(共57张PPT)
初二年级
数学
平行四边形的判定（第二课时）
边
角
对角线
数量关系
位置关系
边
角
对角线
复习回顾，引入新知
判定
性质
数量关系
位置关系
平行四边形的判定定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
复习回顾，引入新知
D
A
C
B
O
AB∥DC
AD∥BC
四边形ABCD是平行四边形
边
AB=DC
AD=BC
角
∠DAB=∠BCD
∠ADC=∠CBA
对角线
BO=DO
AO=CO
两组
两组
两组
两组
获得猜想，规范证明
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
如果一个四边形一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．
题设
结论
已知：如图，在四边形ABCD中，
AB∥CD，AB=CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
D
A
B
C
分析
两组对边
分别平行
一个四边形是平行四边形
两组对边
分别相等
两组对角
分别相等
对角线
互相平分
一组对边平行且相等
D
A
B
C
方法一：
AB∥CD
BC=DA
AB∥CD
D
A
B
C
1
2
□ABCD
方法一：
AB=CD
△ABC≌△CDA
∠1=∠2
连接AC
∠3=∠4
AB∥CD
□ABCD
方法二：
△ABC≌△CDA
∠1=∠2
连接AC
D
A
B
C
1
2
4
3
BC∥AD
AB=CD
连接AC
△ABC≌△CDA
∠3=∠4，∠B=∠D
AB∥CD
D
A
B
C
1
2
∠1=∠2
□ABCD
方法三：
4
3
∠BAD=∠DCB
AB=CD
连接AC，BD
△AOB≌△COD
AO=CO，BO=DO
AB∥CD
∠1=∠2
（∠AOB=∠COD）
□ABCD
方法四：
O
D
A
B
C
2
1
AB=CD
证明：连接AC．
∵ AB∥CD，
∴ ∠1=∠2．
又
AB=CD，AC=CA，
∴
△ABC≌△CDA．
∴
BC=DA．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
D
A
B
C
1
2
方法一
判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
∵ AB∥CD，AB=CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
D
A
B
C
例
如图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
求证：四边形EBFD是平行四边形．
运用知识，巩固提升
D
A
B
C
E
F
分析
D
A
B
C
E
F
AB=CD，AB∥CD
□ABCD
E是AB中点
F是CD中点
EB∥FD
EB=
AB，FD=
CD
□EBFD
EB=FD
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，EB∥FD．
又
EB=
AB，FD=
CD，
∴
EB=FD．
∴ 四边形EBFD是平行四边形．
D
A
B
C
E
F
平行四边形
一组对边
位置关系
数量关系
平行
相等
判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
四边形
四边形
边
角
对角线
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
平行四边形
平行四边形的判定方法
练习
如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，在AB上截取BF=AE，试猜想EF与BD的关系，并证明你的结论．
A
B
E
F
C
D
A
B
E
F
C
D
AD为△ABC
的角平分线
分析
DE∥AB
∠BAD=∠DAC
∠BAD=∠ADE
∠DAC=∠ADE
AE=DE
（已知）
（已知）
A
B
E
F
C
D
分析
BF=AE
AE=DE
BF=DE，
DE∥AB
（已知）
BF∥DE
□BDEF
EF=BD，
EF∥BD
（已证）
A
B
E
F
C
D
猜想：EF=BD，EF∥BD．
证明：∵
AD平分∠BAC，
∴
∠BAD=∠DAC．
∵
DE∥AB，
∴
∠BAD=∠ADE．
∴
∠DAC=∠ADE．
∴
AE=DE．
A
B
E
F
C
D
∵
BF=AE，
∴
BF=DE．
又
BF∥DE，
∴
四边形BDEF是平行四边形．
∴
EF=BD，EF∥BD．
四边形
边
角
对角线
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
平行四边形
位置关系
数量关系
练习
如图，在□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足．
