人教版数学 八年级下册 19.1.1 变量与函数学案

　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　变量与函数
一、目标认知
学习目标：
　　1．函数是刻画现实世界中变化规律的非常重要数学模型，对函数概念体会的深入程度是学好函数知识
　
　　的关键，在学习过程中一定要紧紧地结合实例体会引入函数概念的意义，紧紧地结合实例体会了解
　
　　常量、变量，理解函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法(列表法、解
　
　　析式法和图象法)。认真不浮躁地落实基本知识和基本技能。
　　2.
数学建模思想的体会理解，从分析探索实际问题中的数量关系和变化规律出发，经历体会“找出常
　
　　量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的每个过程细节，提高运用所学
　
　　知识分析解决问题的意识。
重点：
　　函数定义、解析式、自变量取值范围、函数的表示方法
难点：
　　运用函数定义辨析是否存在函数关系，分析具体材料背景写出函数解析式及自变量取值范围
二、知识要点梳理
知识点一：通过实例体会变量、常量、函数的概念
　　1、汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为S千米，行驶时间为t小时，请完成下表：
t/时
1
2
3
4
5
S/千米
60
120
　
240
300
　　思考：在上述变化过程中，有两个变量S、t，一个常量速度60，两个变量之间是否有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应?”
　　答案肯定：通过填表可以验证，当这里的两个变量中的任一个变量取定一个可以取的值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应。
　　2、每张电影票售价为10元，早场售出150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各是多少?请完成下表，
时段
早场
日场
晚场
售出票数(张)
150
205
310
收入金额(元)
1500
2050
3100
　　思考：在上述变化过程中，有两个变量：售出票数和收入金额，一个常量：单价10，两个变量之间是否有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应?”
　　答案肯定：通过填表可以验证，当这里两个变量中的任一个变量随便取定一个可以取的值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应。
　　3、在一根弹簧下端悬挂重物，弹簧原长10cm，若每1kg重物使得弹簧伸长0.5cm，请根据不同的重量m，填写对应的弹簧长度L
重量m/kg
1
2
5
8
10
弹簧长度L/cm
10.5
11
12.5
14
15
　　思考：在上述变化过程中，有两个变量重量和弹簧长度，一些常量弹簧原长、单位重量伸长的数值，两个变量之间是否有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应?”
　　答案肯定：通过填表可以验证，当这里两个变量中的任一个变量随便取定一个可以取的值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应。
两者之间的关系为：
　　4、要画一个面积为S的圆，圆的半径r应取多少（保留两位小数）？请完成下表：
圆的面积(S)
10
20
50
100
300
圆的半径(r)
1.78
2.52
3.99
5.64
9.77
　　思考：在上述变化过程中，有两个变量S、r，一个常量圆周率，两个变量之间是否有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应?”
　　答案肯定：通过填表可以验证，当这里两个变量中的任一个变量随便取定一个可以取的值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应!
两者之间的关系为：
　　5、用10m长的绳子围成长方形，根据长方形一边的长度，观察长方形的另一边的长度和面积如何变化。请思考完成下表：
长方形的一边长x/m
2.5
3
3.5
4
4.5
2
1.5
1
0.5
长方形的另一边长y/m
2.5
2
1.5
1
0.5
3
3.5
4
4.5
长方形的面积S/m2
6.25
6
5.25
4
2.25
6
5.25
4
2.25
思考：在上述变化过程中，有三个变量长方形的一边长、另一边长、面积，一个常量长方形的周长10，其中每两个变量之间是否都有这样的关系：“当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之相对应?”
　　答案不一定：通过填表可以验证，每两个变量之间的关系可分两种情况：（1）一边长与另一边长之间，其中任一个变量取定一个可以取的值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应。两者之间的关系式为：y=5-x；（2）一边长与面积或另一边长与面积之间，其中当前一个变量随便取定一个可以取的值时，后一个变量都有唯一确定的值与之相对应。两者之间的关系式分别为：S=x(5-x)，S=y(5-y)；但反过来不满足该规律，例如当面积为5.25m时，长方形的一边长可以为：3.5或1.5，不唯一。
知识点二：函数的定义
　　在我们身边的各种变化中，有各种变化的量和不变化的量，在两个变量之间有一种不是一定存在的关系，但是非常普遍存在的关系就是：“当其中一个变量随便取定一个值时，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应!”也就是说普遍的两个变量之间都存在相互对应的关系!
