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第一章 集合
§2 集合的基本关系
任意一个
A包含于B
B包含A
A≠B
内部
判断集合间的关系
确定有限集合的子集
已知集合间的关系，求参数的范围
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答宥
类型1
·●●。●●
规律方法
●●●。·。·
类型2
类型3§2 集合的基本关系
学
习
目
标
核
心
素
养
1．了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(重点)2．理解子集、真子集的概念．(易混点)3．能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图对理解抽象概念的作用．(难点)
1．通过学习子集、真子集的概念，提升数学抽象素养．2．通过使用Venn图表达集合间的关系，培养直观想象素养.
阅读教材P7从本节开头到P8“例1”之间的内容，完成下列问题．
1．子集
(1)子集的定义
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，称集合A为集合B的子集，记作AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．
(2)子集的有关性质：
①是任何集合A的子集，即A.
②任何一个集合是它本身的子集，即AA.
③对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC.
④若AB，BA，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.
思考1：(1)集合A＝{x|x2－4＝0}，B＝{2}有怎样的包含关系？
(2){}正确吗？
[提示] (1)由A＝{－2,2}，得AB.
(2)正确．由空集是任何集合的子集，知{}．
2．真子集
对于两个集合A与B，如果AB，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作AB.
思考2：如果非空集合A、B满足AB，那么集合A、B的元素有什么特点？
[提示] 集合A中的元素都是集合B的元素，且集合B中至少有一个元素不属于A.
3．Venn图
为了直观地表示集合间的关系，常用封闭曲线的内部表示集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫作图示法．
思考3：下图中的集合A，B，C有怎样的关系？
[提示] ABC.
1．已知集合A＝{x|－1
A．BA
B．AB
C．BA
D．AB
C [把集合A，B在数轴上表示出来．
观察上图知，BA.]
2．集合{x|04 [由{x|03．已知{0,1}A{－1,0,1}，则集合A＝________.
{－1,0,1} [由{0,1}A，知集合A含有元素0与1，且至少有3个元素．
又A{－1,0,1}，则A＝{－1,0,1}．]
4．已知A＝{正方形}，B＝{矩形}，则集合A，B的关系是________．
[答案] AB
判断集合间的关系
【例1】 用适当的符号填空：
(1)________{x|x2－1＝0}；
(2){x|x－1>0}________{2}；
(3){0,1,2}________N；
(4){x|x是矩形}________{x|x是菱形}．
[思路探究] 从考察两集合元素的特征入手，利用包含关系的定义判断．
(1)
(2)
(3)
(4)且 [(1){x|x2－1＝0}＝{－1,1}，故{x|x2－1＝0}；
(2)2∈{x|x－1>0}，故{x|x－1>0}{2}；
(3){0,1,2}N；
(4){x|x是矩形}{x|x是菱形}，且{x|x是矩形}{x|x是菱形}．]
判断集合与集合关系的常用方法：
?1?将集合用列举法表示，通过观察元素来判断.
?2?设A＝{x|p?x?}，B＝{x|q?x?}.
①若p?x?推出q?x?，则AB；
②若p?x?推不出q?x?，则AB.
1．已知集合A＝，B＝
，则集合A，B之间的关系为( )
A．AB
B．BA
C．A＝B
D．AB且BA
A [A＝，
B＝.
∵{2k＋1|k∈Z}{k＋2|k∈Z}，
∴AB.]
确定有限集合的子集
【例2】 (1)集合{a，b，c}的所有子集为________，其中它的真子集有________个．
(2)写出满足{3,4}P{0,1,2,3,4}的所有集合P.
(1)
，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 7 [集合{a，b，c}的所有子集为，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中{a，b，c}不是它本身的真子集，故真子集的个数为7.]
(2)解：由题意知，集合P中一定含有元素3,4并且是至少含有三个元素的集合．因此所有满足题意的集合P为{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．
求解有限集合的子集问题，关键有三点：
?1?确定所求集合；
?2?合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
?3?注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.
一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
2．(1)已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则正整数m＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)若集合A{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．
(1)B (2)5 [(1)根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2.
(2)若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}；若A中含有两个奇数，则A＝{1,3}．]
已知集合间的关系，求参数的范围
[探究问题]
1．已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x提示：如图，由图可知，a＝1.