求证：四边形AFCE是平行四边形．
A
F
D
C
B
E
AE∥CF
思路一
一组对边平行且相等
对角线BD
AE⊥BD，CF⊥BD
思路二
对角线互相平分
点E，F在BD上
方法一：
A
F
D
C
B
E
□AFCE
AE∥CF
AE=CF
（已知）
AE⊥BD
CF⊥BD
∠AEF=∠CFE=90°
∠AED=∠CFB=90°
□ABCD（已知）
AD∥BC
∠ADB=∠CBD
AD=BC
△AED≌△CFB
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴
AD∥BC，AD=BC．
∴
∠ADB=∠CBD．
∵
AE⊥BD，CF⊥BD，
∴
∠AEF=∠CFE=90°，
∠AED=∠CFB=90°．
A
F
D
C
B
E
∴
△AED≌△CFB．
∴
AE=CF．
又
∠AEF=∠CFE，
∴
AE∥CF．
∴ 四边形AFCE是平行四边形．
A
F
D
C
B
E
□ABCD
A
F
D
C
B
E
（已知）
方法二：
□ABCD
AO=CO
(∠AOE=∠COF)
EO=FO
△AEO≌△CFO
A
F
D
C
B
E
O
□AFCE
（已知）
AE⊥BD
CF⊥BD
（已知）
连接AC
方法二：
∠AEO=∠CFO
证明：连接AC交BD于点O．
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO．
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，
∴ ∠AEO=∠CFO=90°．
A
F
D
C
B
E
O
∵ ∠AOE=∠COF，
∴ △AEO≌△CFO．
∴
EO=FO．
∴ 四边形AFCE是平行四边形．
A
F
D
C
B
E
O
方法一：
A
F
D
C
B
E
□AFCE
AE∥CF
AE=CF
（已知）
AE⊥BD
CF⊥BD
∠AEF=∠CFE=90°
∠AED=∠CFB=90°
□ABCD（已知）
AD∥BC
∠ADB=∠CBD
AD=BC
△AED≌△CFB
方法三：
□AFCE
AE∥CF
AE=CF
（已知）
AE⊥BD
CF⊥BD
∠AEF=∠CFE=90°
∠AED=∠CFB=90°
□ABCD（已知）
A
F
D
C
B
E
AB∥CD
∠ABD=∠CDB
AB=CD
△AEB≌△CFD
练习
如图，在梯形ABCD中，AB∥DC．
（1）已知∠A=∠B，求证
AD=BC；
（2）已知
AD=BC，求证∠A=∠B．
A
D
C
B
练习
如图，在梯形ABCD中，AB∥DC．
（1）已知∠A=∠B，求证
AD=BC；
A
D
C
B
思路一：两组对边分别平行的四边形
是平行四边形．
思路二：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
A
D
C
B
E
过点D作DE∥CB，
交AB于点E．
A
D
C
B
E
在AB上截取线段EB，使EB=DC，连接DE．
方法一：
A
D
C
B
AD=ED
∠A=∠B
（已知）
AB∥DC
（已知）
DE∥CB
AD=BC
□DEBC
A
D
C
B
1
E
ED=BC
∠1=∠B
∠A=∠1
方法一：
证明：过点D作DE∥CB
，交AB于点E．
∴
∠1=∠B．
∵
∠A=∠B，
∴
∠A=∠1．
∴
AD=ED．
A
D
C
B
1
E
A
D
C
B
1
E
∵
DE∥CB，EB∥DC，
∴
四边形DEBC是平行四边形．
∴
ED=BC．
∴
AD=BC．
A
D
C
B
方法二：
∠A=∠1
A
D
C
B
1
E
ED∥BC
∠A=∠B
（已知）
∠B=∠1
ED=BC
AB∥DC
(已知)
□DEBC
AD=BC
方法二：
EB=DC
AD=ED
证明：在AB上截取线段EB，使EB=DC，连接DE．
∵
AB∥DC，EB=DC，
∴
四边形DEBC是平行四边形．
∴
ED∥BC，ED=BC．
∴
∠1=∠B．
A
D
C
B
1
E
∵
∠A=∠B，
∴
∠A=∠1．
∴
AD=ED．
∴
AD=BC．
A
D
C
B
1
E
A
D
C
B
E
过点D作DE∥CB，交AB于点E．
A
D
C
B
E
在AB上截取线段EB，使EB=DC，连接DE．
A
D
C
B
E
A
D
C
B
E
过点C作CE∥DA，交AB于点E．
在AB上截取线段AE，使AE=DC，连接CE．
练习
如图，在梯形ABCD中，AB∥DC．
（1）已知∠A=∠B，求证AD=BC；
（2）已知AD=BC，求证∠A=∠B．
A
D
C
B
A
D
C
B
AB∥DC
（已知）
分析
AD=BC
（已知）
A
D
C
B
1
E
∠A=∠B
AB∥DC
（已知）
□DEBC
ED=BC
ED∥BC
分析
∠1=∠B
AD=ED
∠A=∠1
证明：过点D作ED∥BC交AB于点E．
∴
∠1=∠B．
∵
AB∥DC，ED∥BC，
∴
四边形DEBC是平行四边形．
∴
ED=BC．
A
D
C
B
1
E
A
D
C
B
1
E
∵
AD=BC，
∴
AD=ED．
∴
∠A=∠1．