　　函数定义：
　　一般地，在一个变化过程中.
如果有两个变量
x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说
x是自变量(independent
variale)，y是x的函数(function)，如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量为a时的函数值。
　　对于函数的意义，应从以下几个方面去理解：
　　（1）函数不是数，而是两个变量之间一种对应的关系；
　　（2）对于变量x允许取的每一个值，集合在一起组成了x的取值范围。
　　（3）判断两个变量之间是否有函数关系不仅要看它们之间是否有关系式，还要看对于x允许取的每一个
　
　　　值，y是否都有唯一确定的值与它相对应。
　　（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量x的取值
　
　　　范围相同。否则，就不是相同的函数。而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x的取
　
　　　值范围有时容易忽视，这点应注意。
知识点三：自变量取值范围的确定
　　使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围。自变量的取值范围的确定方法：
　　首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义。
　　⑴
当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
　　⑵
当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
　　⑶
当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
　　⑷
当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零。
　　
　其次，当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。
知识点四：函数值
　　对于自变量在取值范围内的一个确定的值，比如当时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值叫做的函数值，简称函数值。
　　注意：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个。比如：中，当函数值为4时，自变量的值为。
知识点五：函数的几种表达方式：
　　变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
　　（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式。
　　注：函数关系式是等式；等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示自变量的函数；没有特殊说明，自变量x的取值范围是使解析式有意义的所有实数。
　　（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法，例如:前面的五个实例均是用列表法表示的函数;
　　（3）图像法：用图象表达两个变量之间的关系。
　　注：有些问题可三种方法兼用，如S=60t，但有些问题只能用某一种方法，如每天的气温变化，只能用图象记录（自动测温仪）。
知识点六：函数的图象
　　对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
　　注：函数的解析式是一个二元方程，这个方程的解分别是这个函数图象上点的横坐标、纵坐标；函数图象的画法：列表、描点、连线。
三、规律方法指导
　　1．学习函数时，要注意区分常量与变量，函数与函数值等概念，例如：,是随的变化而变化的量，变量是变量的函数，2是常量；函数值是自变量所对应的某个具体数值，一个函数可能有许多不同的函数值，例如当时，函数的函数值等于；当时，函数的函数值等于。
　　2．函数的图象以几何形式直观地表示变量间的单值对应关系，是研究函数的重要工具。学习函数的图
　
　　象不仅要了解它的一般意义和作法，更重要的是了解其中包含的数形结合地研究问题的思想，学习
　
　　如何使用这种工具讨论函数。
类型一：函数概念辨析
　　1．判断下列材料中所给的两个变量之间是否存在函数关系?
　　(1)心电图中的变量：心脏脉冲电流值和时间
　　　
　　(2)下表中所示变量：人口数和年份之间
　　　　
　　思路点拨：要判断是否为函数关系，首先要找到两个变量，其次判断两个变量是否满足函数的定义。
　　解：存在函数关系，因为在(1)图中，在每一个时刻，心脏脉冲电流都有唯一确定的值与该时刻相对应，(2)图中，对年份的每一个取值，都存在唯一确定的人口数与之相对应。
　　总结升华：函数关系普遍存在。人们需要表达函数关系，上题所给的图示就是一种表达函数很好的方法，我们分别称之为：图象法和列表法。另外还有许多的函数，我们都可以通过一个二元关系式来表达，这种表达函数的方法称之为：解析式法。
　　举一反三：
　　[变式1]
某工人每分钟生产机械零件8个，写出这个工人生产零件的总数y（个）与生产时间t（分）的关系式，判断是不是函数关系，并指出式中的常量与变量。
　　分析：每分钟生产零件8个，在生产过程中该数值保持不变，所以每分钟生产零件的个数8是常量；而时间变化后零件总数可随之增长，则时间和生产的零件总数是变量。
　　解：，其中8是常量，y、t
是变量。
　　[变式2]判断下列说法是否正确?
