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第一章 集合
§3 集合的基本运算
3.1 交集与并集
既属于集合A又属于集合B
A交B
B∩A
A
属于集合A或属于集合B
A∪B
A并B
{x|x∈A，或x∈B}
B∪A
A
A
集合的交集运算
集合的并集运算
由集合交、并运算求参数的值(范围)
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答宥
类型1
·●●。●●
规律方法
●●●。·。·
类型2
之(0,1
N
类型33.1 交集与并集
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．(重点)2．能用Venn图表达集合之间的关系和运算．(难点)3．掌握有关术语和符号，并会用它们进行集合的运算．(易混点)
1．通过学习交集和并集的含义提升数学抽象素养．2．通过进行集合的交、并运算，培养数学运算、逻辑推理、直观想象素养.
阅读教材P11至P12“练习”以上的内容，完成下列问题．
1．交集的定义
(1)文字语言：一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的交集．
(2)记法：A∩B，读作“A交B”．
(3)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(4)图形表示：
2．运算性质
(1)特殊运算：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩＝.
(2)包含关系：A∩BA，A∩BB.
3．并集的定义
(1)文字语言：由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的并集．
(2)记法：A∪B，读作“A并B”．
(3)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(4)图形表示：
4．运算性质
(1)特殊运算：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪＝A.
(2)包含关系：AA∪B，BA∪B.
思考：(1)若AB，则A∩B＝A，其逆命题成立吗？
(2)集合A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“或”包含哪几种情况？
[提示] (1)成立，证明如下：
对任意x∈A，∵A∩B＝A，∴x∈A∩B，∴x∈B，根据子集的定义知AB.
(2)集合中的“或”包含三种情况：
①x∈A，且xB；
②x∈A，且x∈B；
③xA，且x∈B.
1．设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( )
A．{1,3}
B．{3,5}
C．{5,7}
D．{1,7}
B [因为A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，
所以A∩B＝{3,5}．]
2．{x|0
{x|0由上图知，{x|03．{1,2,3}∩{1,3}＝________.
{1,3} [{1,2,3}∩{1,3}＝{1,3}．]
4．已知集合M＝{x|－1{x|－1由图知M∩N＝{x|－1集合的交集运算
【例1】 (1)设集合M＝{m∈Z|－3A．{0,1}
B．{－1,0,1}
C．{0,1,2}
D．{－1,0,1,2}
(2)已知集合A＝{x|25}，则A∩B＝( )
A．{x|2B．{x|x<4或x>5}
C．{x|2D．{x|x<2或x>5}
(1)B (2)C [(1)易知M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，据交集定义可知M∩N＝{－1,0,1}，故选B.
(2)将集合A，B画在数轴上，如图．
由图可知A∩B＝{x|2求两个集合的交集的方法
?1?对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可.
?2?对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍.
1．(1)已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝( )
A．{2,1}
B．{x＝2，y＝1}
C．{(2,1)}
D．(2,1)
(2)已知集合A＝{3,4,5,12,13}，B＝{2,3,5,8,13}，则A∩B＝________.
(1)C (2){3,5,13} [(1)A∩B＝＝{(2,1)}．
(2)作出Venn图如图，故A∩B＝{3,4,5,12,13}∩{2,3,5,8,13}＝{3,5,13}．]
集合的并集运算
【例2】 (1)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝( )
A．{0,1}
B．{－1,0,2}
C．{－1,0,1,2}
D．{－1,0,1}
(2)设A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，则A∪B＝________.
(1)C (2){x|x是平行四边形} [
(1)根据题意画出Venn图，如图所示．故M∪N＝{－1,0,1,2}．
(2)因为矩形是平行四边形，即BA，所以A∪B＝A＝{x|x是平行四边形}．]
求并集的基本方法
2．已知集合A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1[解] 分别在数轴上表示集合A和B，如图所示．
根据A∩B和A∪B的定义，由图知A∩B＝{x|－1A∪B＝{x|－4≤x≤3}．
由集合交、并运算求参数的值(范围)
[探究问题]
1．已知集合A＝{0,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，且9∈A∩B，求a的值．
提示：由9∈A∩B，得9∈A.
所以2a－1＝9，或a2＝9，解得a＝5或a＝±3.
当a＝3时，a－5＝－2＝1－a，不满足互异性，舍去．
而a＝5，或a＝－3符合题意．
所以，a的值为5或－3.
2．将探究1中的“9∈A∩B”改为“A∩B＝{9}”，求a的值．
提示：由A∩B＝{9}，得9∈A∩B，所以a＝5或－3.
当a＝5时，A＝{0,9,25}，B＝{0，－4,9}，不满足A∩B＝{9}；
当a＝－3时，A＝{0，－7,9}，B＝{－8,4,9}，满足A∩B＝{9}．
所以，a的值为－3.
3．已知集合A＝{x|x＋1<0}，B＝{x|x≥a}，若A∪B＝R，求a的取值范围．
提示：A＝{x|x<－1}．
由上图得a≤－1.
【例3】 已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
[思路探究] →→→→
[解] ①当B＝时，只需2a>a＋3，即a>3；
②当B≠时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或
解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为a<－4或a>2.
1．(变条件)若将本例中的条件“A∩B＝B”改为“A∪B＝A”，其他条件不变，则实数a的取值范围又是什么？
[解] ①当B＝时，只需2a>a＋3，即a>3，
此时满足A∪B＝A.
②当B≠时，需满足2a≤a＋3且a＋3<－1，或2a≤a＋3且2a>4.
解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为a<－4或a>2.