2．探究1中“A＝B”改为“AB”，其他条件不变，则实数a的取值范围是多少？
提示：由图可知a≥1.
3．探究1中“A＝B”改为“BA”，其他条件不变，则实数a的取值范围是多少？
提示：
由图可知，a<1.
【例3】 (1)已知A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，BA，则实数m的取值范围是________．
(2)已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ax，ax2}，a，b∈R.若A＝B，则实数x＝________.
[思路探究] 利用数轴表示集合A，B，根据A与B的关系观察端点之间的关系，列不等式求字母的取值范围或值．
(1){m|m≤3} (2)－ [(1)因为A＝{x|－2≤x≤5}，又BA，故需分两种情况讨论：
①若B＝，则m＋1>2m－1，即m<2，此时，总有BA，故m<2.
②若B≠，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由BA得解得2≤m≤3.
综合①②可知m的取值范围是{m|m≤3}．
(2)若则a＋ax2－2ax＝0，
所以a(x－1)2＝0，即a＝0或x＝1.
当a＝0时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当x＝1时，集合B中的元素均相同，故舍去．
若则2ax2－ax－a＝0.
因为a≠0，
所以2x2－x－1＝0，
即(x－1)(2x＋1)＝0.
又x≠1，所以只有x＝－.
经检验，此时A＝B成立．
综上所述x＝－.]
1．(变结论)是否存在实数m，使得本例(1)的集合A与B满足AB?
[解] 假设存在实数m，使得AB，A＝{x|－2≤x≤5}．
所以B不为，则有
又因为该不等式组的解集为，故不存在实数m，使得AB.
2．(变条件)将本例(1)中的条件变为A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|m－1≤x≤1－2m}且BA.求m的取值范围．
[解] ①当B≠时，∵BA，∴借助数轴表示如图所示：
则解得0≤m≤.
②当B＝时，m－1>1－2m，得m>.综上所述m≥0.
已知集合关系求参数范围的一般方法
?1?通常借助数轴，把两个集合在数轴上表示出来，以形定数.
?2?当某一个集合的端点中含有字母时，要判定两个端点的大小，不确定时要分类讨论，当左边的端点大于右边的端点时，集合为空集，这种情况容易被忽视.
?3?比较端点大小时要注意是否能取“＝”，不好确定时要单独验证参数取“＝”时的值是否符合题意.
1．对子集概念的理解
(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，即若x∈A，则一定有x∈B.
(2)注意误区：不能把“AB”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为A＝时，A中不含任何元素，但有AB；当A＝B时，A中含有B中的所有元素，也有AB.
(3)当A不是B的子集时，记作“AB(或BA)”．
2.对真子集的理解
(1)若A是B的真子集，则A一定是B的子集，且A≠B.
(2)A是B的真子集，我们还可以理解为：A中所有元素都是B中的元素，但在B中至少存在一个元素不是A中的元素．
3.关于空集的两点理解
(1)空集首先是集合，只不过空集中不含任何元素．注意和{}是有区别的，是不含任何元素的集合，而{}集合中含有一个元素.
(2)规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．因此遇到诸如AB或AB的问题时，务必优先考虑A＝是否满足题意．
4.子集关系与其特征性质之间的关系
若A是B的子集，则由集合A中元素的特征性质可以推出集合B中元素的特征性质，反之，若由集合A中元素的特征性质可以推出集合B中元素的特征性质，则A是B的子集．
5．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
6．涉及字母参数的集合关系问题，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
1．思考辨析
(1)空集是空集的子集．
( )
(2)任何集合都至少有两个子集．
( )
(3)若AB，且BC，则AC.
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数为( )
A．4 B．7 C．8 D．16
B [A＝{0,1,2}，其真子集为，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共7个．]
3．如果A＝{x|x＋1>0}，那么正确的结论是( )
A．0A
B．{0}A
C．{0}∈A
D．∈A
B [选项A，C，D对于元素与集合，集合与集合的关系，使用的符号不正确．又0＋1>0，故{0}A.]
4．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若BA，求a的值．
[解] 由BA得
当a＝0时，B＝满足题意；
当a≠0时，B＝，
又BA，则－＝－2，
所以a＝.