　　(1)
3x+l是x的函数；
　　(2)函数y=x与是相同的函数
　　(3)若y是x的函数，则y的值肯定随x值的改变而改变；
　　解：(1)说法正确，通过函数定义可以验证，对x的每一个确定取值3x+l都有唯一确定的值与之相对应；
　　　　(2)说法不正确，尽管第二个函数经过化简之后解析式与第一个函数相同，但是它们自变量的取值范围是不同的；
　　　　(3)说法不正确，比如函数y=x0，随x的变化y的值恒定不变。
　　[变式3]判断下列关系式和图象中，其中y是否是x的函数?
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　(4)
　　(5)
　　解：
　　(1)，
y是x的函数，因为根据函数定义，对每一个x的可取值都存在唯一确定的y值与之相对应。同样根据函数的定义可验证，y不是x的函数
　　(2)只有第二个关系式y不是x的函数，其它三个关系式y都是x的函数，理由同上；
　　(3)y是x的函数，理由同上；
　　(4)y是x的函数，理由同上；
　　(5)y不是x的函数，因为由图可以看出，有许多x值都与两个y值相对应。
　　[变式4]用长为10
cm的绳子围成一个长方形，其中长方形的一条边长是xcm，这个长方形的面积Scm2，判断填空：
　　这里_____是常量，_____是变量，变量间是否存在函数关系?若存在，其中_____是_____的函数，你是否能说明理由?是否能选择适当的方法表达该函数关系?
　　解：周长10是常量，边长x和面积s是变量，面积是边长x的函数，因为对于边长x的每一个取值，面积s都有唯一确定的值与之相对应，但反之不成立，即x不是s的函数，用解析式法表达该函数关系：s=x(5-x)，其中x的取值范围是0＜x＜5.
　　思考：若在上述函数解析式后不加上自变量x的取值范围，函数解析式还能否完整表达背景材料中的函数关系呢?
　　注：(1)当用解析式表达函数关系时，一定要关注自变量的取值范围；
　　　　(2)确定自变量取值范围时，不仅要考虑函数解析式有意义，而且还要注意问题的实际意义；
　　　　(3)约定：在我们今后所给定的函数解析式中，若没有特别说明，都默认自变量取值范围为使解析式有意义的所有实数。
类型二：自变量的取值范围
　　2．求下列函数中自变量x的取值范围。
　　（1）；（2）；（3）。
　　思路点拨：（1）要使分式有意义，则分母，所以；（2）要使被开方数有意义，则，所以；（3）分母且，则有。
　　解：（1）自变量的取值范围是的实数；
　　
　　（2）自变量的取值范围是；
　　
　　（3）自变量的取值范围是。
　　总结升华：自变量的取值范围必须使整个解析式有意义。
　　举一反三：
　　[变式]求函数的自变量的取值范围。
　　解：要使函数有意义，则x要符合：
　　　　即：或
　　　　解方程组得自变量取值是或。
类型三：函数表示方法的理解
　　3．已知，（1）写成y是x的函数形式；（2）写成x是y的函数形式。
　　思路点拨：y是x的函数形式，就是用含的代数式去表示，x是y的函数形式就是用含的代数式表示，这便是函数的表示方法之一——解析式法，但要使函数解析式有意义。
　　解析：(1)由可知，又
，所以。
　　
　　　　综上得：且。同理得：且
　　
　　　　由，去分母有：，移项得，
　　
　　　　整理成y是x的函数为（且）。
　　
　　
(2)同理，写成x是y的函数为(且)。
　　总结升华：函数表示方法有三种：解析式法，图象法和列表法。当用解析式法表示时，通常表示为y是x的函数，但x也可以是y的函数，只要满足函数的定义。
　　举一反三：
　　[变式1]写出下列函数关系式：
　　(1)等腰三角形的底角的度数y°与顶角度数x°之间的关系为______；
　　(2)某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每排比前一排多1个座位，则每排座位数y与这排的
　　　
排数x的关系为_____·
　　解；(1)
　　　　(2)y=x+19
(0＜x＜26，且x为自然数)
　　[变式2]已知等腰三角形周长为12cm，若底边长为y
cm，一腰长为x
cm。（1）确定y与x的函数关系式；（2）确定x的取值范围；（3）画出函数图象。
