鱼台一中高二数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
设函数，则
（
）
0
B.
1
C.
2
D.
-1
2．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b，组成复数a+bi，其中虚数有（ ）
A．36个
B．42个
C．30个
D．35个
3.．在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是，则事件A在一次试验中出现的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.
5个人分4本同样的书，每人至多一本，而且必须分完，那么不同分法的种数是（
）
A.
B.
C.5×4×3×2
D.
5.若则=(
)
A.32
B.1
C.-1
D.-32
6.一个盒子中装有8个小球，红球有3个，白球有5个，每次从袋子不放回地抽取1个小球，则在第一次抽取的球是红球的条件下，第二次抽取的球为白球的概率为(
)
A．
B．
C．
D．
7.某车间加工的零件数与加工时间的统计数据如下表：
零件数(个)
10
20
30
加工时间(分钟)
21
30
39
现已求得上表数据的回归方程中的值为，则据此回归模型可以预测，加工个零件所需要的加工时间约为(
)
A.
分
B.
分钟
C.
分钟
D.
分钟
8.直线与曲线相切于点(2
,
3)，则的值为( )
-3
B.
9
C.-15
D.
-7
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9.若随机变量X服从两点分布，其中，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（
）
A．P（X＝1）＝E（X）
B．E（3X+2）＝4
C．D（3X+2）＝4
D．
10.甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12），N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近
11.已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln
x
D．f(x)＝tan
x
12.已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是( )
A．函数y＝f(x)在区间内单调递增
B．当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值
C．函数y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递增
D．当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为
．
14.函数在处切线方程为，则______.
15.一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数为ξ，则P(ξ＝4)＝______，ξ的期望值为________．（第一个空3分，第二个空2分）
16.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知二项式展开式中的第4项是常数项．
（1）求；
（2）求展开式中有理项的个数．
18.某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨)．若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标．
(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；
(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X为未来这3天中用水量超标的天数，求X的分布列、数学期望和方差．
19．某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y（单位：万件）与月销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量yi和月销售单价xi（i＝1，2，3，…，6）数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：
月销售单价x（元/件）
4
5
6
7
8
9
月销售量y（万件）
89
83
82
79
74
67
（1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：＝﹣4x+105，＝4x+53和＝﹣3x+104，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；
（2）若用y＝ax2+bx+c模型拟合y与x之间的关系，可得回归方程为+0.875x+90.25，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数R2分别为0.9702和0.9524，请用R2说明哪个回归模型的拟合效果更好；
20.新高考改革后，假设某命题省份只统一考试数学和语文，英语学科改为参加等级考试，每年考两次，分别放在每个学年的上下学期，其余六科政治，历史，地理，物理，化学，生物则以该省的省会考成绩为准．考生从中选择三科成绩，参加大学相关院校的录取．
（1）若英语等级考试有一次为优，即可达到某“双一流”院校的录取要求．假设某考生参加每次英语等级考试事件是相互独立的，且该生英语等级考试成绩为优的概率为，求该考生直到高二下期英语等级考试才为优的概率；
（2）据预测，要想报考某“双一流”院校，省会考的六科成绩都在95分以上，才有可能被该校录取．假设某考生在省会考六科的成绩，考到95分以上的概率都是，设该考生在省会考时考到95以上的科目数为，求的分布列及数学期望．
21.已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，在上的最小值为，求的值．
22.在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，教育主管部门提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高二数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对本校高二年级随机选取45名学生进行线上跟踪问卷调查，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下2×2列联表：
分数不少于120分
分数不足120分
总计
每周线上学习数学时间不少于5小时
4
19
每周线上学习数学时间不足5小时
总计
45
（Ⅰ）请完成上面2×2列联表；并判断是否有99％的把握认为“高二学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（Ⅱ）（1）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中共抽取9名学生，设抽到分数不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；
（2）若将频率视为概率，从全校高二该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求抽取的20人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的数学期望和方差.
下面的临界值表供参考：
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：，其中．高二数学试题答案
选择题
4
A
DA
C
AB
ABC
ACBC
填空题
13
14.3
17解:(1)二项式(QF-2y展开式中的通项公式为了1=C-2yx=,
第4项是为C。(-2)·x3是常数项,
(2)要使展开式中的项为有理项,需
为整数,故有r=0,3,6,9,12
故展开式中有理项共有5项
18解(1)记“从这12天的数据中随机抽取3个,至多有1天的用水量超标”为事件A
则P(A)
C12C1222055
(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率,易知用水量超标的概率为
X的所有可能取值为0,1,2,3
易知X
k=0,1,2,3
则P(x=027=14,=2)=9,Px=3)=1
随机变量X的分布列为
0
3
P8421
数学期望ECX=3×1=1,
方差D(=3×
19解:(1)已知变量x,y具有负相关关系,故乙不对
4+5+6+7+8+9
9+83+82+79+74+67
6
6
代入甲和丙的回归方程验证甲正确
(2)∵0.9702>0.9524,且R2越大,残差平方和越小,拟合效果越好
用y=-0.375x2+0875x+9025更好
20.解:(1)记事件A:“该生英语等级考试成绩为优”,则P(A)
事件B:“该生直到高二下期英语等级考试成绩才为优”
所以P(B)=P(A=(3y1=27
4256
P(X=k)=C()()°(k=0,1,2,6)
X
12
160
6464
729
729243
243
243
729
E(X)=6
21解:(1)由题意得f(x)的定义域为(.+x),f()=1+a=x+a,
①当a≥0时,f(x)>0,故f(x)在上为增函数;
当a<0时,由f(x)=0得
由f(x)>0得
由f(x)<0得x
f(x)在(0,-a]上为减函数,在(-a,+∞)上为增函数
综上,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数
当a<0时,f(x)在(0,-a]上是减函数,在(-a,+∞)上是增函数
(2)由(1)知,当a<-e时,f(x)在口,e]上单调递减,
f(x)m=f(e)=1--=1+e,解得
解:(I)
分数不少于120分分数不足120分合计
每周线上学习数学时间不少」5小时付
15
每周线上学习数学时间不足5小时
16
3分
2、45(15×16-10×4)=7.287>6.635
5×20x19×26
∴有99%的把握认为“高学4的数学成绩与学4线上学习时间有关”
5分
(Ⅱ)(1)由分层抽样知需要从介数不足120分的学牛中抽取20×9=4人
6分
又分数不足120分H每周线上学习时间不足5小时的人数为16人
所以X的可能取值为0,1,2,3,4.
P(X=C(k=0,1,2,3,4)
X的分布列为
2
Cl
cA
C2
C2
CI
CA
8分
(2)从全校数学成绩不少于120分的学生中随机抽取1人
此人每周上线时间不少于5小时的概率为5=0.6………
10分
设从个校数学成绩少于120分的学生中随机抽取20人,这些人中每周线上学习时间不少
丁5小时的人数为Y则y~B(20,0.6),
故E(Y)=20×0.6=12,D(Y)=20×0.6×(1-0.6)=4.8
12分
