(共39张PPT)
初二年级
数学
平行四边形的判定（第二课时）
用边
来判定
定义：两组对边分别平行的四边形
叫做平行四边形.
判定定理1：两组对边分别相等的四边形
是平行四边形.
用对角线
来判定
判定定理2：对角线互相平分的四边形
是平行四边形.
复习回顾
知
识
平行四边形的判定方法:
null
复习回顾
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵
AB
CD，
∥
AD
BC
∥
由两组对边的位置关系可以证明
四边形是平行四边形.
，
null
复习回顾
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵
AB=CD，
AD=BC
由两组对边的数量关系可以证明
四边形是平行四边形.
，
null
复习回顾
四边形ABCD是平行四边形.
∵
AB=CD，
，
AD∥BC
（或AB
CD）
∥
？
对边的数量关系和位置关系结合在一起能否证明四边形是平行四边形呢？
null
不确定
探究新知
猜想
一组对边平行且相等的
四边形是平行四边形.
一组对边平行另一组对边
相等的四边形是平行四边形.
null
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
//
=
AD∥BC且AD=BC，
可简记为AD
BC.
已知：如图，在四边形ABCD中，AD
BC.
//
=
null
求证：四边形ABCD是平行四边形.
分析：
AD∥BC
欲证四边形ABCD是平行四边形
已知：如图，在四边形ABCD中，AD
BC.
//
=
AB∥CD
AD=BC
AB=CD
△ABC
≌
△CDA
null
求证：四边形ABCD是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，AD
BC.
//
=
证明：
∵
AD∥BC，
∴∠BCA=∠DAC.
连接AC.
∵
CB=AD(已知)，
AC=CA(公共边)，
∴△ABC≌△CDA
(SAS).
null
求证：四边形ABCD是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，AD
BC.
//
=
证明：
∴
四边形ABCD是平行四边形.
∴
AB=DC.
又∵
AD＝BC，
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
符号语言：
平行四边形判定定理3
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AD
BC，
//
=
用边
来判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
用对角线
来判定
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定方法:
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
4.
下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(
).
D
尝试练习
(A)
AB∥CD，AD∥BC
.
(B)
AB=CD
，AD=BC
.
(C)
AB∥CD，AB=CD.
(D)
AB∥CD，AD=BC.
典例精析
例1
已知：如图，在□
ABCD中，E，F分别是边AD，BC
的中点.
求证：EB=DF.
分析：
欲证EB=DF
四边形EBFD是平行四边形
△AEB
≌△CFD
典例精析
例1
已知：如图，在□
ABCD中，E，F分别是边AD，BC
的中点.
求证：EB=DF.
分析：
欲证四边形EBFD是平行四边形.
DE∥BF
BE∥DF
DE=BF
典例精析
例1
已知：如图，在□
ABCD中，E，F分别是边AD，BC
的中点.
求证：EB=DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
AD∥BC，AD=BC.
∴
ED=
AD
，BF=
BC.
又
∵
E，F分别是AD，BC的中点，
证明：
典例精析
例1
已知：如图，在□
ABCD中，E，F分别是边AD，BC
的中点.
求证：EB=DF.
证明：
∴
ED=BF.
∴
EB=DF.
∵
ED∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形.
例2
已知：如图，
□
ABCD中，点E，F分别是CD，AB
上的动点，且CE=AF，
连接DF，BE，EF，EF交BD于
点O．求证：OE=OF．
典例精析
欲证OE=OF
四边形DFBE是平行四边形
全等
分析：
典例精析
分析：
四边形DFBE是平行四边形
BF∥DE
DF∥BE
BF∥DE
BF=DE
典例精析
证明：
∴
四边形DFBE是平行四边形.
∴
OE=OF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
BF∥DE，AB=CD.
又∵
AF=CE，
∴
BF=DE.
证明线段相等
的常规思路
小结：
线段和差.（共线）
等角对等边.（同一三角形）
证全等.（两个三角形）
证平行四边形.（同一四边形）
根据题目中已知条件选择
合适的判定方法证平行四边形.
例3
已知：E，F是□
ABCD对角线AC上的两点，AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
典例精析
证法一：
用判定定理1：
两组对边分别相等的四边形
是平行四边形.
例3
已知：E，F是□
ABCD对角线AC上的两点，AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
典例精析
证法二：
用判定定理3：
一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形.
例3
已知：E，F是□
ABCD对角线AC上的两点，AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
典例精析
证法三：
用判定定理2：
对角线互相平分的四边形
是平行四边形.
O
例3
已知：E，F是□
ABCD对角线AC上的两点，AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
典例精析
O
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
连接BD，交AC于点O.
∴OA=OC，OB=OD.
例3
已知：E，F是□
ABCD对角线AC上的两点，AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
典例精析
O
证明：
又∵
AE=CF，
∴OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
思考：
根据对角之间的关系是否判定一个四边形是平行四边形呢？
猜想：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
已知：
在四边形ABCD中，
∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
∠A=∠C，∠B=∠D，
∴2∠A+2∠B=360°．
∵
∠A+∠B+∠C+∠D=360°
，
∴∠A+∠B=180°．
∴AD∥BC．
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
同理可证：AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
结论：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
课堂练习
如图，F，C是线段AD上的两点，AF=DC，
AB∥DE，
BC∥EF，
连接AE，BD.