∴
∠A=∠B．
常用的添加辅助线的方法
A
D
C
B
E
A
F
D
C
B
E
O
连接对角线
过一点作已知直线的平行线
构造图形，解决问题
作一条线段等于已知线段
反思回顾，总结提升
判定
性质
定义
边
角
对角线
两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
数量关系
位置关系
互
逆
平行四边形
课后作业
1．如图，在□ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，
且AF=CE．求证：四边形AECF是平行四边形．
A
D
C
B
E
F
课后作业
2．如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
A
D
C
B
E
F
同学们再见！(共60张PPT)
初二年级
数学
平行四边形的判定（第一课时）
复习回顾，引入新知
练习
如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．
（1）已知AB=5，求DC的长；
（2）已知∠DAB=60°，求∠BCD的度数；
（3）已知AC=8，BD=5，求CO和BO的长．
D
A
C
B
O
解：（1）∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴
AB=DC．
又
AB=5，
∴
DC=5．
D
A
C
B
O
解：（2）∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴
∠BCD=∠DAB．
又
∠DAB=60°，
∴
∠BCD=60°．
D
A
C
B
O
解：（3）∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴
CO=
AC，BO
=
BD．
又
AC=8，BD=5，
∴
CO=4，BO=2.5．
D
A
C
B
O
平行四边形的性质定理
性质定理1
平行四边形的对边相等．
性质定理2
平行四边形的对角相等．
性质定理3
平行四边形的对角线互相平分．
性质
定义
判定
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
D
A
B
C
∵
AB∥CD，AD∥BC，
∴
四边形ABCD是平行四边形．
性质
判定
A
B
C
等腰三角形
互逆
命题
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．
题设
结论
等腰三角形的两个底角相等
(简写成“等边对等角”)．
（简写成“等角对等边”)
等边对等角
等角对等边
互逆
定理
等腰三角形的性质定理
等腰三角形的判定定理
互逆关系
平行线的判定和性质
等腰三角形的性质和判定
勾股定理
及其逆定理
平行四边形的性质
性质定理1
平行四边形的对边相等．
性质定理2
平行四边形的对角相等．
性质定理3
平行四边形的对角线互相平分．
如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对边分别相等．
如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对角分别相等．
如果一个四边形是平行四边形，那么它的对角线互相平分．
题设
结论
平行四边形
两组对边分别相等
平行四边形
两组对角分别相等
平行四边形
对角线互相平分
平行四边形的性质
题设
结论
两组对边分别相等
平行四边形
两组对角分别相等
平行四边形
对角线互相平分
平行四边形
获得猜想，规范证明
猜想1
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
猜想2
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
猜想3
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
猜想1
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
题设
结论
已知：如图，在四边形ABCD中，
AB=CD，AD=BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
如果一个四边形两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形．
D
A
B
C
分析：
两组对边分别平行
四边形ABCD是平行四边形
D
A
B
C
两角相等（或互补）
全等三角形
边等（已知）
方法一：
AB=CD，AD=BC
D
A
B
C
连接BD（公共边）
方法一：
AB=CD，AD=BC
D
A
B
C
1
2
3
4
△ABD≌△CDB
∠2=∠1，∠3=∠4
AB∥DC，AD∥BC
四边形ABCD是平行四边形
证明：连接BD．
∵
AB=CD，AD=BC，BD=DB，
