(共42张PPT)
第一章 集合
§3 集合的基本运算
3.2 全集与补集
全部
子集
U
所有不属于A
Venn图在补集中的应用
补集的有关运算
与补集相关的参数值的求解
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答宥
类型1
·●●。●●
规律方法
●●●。·。·
类型2
类型33.2 全集与补集
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解全集、补集的概念．(重点)2．会求给定集合的补集．(重点)3．熟练掌握集合的综合运算，并能解决简单的应用问题．(难点)
1．通过学习全集、补集的概念，培养数学抽象素养．2．通过集合间的交、并、补的运算，提升数学运算、逻辑推理素养.
阅读教材P12从本节开始至P14“练习”以上部分，完成下列问题．
1．全集
(1)定义：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．
(2)记法：全集通常记作U.
思考：全集唯一吗？我们研究奇数或偶数的有关问题时，应选取的全集通常是什么？
[提示] 全集不唯一，通常选取整数集作为全集．
2．补集
文字语言
设U是全集，A是U的一个子集(即AU)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合称为U中子集A的补集(或余集)，记作UA
符号语言
UA＝{x|x∈U，且xA}
图形语言
性质
A∪(UA)＝U，A∩(UA)＝，U(UA)＝A
1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则U(A∪B)＝( )
A．{1,3,4}
B．{3,4}
C．{3}
D．{4}
C [因为A∪B＝{1,2,4}，U＝{1,2,3,4}，所以U(A∪B)＝{3}．]
2．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，B＝{2}，则A∩(UB)＝( )
A．{1,2,3,4,5}
B．{1,4}
C．{1,2,4}
D．{3,5}
B [UB＝{1,3,4,5}，又A＝{1,2,4}，则A∩(UB)＝{1,4}．]
3．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则UA＝________.
{x|x<1} [如图所示：
由上图知，UA＝{x|x<1}．]
4．设全集U＝{1,2,3,4,5}，UA＝{1,3,5}，则A＝________.
{2,4} [由补集的定义知，A＝{2,4}．]
Venn图在补集中的应用
【例1】 图中阴影部分所表示的集合是( )
A．B∩U(A∪C)
B．(A∪B)∪(B∪C)
C．(A∪C)∩(UB)
D．U(A∪C)∪B
A [阴影部分可表示为B∩U(A∪C)．]
1．当阴影是凹陷图形时，常用补集表示；
2．当题目涉及多个集合的补集时，常利用Venn图分析解决；
3．应用题常用Venn图分析求解．
1．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，UA＝{2,4,6,8}，UB＝{1,4,6,8,9}，则集合B＝________.
{2,3,5,7} [借助Venn图，
如图所示．
得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
因为UB＝{1,4,6,8,9}，
所以B＝{2,3,5,7}．]
补集的有关运算
【例2】 (1)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－3
(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2(1){x|x<－3} {x|x≤－3，或x>2}
(2){－5，－4,3,4} {－5，－4,5}
[(1)因为A＝{x|x≥－3}，
所以UA＝RA＝{x|x<－3}．
又因为B＝{x|－3所以UB＝{x|x≤－3，或x>2}．
(2)法一：在集合U中，
因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
所以U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，
所以UA＝{－5，－4,3,4}，UB＝{－5，－4,5}．
法二：(Venn图法)可用Venn图表示
则UA＝{－5，－4,3,4}，UB＝{－5，－4,5}．]
求集合补集的策略
?1?如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解.另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错.
?2?如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解.
2．(1)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∪UB＝( )
A．{3}
B．{4}
C．{3,4}
D．
(2)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(RS)∪T等于( )
A．{x|－2B．{x|x≤－4}
C．{x|x≤1}
D．{x|x≥1}
(1)A (2)C [(1)因为U＝{1,2,3,4}，U(A∪B)＝{4}，
所以A∪B＝{1,2,3}，
又因为B＝{1,2}，所以{3}A{1,2,3}．
又UB＝{3,4}，所以A∩UB＝{3}．
(2)因为S＝{x|x>－2}．
所以RS＝{x|x≤－2}．
而T＝{x|－4≤x≤1}，
所以(RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．]
与补集相关的参数值的求解
[探究问题]
1．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，UA＝{5}，求实数a的值．
提示：∵UA＝{5}，∴5∈U，且5A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2，或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合题意．
当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，AU，故a＝－4舍去．综上知a＝2.
2．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2提示：由已知A＝{x|x≥－m}，得UA＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，所以实数m的取值范围是{m|m≥2}．
3．设全集U＝R，M＝{x|3a提示：UP＝{x|x<－2，或x>1}，
因为M(UP)，所以分M＝，M≠两种情况讨论．
(1)M＝时，应有3a≥2a＋5，所以a≥5.
(2)M≠时，如图可得：
或所以a≤－或≤a<5，
综上可知，实数a的取值范围为.
【例3】 已知集合A＝{x|1[思路探究] 先求出RA，再借助数轴寻找a满足的条件．
[解] RA＝{x|x≤1，或x≥2}．
画出符合题意的图形．
由上图得，a≥2.
(变条件)将例3中的“(RA)∪B＝R”，改为“A∩(RB)＝”，求实数a的取值范围．
[解] 由A∩(RB)＝，得AB.
画出符合题意的图形：
由图，得a≥2.
由集合补集求参数的方法
1．对全集概念的三点理解
(1)全集的概念可以理解为在研究集合与集合之间的关系时，所要研究的集合都是某一个集合的子集，就把这个给定的集合称为全集．
(2)全集是对于所研究的问题而言的一个概念，它不是一成不变的，它会根据所研究问题的不同而有不同的选择．所以说全集是一个相对的概念．
2．补集定义的理解
(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集．比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集．
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想．
(3)从符号角度来看，若x∈U，AU，则x∈A和x∈UA二者必居其一．
求两个集合的并集与交集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直观观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．
3．与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．
4．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
1．思考辨析
(1)全集包含任何一个元素．
( )
(2)AC＝BC.