综上得，a＝0或.
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-课时分层作业(二) 集合的基本关系
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．下列命题不正确的是( )
A．{0,1}N
B．∈{x∈R|x2＋1＝0}
C．{1,2}＝{x|x2－3x＋2＝0}
D．a∈{a，b，c}
B [A，C，D正确．对于B，由于{x∈R|x2＋1＝0}＝，所以B错误．]
2．已知集合S＝{1,2,3,4}，则含有元素1,2的S的子集共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D [含有元素1,2的S的子集为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．共4个．]
3．已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，若AB，则a＝( )
A．1
B．0
C．－2
D．－3
C [由AB，得1∈B，∴a＋3＝1，∴a＝－2.]
4．已知集合M＝{(x，y)|x<0，y<0}，P＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}，那么( )
A．PM
B．MP
C．M＝P
D．MP
C [因为“x<0，y<0”等价于“x＋y<0，xy>0”，所以M＝P.]
5．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}，则M，P，S之间的关系为( )
A．SPM
B．S＝PM
C．SP＝M
D．SP＝M
C [由M＝{x|x＝3(k－1)＋1，k∈Z}，得M＝P，
由S＝{z|z＝3×2m＋1，m∈Z}，得SP.
故SP＝M.]
二、填空题
6．已知集合P和Q的关系如图所示，则P与Q的关系是________．
[答案] PQ
7．设集合A＝{x，y}，B＝{4，x2}，若A＝B，则x＋y＝________.
4，或5，或20 [由A＝B，得或解得
所以x＋y＝4，或5，或20.]
8．集合{(x，y)|x＋y<4，x，y∈N
}的非空子集个数是________．
7 [当x＝1时，y＝1,2；
当x＝2时，y＝1；
所以，该集合共有3个元素，所以，其非空子集个数为23－1＝7.]
三、解答题
9．判断下列各组中两集合之间的关系．
(1)A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{y|y＝x2－2x＋2，x∈R}；
(2)A＝，B＝；
(3)A＝{矩形}，B＝{平行四边形}；
(4)A＝{0,1,2}，B＝{x∈N|2x－3≤0}．
[解] (1)由y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，得B＝{y|y≥1}，
又A＝{y|y≥1}，
则A＝B.
(2)由A＝＝，得AB.
(3)AB.
(4)由B＝{x∈N|2x－3≤0}＝{0,1}，得AB.
10．已知{x|1[解] 当a>0时，{x|1∴
解得a≥2.
当a＝0时，{x|1当a<0时，{x|1∴
解得a≤－2.
综上得，a≤－2或a＝0或a≥2.
1．已知{x|ax＝1}{x|x2－4＝0}，则实数a的值是( )
A．0
B．±
C．0或±
D．0或
C [当a＝0时，{x|ax＝1}＝，满足题意；
当a≠0时，{x|ax＝1}＝，
∴∈{x|x2－4＝0}，
∴－4＝0，
解得a＝±.
综上得a＝0或±.]
2．设a，b∈R，{1，a＋b，a}＝，则b－a＝( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
C [依题意，0∈{1，a＋b，a}，又a≠0，则a＋b＝0，
∴＝－1，
又－1∈{1，a＋b，a}，则a＝－1，
∴b＝1，∴b－a＝2.]
3．集合{x|x2－2x＋3＝0，x∈R}的子集个数为________．
1 [由Δ＝(－2)2－4×1×3＝－8<0，得{x|x2－2x＋3＝0}＝.
故其子集个数为1.]
4．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中，是伙伴关系集合的个数为________．
7 [当x＝－1时，＝－1∈M.
当x＝0时，无意义．
当x＝时，＝2∈M.
当x＝1时，＝1∈M.
当x＝2时，＝∈M.
当x＝3时，＝M.
故有{1}，{－1}，，{1，－1}，，，，共7个．]
5．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若BA，求实数a的取值范围．
[解] A＝{0，－4}．
Δ＝[2(a＋1)]2－4(a2－1)＝8a＋8.
当Δ<0，即a<－1时，B＝，满足题意；
当Δ＝0，即a＝－1时，B＝{0}，满足题意；
当Δ>0，即a>－1时，
解得a＝1.
综上得，a≤－1或a＝1.
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