∴ △ABD≌△CDB．
∴ ∠2=∠1，∠3=∠4．
∴ AB∥DC，AD∥BC．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
D
A
B
C
1
2
3
4
证明：连接AC．
∵
AB=CD，AD=BC，AC=CA，
∴ △ABC≌△CDA．
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4．
∴ AD∥BC，AB∥DC．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
1
2
3
4
D
A
B
C
方法二：
AB=CD，AD=BC
△ABD≌△CDB
∠2=∠1，∠3=∠4
AB∥DC，AD∥BC
∠ABC+∠C=180°
∠ADC+∠C=180°
连接BD（公共边）
D
A
B
C
1
2
3
4
四边形ABCD是平行四边形
证明：连接BD．
∵
AB=CD，AD=BC，BD=DB，
∴ △ABD≌△CDB．
∴ ∠2=∠1．
D
A
B
C
1
2
3
4
∵
∠1+∠4+∠C=180°，
∴
∠2+∠4+∠C=180°．
即∠ABC+∠C=180°．
∴
AB∥CD．
同理
AD∥BC．
∴
四边形ABCD是平行四边形．
D
A
B
C
1
2
3
4
判定定理1
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
∵ AB=CD，AD=BC，
∴
四边形ABCD是平行四边形．
D
A
B
C
平行四边形的
对边相等
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
互逆
定理
性质定理
判定定理
两组对边分别平行
两组对边分别相等
四边形
判定平行四边形的方法
平行四边形
已知：如图，在四边形ABCD中，
∠A=∠C，∠B=∠D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
猜想2
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
题设
结论
如果一个四边形两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形．
D
A
B
C
分析：
两组对边
分别平行
四边形ABCD是平行四边形
两组对边
分别相等
定义
判定定理1
D
A
B
C
分析：
AD∥BC，AB∥DC
∠A=∠C
∠B=∠D
∠A+∠B=180°
∠B+∠C=180°
（已知）
∠A+∠B+∠C+∠D=360°
四边形ABCD是平行四边形
D
A
B
C
证明：∵
多边形ABCD是四边形，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
又
∠A=∠C，∠B=∠D，
∴ 2∠A+2∠B=360°．
∴
∠A+∠B=180°
．
同理
∠B+∠C=180°．
∴ AD∥BC，AB∥DC．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
D
A
B
C
判定定理2
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
∵
∠A=∠C，∠B=∠D
，
∴
四边形ABCD是平行四边形．
D
A
B
C
平行四边形的
对角相等
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
互逆
定理
性质定理
判定定理
平行四边形
两组对边分别平行
两组对边分别相等
四边形
两组对角分别相等
判定平行四边形的方法
已知：如图，在四边形ABCD中，AC，BD
相交于点O，且OA=OC，OB=OD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
猜想3
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
题设
结论
如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．
D
A
C
B
O
OA=OC
OD=OB
AD∥BC
（同理AB∥DC
）
D
A
C
B
O
（已知）
∠AOD=∠COB
△AOD≌△COB
∠OAD=∠OCB
方法一：
四边形ABCD
是平行四边形
证明：∵
OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，
∴ △AOD≌△COB．
∴
∠OAD=∠OCB．
∴
AD∥BC．
同理
AB∥DC．
∴
四边形ABCD是平行四边形．
D
A
C
B
O
OA=OC
OB=OD
AD=CB
（同理AB=CD
）
D
A
C
B
O
（已知）
∠AOD=∠COB
△AOD≌△COB
方法二：
四边形ABCD是平行四边形
证明：∵
OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，
∴ △AOD≌△COB．
∴
AD=CB．
同理
AB=CD．
∴
四边形ABCD是平行四边形．
D
A
C
B
O
判定定理3
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
∵
OA=OC，OB=OD
，
∴
四边形ABCD是平行四边形．
D
A
C
B
O
平行四边形的
对角线互相平分
对角线互相平分的四边形是平行四边形
互逆
定理
性质定理
判定定理
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
平行四边形的判定定理：
平行四边形
两组对边分别平行
两组对边分别相等
四边形
两组对角分别相等
判定平行四边形的方法
对角线互相平分
例
如图，□ABCD的对角线
AC
，BD相交于点O
，
E，F是
AC上的两点，并且
AE=CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
运用知识，巩固提升
D
A
B
C
O
E
F
分析：
BE∥DF
DE∥BF
BE=DF
DE=BF
∠EBF=∠EDF
∠BED=∠BFD
BO=DO
EO=FO
D
A
B
C
O
E
F
四边形BFDE是平行四边形
边
角
对角线
□ABCD
BO=DO，AO=CO
方法一：
EO=FO
AE=CF
(已知)
D
A
B
C
O
E
F
四边形BFDE是平行四边形
证明：∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO，BO=DO．
∵
AE=CF，
∴
AO?AE=CO?CF．
∴
EO=FO．
又
BO=DO，
∴ 四边形BFDE是平行四边形．
D
A
B
C
O
E
F
□ABCD（已知）
AD∥BC
方法二：
AE=CF
(已知)
∠DAC=∠BCA
AD=BC
△AED≌△CFB
ED=FB
(同理BE=DF)
D
A
B
C
O
E
F
四边形BFDE
是平行四边形
证明：∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，
AD∥BC
．
∴
∠DAC=∠BCA．
∵
AE=CF，
∴ △AED≌△CFB．
∴
ED=FB．
同理
BE=DF．
∴
四边形BFDE是平行四边形．
D
A
B
C
O
E
F
平行四边形的判定
边
角
对角线
方法多
能判断
会选择
两组对边分别平行
两组对边分别相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
练习
如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．图中有哪些互相平行的线段？
A
F
E
D
C
B
练习
如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．图中有哪些互相平行的线段？
AB=DC，AD=BC
分析：
AD∥BC，AB∥DC
A
F
E
D
C
B
四边形ABCD是平行四边形
练习
如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．图中有哪些互相平行的线段？
A
F
E
D
C
B
分析：
DC=EF，DE=CF
DE∥CF，DC∥EF
四边形DCFE是平行四边形
练习
如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．图中有哪些互相平行的线段？
解：∵
AB=DC，AD=BC，
∴
四边形ABCD是平行四边形．
∴
AB∥DC，AD∥BC．
∵
DC=EF，DE=CF，
∴
四边形DCFE是平行四边形．
∴ DE∥CF，DC∥EF．
A
F
E
D
C
B
练习
如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．图中有哪些互相平行的线段？
解：综上所述，
图中互相平行的线段有
AB∥DC
∥EF，
AD∥BC，DE∥CF
．
A
F
E
D
C
B
反思回顾，总结提升
判定
性质
定义
边
角
对角线
两组对边分别平行
两组对边分别相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
数量关系
位置关系
互
逆
平行四边形
课后作业
1．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分
别是OA，OC的中点．求证BE=DF．
A
E
F
D
C
B
O
课后作业
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，BE
平分∠ABC且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F．
求∠1的大小．
A
E
F
D
C
B
1
同学们再见！