求证：四边形ABDE是平行四边形.
课堂练习
欲证四边形ABDE是平行四边形
分析：
AE∥BD
AB∥DE
AB=DE
BC∥EF
AB∥DE
∠1=∠2
∠3=∠4
AF=DC
AC=DF
△ABC
≌
△DEF
课堂练习
证明：
∴
AB=DE.
∵
AB∥DE，BC∥EF，
∴
∠1=∠2，∠3=∠4.
∵
AF=DC，
∴
AC=DF.
∴
△ABC
≌
△DEF(ASA)
.
∴四边形ABDE是平行四边形.
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
课堂小结
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定方法：
5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
另一组
对边平行
课堂小结
1.已知一组对边平行.
能根据不同条件灵活选取
适当的判定方法进行推理论证．
方
法
归
纳
这组对边
相等
注意已知平行四边形的条件
另一组
对边相等
课堂小结
2.已知一组对边相等.
能根据不同条件灵活选取
适当的判定方法进行推理论证．
方
法
归
纳
这组对边
平行
注意已知平行四边形的条件
课堂小结
3.已知一条对角线有中点或者被平分.
能根据不同条件灵活选取
适当的判定方法进行推理论证．
方
法
归
纳
注意已知平行四边形的条件
另一条对角线被平分
课后作业
1.如图，点A，B，E在同一条直线上，AB=DC，∠C=∠CBE，四边形ABCD是平行四边形吗？
说说你的理由.
课后作业
2.如图，在四边形ABCD中，
AD=BC，
DE⊥AC于点E，
BF⊥AC于点F
，且AF=CE.
求证：
四边形ABCD是平行四边形.
感谢同学们的参与
祝同学们学业有成！(共46张PPT)
初二年级
数学
平行四边形的判定（第一课时）
符号语言:
平行四边形的定义:
复习回顾
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的对边平行且相等.
平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形
的性质
平行四边形的对角相等.
边
角
对角线
复习回顾
平行四边形
的性质
复习回顾
∴
AB
CD，AD
BC，
AB
=
CD，AD
=
BC，
∥
∥
∵四边形ABCD是平行四边形，
∠BAD
=∠BCD，∠ADC
=∠ABC，
OA=OC，OB=OD.
边
角
对角线
？
复习回顾
平
行
四
边
形
问题:如何判断一个四边形是平行四边形？
探究新知
符号语言:
∵
AB∥CD，AD∥BC，
∴.四边形ABCD是平行四边形.
定义:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形定义就是判定方法
问题:如何判断一个四边形是平行四边形？
探究新知
平行四边形边的性质（位置关系）：平行四边形对边平行.
逆
命
题
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
问题:如何判断一个四边形是平行四边形？
探究新知
平行四边形边的性质（数量关系）：平行四边形对边相等.
逆
命
题
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
问题:如何判断一个四边形是平行四边形？
探究新知
逆
命
题
平行四边形角的性质：平行四边形对角相等.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
问题:如何判断一个四边形是平行四边形？
探究新知
逆
命
题
平行四边形对角线的性质：平行四边形对角线互相平分.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
逆命题：
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
3.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
探究新知
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
3.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
猜想：平行四边形的判定方法
这些命题一定成立吗？如何证明？
证明猜想1
已知：在四边形ABCD中，
求证：
AB=CD，AD=BC.
四边形ABCD是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
文字语言
符号语言
图形语言
四边形ABCD是平行四边形
AB∥CD，AD∥BC
△ABC
≌△CDA
∠BAC
=∠DCA，∠ACB
=∠CAD.
(SSS)
（证明角相等）
思路：
(定义)
已知：在四边形ABCD中，
求证：
AB=CD，AD=BC.
四边形ABCD是平行四边形.
证明猜想1
已知：在四边形ABCD中，
求证：
AB=CD，AD=BC.
四边形ABCD是平行四边形.
证明猜想1
转
化
连接
对角
线
三角形
平行四边形
解
题
方法
已知：在四边形ABCD中，
求证：
AB=CD，AD=BC.
四边形ABCD是平行四边形.
证明猜想1
证明：
连接AC.
在△ABC和△CDA中，
AB=CD(已知)，
CB=AD
(已知)，
AC=CA
(公共边)，
∴
△ABC
≌
△CDA（SSS）.
已知：在四边形ABCD中，
求证：
AB=CD，AD=BC.
四边形ABCD是平行四边形.
证明猜想1
证明：
∴∠BAC=∠DCA，∠ACB=∠CAD.
∴
AB∥CD，AD∥BC
.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言：
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵
AB=CD
，AD=BC，
归
纳
总
结
平行四边形的判定定理1
四边形
三角形
转化
未知
转化
已知
连接对角线
已知：在四边形ABCD中，
求证：
OA=OC，OD=OB.
四边形ABCD是平行四边形.