2．(变条件)若将本例中的条件“A∩B＝B”改为“A∪B＝R，A∩B＝”，其他条件不变，则实数a的取值范围又是什么？
[解] 由条件可知B≠，所以2a此类问题常借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式?组?，求解即可，特别要注意端点值的取舍.当集合的元素离散时，常借助集合的关系列关于参数的方程?组?求解，但求解后要代入检验是否符合题意.
1．对交集概念的四点理解
(1)两个集合中所有相同的元素一定都在它们的交集中．
(2)交集中的元素一定是它们的公共的元素．
(3)用Venn图表示交集如下：
A∩B A∩B＝A＝B A∩B＝
A∩B＝B
A∩B＝A
(4)用数学语言表述交集的概念：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
2．对并集概念的三点理解
(1)并集概念中的“或”字与生活中的“或”字含义不同．
生活中的“或”字是非此即彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的，但不是必须兼有的．x∈A，或x∈B包含三种情况：
①x∈A，但xB；②x∈B，但xA；③x∈A且x∈B.
(2)用Venn图如下所示：
x∈A，但xB x∈B，但xA x∈A，且x∈B
因此A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．
(3)用数学语言表示并集的概念：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
3．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．
1．思考辨析
(1){1,2}∪{1,3}＝{1,1,2,3}．
( )
(2)若x∈A∩B，则x∈A∪B.
( )
(3)若AB，则A∪B＝B.
( )
[解析] (1)×. 不满足互异性．
(2)√. (3)√.
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x≤4}，则A∩B＝________.
{x|1由上图得13．若{x|－1≤x<2}∩{x|x≤a}≠，则实数a的取值范围是________．
a≥－1 [如图所示：
由上图知a≥－1.]
4．设集合A＝{x|－1[解] 如图所示，
由上图知，1PAGE
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-课时分层作业(三) 交集与并集
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于( )
A．{0}
B．{0,2}
C．{－2,0}
D．{－2,0,2}
D [集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，选D.]
2．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a－1，a∈N＋}，则M∩N＝( )
A．{0}
B．{1,2}
C．{1}
D．{2}
C [因为N＝{1,3,5，…}，M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1}．]
3．已知集合M＝{y|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为( )
A．{x＝3，y＝－1}
B．{(x，y)|x＝3或y＝－1}
C．
D．{(3，－1)}
C [因为M为数集，N为点集，所以M∩N＝.]
4．满足A∪{－1,1}＝{－1,0,1}的集合A共有( )
A．10个
B．8个
C．6个
D．4个
D [A∪{－1,1}＝{－1,0,1}，所以A{－1,0,1}，且0∈A，所以A＝{0}或A＝{0，－1}，{0,1}或A＝{0，－1,1}．]
5．已知{1,2}∪{x＋1，x2－4x＋6}＝{1,2,3}，则x＝( )
A．2
B．1
C．2或1
D．1或3
C [由题意3∈{x＋1，x2－4x＋6}，若x＋1＝3，x＝2，则x2－4x＋6＝2，此时{1,2}∪{x＋1，x2－4x＋6}＝{1,2,3}，符合题意；
若x2－4x＋6＝3，则x＝1或x＝3，当x＝1时，x＋1＝2，符合题意；
当x＝3时，x＋1＝4{1,2,3}，不合题意．
综上可知，x＝2或1.]
二、填空题
6．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
4 [∵A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴a＝4.]
7．设S，T是两个非空集合，且它们互不包含，那么S∪(S∩T)等于________．
S [因为(S∩T)S，所以S∪(S∩T)＝S.]
8．已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝________.
{x|x<－5，或x>－3} [在数轴上表示出集合M，N，如图所示：则M∪N＝{x|x<－5，或x>－3}．]
三、解答题
9．已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|x≤1，或x≥5}，求A∩B，A∪B.
[解] 用数轴表示两个集合如图所示：
则A∩B＝{x|x<－1，或x≥5}，
A∪B＝{x|x≤1，或x>4}．
10．设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
[解] A＝{－1,2}，由A∪B＝A，得BA.
Δ＝1－4a.
当Δ<0，即a>时，B＝，满足BA.
当Δ＝0，即a＝时，B＝，不满足BA.
当Δ>0，即a<时，无解．
综上得，a>.
1．已知集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|m－1A．－3≤m≤4
B．3C．2D．2B [∵A∩B＝A，∴AB，
∴∴32.已知集合M＝{－1,0,1,2}和N＝{0,1,2,3}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合是( )
A．{0}
B．{0,1}
C．{0,1,2}
D．{－1,0,1,2,3}
C [由图可知阴影部分对应的集合为M∩N.
∵M＝{－1,0,1,2}，N＝{0,1,2,3}，
∴M∩N＝{0,1,2}，故选C.]
3．已知集合A＝{x|x－m＝0}，B＝{x|1－3x>－2}，且A∩B≠，则实数m满足的条件是________．
m<1 [A＝{m}，B＝{x|x<1}．由于A∩B≠，
则有m∈B，所以m<1.]
4．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1－1 2 [∵B∪C＝{x|－3∴A∩(B∪C)＝A，
由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}．
∴a＝－1，b＝2.]
5．已知集合A＝{x|1(1)当m＝－1时，求A∪B；
(2)若A∪B＝B，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B＝，求实数m的取值范围．
[解] (1)当m＝－1时，B＝{x|－2(2)由A∪B＝B，即AB知：
得m≤－2，即实数m的取值范围为{m|m≤－2}．
(3)由A∩B＝得：
①若2m≥1－m，即m≥时，B＝，符合题意；
②若2m<1－m，即m<时，需或
得0≤m<或，即0≤m<，
综上知m≥0，
即实数m的取值范围为{m|m≥0}.
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