　　分析：利用等腰三角形周长公式可以写出函数关系式，再利用两边之和大于第三边可以确定x的取值范围，根据腰长与底长的列表可以画出图象。
　　解：（1）因为，所以。
　　　　（2）因为有，所以，即；
　　　　　　
又因为，所以，即，
　　　　　　
故自变量x的取值范围是。
　　　　（3）①列表：
x
3
4
5
5.5
6
y
6
4
2
1
0
　　　　　　
②描点，画图（如图所示）：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　总结升华：要注意三边组成一个三角形的条件，即符合两边之和大于第三边，避免出现的错误。画函数图象时，通常边界值有时也可以取，一般是在范围内的点用实心点，不在范围内的点用空心点。
类型四：函数值
　　4．设函数，已知当时，，求当时x的值。
　　思路点拨：利用时可以先求出a值，再把a值代入时的函数中，便可求出x的值。
　　解：根据题意有，则。
　　　　所以有，则。
　　总结升华：了解常量、变量、函数的意义，会分辨常量与变量，自变量与函数值之间的联系。
　　举一反三：
　　[变式1]
求当时，函数的函数值。
　　分析：自变量x的值一定时，求函数值时只要把x的值代入解析式即可。
　　解：当时，有。
　　[变式2]
已知函数，当x为何值时，函数值是正数、0、负数？
　　分析：已知函数解析式，可分别令函数值为正数、0、负数，即可求x的值。
　　解：当y为正数时，即，则；
　　　　当y为0时，即，则；
　　　　当y为负数时，即，则。
　　　　所以当时，函数值为正数，当时，函数值为0；当时，函数值为负数。
　　总结升华：本题的目的是巩固函数值概念，加强对函数值概念的理解。
类型五：函数的综合应用
　　5.
一辆汽车由A地驶向相距240千米的B地，它的平均速度为30千米／时，求汽车距B地的路程s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式，并画出这个函数图象。
　　思路点拨：路程=速度×时间．
　　解：由题意可知s=240-30t（0≤
t
≤8）．
　　　　列表：
t
0
2
4
8
s
240
180
120
0
　　　　画函数图象如图所示．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　总结升华：画图象前先列表，令t为某值，代入函数式后可求出相应函数值．
　　举一反三：
　　[变式1]
已知在等腰△ABC中，AB=AC，根据下列条件，求y与x的函数解析式及自变量x的取值范围．
　　（1）底角度数为x°，顶角度数为y°；
　　（2）腰长为x，底边长为y，周长为8．
　　解：（1）由等腰三角形的特点及内角和定理可知；
　　　　（2）由周长=2×腰长+底长可知，．
　　[变式2]
某公园集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人25元，超过20人的部分，每人10元．
　　（1）写出应收门票费y（元）与进园人数x（人）（x≥20）之间的函数关系式．
　　（2）利用（1）中的关系式计算：某旅游团有54人去该公园观赏，购买门票花了多少钱?
　　分析：20人以内应收费为25×人数(元)，当进园人数为x（x≥20）人时，门票费y元。则等于20人的门票费加上超过部分人数购买的门票费．
　　解：（1）根据题意有，
　　　　　　
整理得（x为整数，且x≥20）．
　　　　（2）根据，当x=54时，有y=10×54+300=840（元），
　　　　　　
即54人进园购票费用为840元．
　　[变式3]
如下图中各图形是由若干皮球摆成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n（n>1）个皮球，每个图案皮球总数是s，按照所给规律写出总数s与皮球个数n之间的关系式．
　　　　　　　　　　　　
　　分析：通过所绘图案可得：随着每条边包含的皮球数的增多，图案的皮球总数s也在增大．且有：n=2,S=3；n=3,S=6；n=4,S=9。n每增加1时，S增加3。因此，可猜想s=3+3（n-2），
可用n=2,S=3；n=3,S=6；n=4,S=9验证关系式，结论正确。
　　解：关系式为．
　　总结升华：通过本题，可考查观察、探索、发现问题的综合能力．