
培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识,进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识.
【教学重点】
1．会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算．
2．能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值．
【教学难点】
熟练地进行分式的混合运算.
【教学过程】
一、知识探究
1．同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减．
异分母的分式相加减：先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算，分式加减的结果要化为最简分式．
2．分式的加减混合运算顺序是：有括号则先算括号里的，再按顺序计算．
二、自学反馈
计算：
(1)－1；
(2)＋；
(3)＋＋.
解：(1).(2).(3).
严格按照计算顺序进行，在计算过程中，分式前面是“－”号时，计算时一定要注意符号变化．
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)＋；
(2)－x＋1；
(3)＋－.
解：(1).(2).(3).
例2 已知＝2，求－－的值．
解：原式＝，
因为＝2，所以x＝2y.
所以原式＝＝.
活动2 跟踪训练
1．先化简，再求值：
(1)已知a＝，求－的值；
(2)已知x＝3y，求－的值．
解：略．
2．某蓄水池装有A，B两个进水管，每小时可分别进水a
t，b
t．若单独开放A进水管，p
h可将该水池注满．如果A，B两根水管同时开放，那么能提前多长时间将该蓄水池注满？
解：略．
在运算过程中，要注意分式乘方不要漏乘；加减计算要注意符号；和整数或整式相加减时注意把整式或整数看成分母是1的整式或整数，通分后再计算；化简求值，一定要换成最简分式再求值．
活动3 课堂小结
1．异分母分式相加减的法则及通分注意事项．
2．分式的化简求值及变形．
3．实际问题中能正确把握分式所表示的意义将更有助于解题.
课后针对性练习
三.运用新知，深化理解
【教学反思】
学生依据分数的混合运算的性质进行分式的混合运算，学起来并不难，但要达到运算熟练的程度并不容易．在强调进行分式混合运算同时，要注意运算顺序：在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减；
有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.