( )
(3)若x∈U，AU，则x∈A，或x∈UA.
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{－1,2}
B．{－1,0}
C．{0,1}
D．{1,2}
A [阴影部分表示的集合为B∩(ZA)＝{－1,2}．]
3．已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(UB)＝__________.
{1,2,3} [UB＝{2}，A∪(UB)＝{1,3}∪{2}＝{1,2,3}．]
4．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若UA＝{1,2}，求实数m的值．
[解] 由UA＝{1,2}，得A＝{0,3}．
所以9＋3m＝0，解得m＝－3.
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-课时分层作业(四) 全集与补集
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．已知集合A＝{x|－1A．{x|0B．{x|－1C．{x|2D．{x|－1B [∵RB＝{x|x≤0，或x≥4}，∴A∩(RB)＝{x|－12．已知全集U＝R，A＝，B＝{x|x≤－4}，C＝，则集合C＝( )
A．A∩B
B．A∪B
C．U(A∩B)
D．U(A∪B)
D [因为A∪B＝，故U(A∪B)＝.]
3．如图中的阴影表示的集合是( )
A．(UA)∩B
B．(UB)∩B
C．U(A∩B)
D．U(A∪B)
A [由图像可知，阴影部分的元素是由属于集合B，但不属于集合A的元素构成，则对应的集合为(UA)∩B.故选A.]
4．已知U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则[A∩(UB)]∪[B∩(UA)]＝( )
A．
B．{x|x≤0}
C．{x|x>－1}
D．{x|x>0，或x≤－1}
D [由题可知UA＝{x|x≤0}，
UB＝{x|x>－1}，
∴A∩(UB)＝{x|x>0}，
B∩(UA)＝{x|x≤－1}，
∴[A∩(UB)]∪[B∩(UA)]＝{x|x>0，或x≤－1}．]
5．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,3,5}，Q＝{1,2,4}，则(UP)∪Q＝( )
A．{1}
B．{3,5}
C．{1,2,4,6}
D．{1,2,3,4,5}
C [∵UP＝{2,4,6}，又Q＝{1,2,4}，∴(UP)∪Q＝{1,2,4,6}，故选C.]
二、填空题
6．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x<5}，则AB＝________.
{x|0≤x<2，或x＝5} [把集合A看作全集，故AB＝{x|0≤x<2，或x＝5}．]
7．如果S＝{x∈N|x<6}，A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，那么(SA)∪(SB)＝________.
{0,1,3,4,5} [S＝{0,1,2,3,4,5}，(SA)∪(SB)＝S(A∩B)＝{0,1,3,4,5}．]
8．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则(UA)∩B＝________.
{(2,3)} [UA＝{(x，y)|y≠x＋1}∪{(2,3)}，故(UA)∩B＝{(2,3)}．]
三、解答题
9．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2[解] 把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：
由图可知UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2U(A∩B)＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
(UA)∩B＝{x|－310．设全集U＝{x∈Z||x|<4}，a∈U，集合A＝{x|(x－1)·(x－a)＝0}，B＝{x|x2＋2x－3＝0}，求(UA)∩B.
[解] U＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，
A＝{a,1}，B＝{－3,1}．
∴当a＝1时，(UA)∩B＝{－3}；
当a＝－3时，(UA)∩B＝；
当a≠1，－3时，(UA)∩B＝{－3}．
综上，a＝－3时，(UA)∩B＝；
a≠－3，a∈U时，(UA)∩B＝{－3}．
1．已知全集U＝{0,1,2}，且UA＝{2}，则集合A的真子集的个数为( )
A．3
B．4
C．7
D．8
A [由UA＝{2}，得A＝{0,1}，所以，A的真子集的个数为22－1＝3.]
2．已知全集U＝Z，P＝{－2，－1,1,2}，Q＝{x|x2－3x＋2＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{－1，－2}
B．{1,2}
C．{－2,1}
D．{－1,2}
A [由Venn图可知，阴影部分的元素为属于P且不属于Q的元素构成，所以用集合表示为P∩(UQ)，
又Q＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，所以P∩(UQ)＝{－1，－2}．故选A.]
3．已知集合A＝{x|(x2＋ax＋b)(x－1)＝0}，集合B满足条件A∩B＝{1,2}，且A∩(UB)＝{3}，U＝R，则a＋b＝________.
1 [由题意，知1∈A,2∈A,3∈A，因此有－a＝2＋3，b＝2×3，即a＝－5，b＝6，所以a＋b＝1.]
4．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，若B∪(UB)＝A，则UB＝________.
{}或{－}或{3} [∵B∪(UB)＝A，∴U＝A.
∴x2∈A，∴x2＝3或x2＝x，
解得x＝±，0.
当x＝时，B＝{1,3}，UB＝{}；
当x＝－时，B＝{1,3}，UB＝{－}；
当x＝0时，B＝{1,0}，UB＝{3}．]
5．已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|m－2≤x≤m＋2，x∈R}．
(1)若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值；
(2)若A∩(RB)＝A，求实数m的取值范围．
[解] (1)因为A∩B＝{x|0≤x≤3}，
所以所以所以m＝2.
(2)RB＝{x|xx>m＋2}，由已知可得ARB，所以
m－2>3或m＋2<－1，所以m>5或m<－3.
故实数m的取值范围为{m|m>5，或m<－3}.
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