在△AOD和△COB中，
证明：
OA=OC
(已知)，
∴△AOD≌△COB(SAS).
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
证明猜想3
OD=OB
(已知)，
∠AOD=∠COB
(对顶角相等)，
已知：在四边形ABCD中，
求证：
OA=OC，OD=OB.
四边形ABCD是平行四边形.
证明：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
证明猜想3
∴∠OAD=∠OCB.
∴
AD∥BC.
同理可证 AB∥DC.
∴
四边形ABCD是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
符号语言：
∴
四边形ABCD是平行四边形.
∵
OA=OC，
OD=OB，
平行四边形的判定定理2
定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
判定定理2：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
小结：平行四边形的判定方法
1.填空：如图，在四边形ABCD中，
（1）若AB
//CD，补充条件(
)，
使四边形ABCD为平行四边形.
（2）若AB=CD，补充条件(
)，
使四边形ABCD为平行四边形.
AD
//
BC
AD=BC
初识判定
1.填空：如图，在四边形ABCD中，
初识判定
（3）若对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=5，
补充条件(
)，使四边形ABCD为平行四边形.
OD=5
方法归纳：紧扣平行四边形
的判定方法补上缺失条件.
初识判定
2.在四边形ABCD中，对角线AC
，BD相交于点O，下列
条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（
）
(A)
AB∥CD，AD∥BC.
(B)
OA=OC，OB=OD.
(C)
AD=BC，AB∥CD.
(D)
AB=CD，AD=BC.
C
例
已知：如图，点E，F，G，H分别是□
ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，AH=CF.
典型例题
求证：四边形EFGH是平行四边形.
典型例题
分析：
由AE=CG，
∠A=∠C，
△AEH≌△CGF
EH=GF
同理可得HG=EF
四边形EFGH是平行四边形
AH=CF，
典型例题
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
AE=CG，
在△AEH与△CGF中，
∴
∠A=∠C.
AH=CF，
∠A=∠C，
∴△AEH≌△CGF(SAS).
典型例题
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
AB=CD，AD=BC，
∠B=∠D.
∴
EH=GF.
∴
AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF.
典型例题
证明：
即BE=DG，DH=BF.
∴△BEF≌△DGH(SAS).
∴
EF=GH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
例
已知：如图，在□
ABCD中，对角线AC与BD
相交于点O，点
E，F分别是OA，OC
的中点.
求证：四边形DEBF是平行四边形.
典型例题
典型例题
分析：
1.思考能不能用两组对边分别平行证四边形DEBF是平行四边形？
DF∥BE，
DE∥BF.
∠OEB=∠OFD
∠AEB=∠CFD
△ABE≌△CDF
典型例题
分析：
2.思考能不能用两组对边分别相等证四边形DEBF是平行四边形？
DF=BE，
DE=BF.
△ADE≌△CBF
△ABE≌△CDF
典型例题
分析：
3.思考能不能用对角线互相平分证四边形DEBF是平行四边形？
OD=OB，
OE=OF.
由四边形ABCD
是平行四边形可证
由OA=OC
，E
，
F分别
为OA
，OC中点可证.
典型例题
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
又
∵
E，F分别是OA，OC的中点，
∴
OE=OF.
∴
四边形DEBF是平行四边形.
∴
OE=
OA，OF=
OC.
∴
OA=OC，OB=OD.
证明平行四边形方法小结
2.如果有一组对边相等，可以考虑证明另一组对边也相等.
1.如果有一组对边平行，可以考虑证明另一组对边也平行.
3.如果有一条对角线被平分，可以考虑证明另一条对角线
分析已知条件后：
也被平分.
1．下列条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（
）
(A)
AB∥CD，
AC=BD.
(B)
AB=
CD
，
AC=BD.
(C)
AB=CD
，
AD=BC.
(D)
AB=CD
，
OA=OC.
C
课堂练习
2．如图，点A是直线
l
外一点，在
l
上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？
课堂练习
用边
来判定
定义：两组对边分别平行的四边形
叫做平行四边形.
判定定理1：两组对边分别相等的四边形
是平行四边形.
用对角线
来判定
判定定理2：对角线互相平分的四边形
是平行四边形.
课堂小结
知
识
平行四边形的判定方法：
边
角?
对角线
互为逆定理
课堂小结
性质
判定
平行
四边形
研究图形的一般思路:
判定平行四边形有多种方法，应根据条件
灵活选择判定方法．常用辅助线：连接对角线.
性质
定义
判定
逆向猜想
课堂小结
1．已知：如图，四边形ABCD中，∠B=∠D，∠1=∠2，四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？
课后作业
2．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD，四边形ABEC是平行四边形吗？为什么？
课后作业
感谢同学们的参与
祝同学们学业有成！
3．已知：如图，在□
ABCD中，点E，F分别是CD，AB上的动点，且CE=AF，
连接DF，BE，EF交BD于点O．
求证：
OE=OF．
课堂练习
课堂练习
分析：
AB∥CD
四边形DFBE是平行四边形.
DE=BF
DF=BE
DF∥DE
